5平面向量與空間向量十年高考題帶詳細解析

1、第五章 平面向量與空間向量考點闡釋1.向量是數(shù)學(xué)中的重要概念，并和數(shù)一樣，也能運算.它是一種工具，用向量的有關(guān)知識能有效地解決數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科中的很多問題.向量法和坐標(biāo)法是研究和解決向量問題的兩種方法.坐標(biāo)表示，使平面中的向量與它的坐標(biāo)建立了一一對應(yīng)關(guān)系，用“數(shù)”的運算處理“形”的問題，在解析幾何中有廣泛的應(yīng)用.向量法便于研究空間中涉及直線和平面的各種問題.2.平移變換的價值在于可利用平移變換，使相應(yīng)的函數(shù)解析式得到簡化.試題類編一、選擇題1.（2002上海春，13）若a、b、c為任意向量，mR，則下列等式不一定成立的是（ ）A.（a+b）+c=a+（b+c） B.（a+b）·c=a

2、·c+b·cC.m（a+b）=ma+mb D.（a·b）c=a（b·c）2.（2002天津文12，理10）平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，已知兩點A（3，1），B（1，3），若點C滿足，其中、R，且+=1，則點C的軌跡方程為（ ）A.3x+2y11=0 B.（x1）2+（y2）2=5C.2xy=0 D.x+2y5=03.（2001江西、山西、天津文）若向量a=（3，2），b=（0，1），則向量2ba的坐標(biāo)是（ ）A.（3，4） B.（3，4） C.（3，4） D.（3，4）4.（2001江西、山西、天津）設(shè)坐標(biāo)原點為O，拋物線y2=2x與過焦點的直線交于

3、A、B兩點，則等于（ ）圖51A. B. C.3 D.35.（2001上海）如圖51，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，M為AC與BD的交點，若=a，=b，=c.則下列向量中與相等的向量是（ ）A.a+b+cB. a+b+cC. ab+cD.ab+c6.（2001江西、山西、天津理，5）若向量a=（1，1），b=（1，1），c=（1，2），則c等于（ ）A.a+b B.ab C. ab D.a+b7.(2000江西、山西、天津理，4)設(shè)a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共線,則（a·b）c（c·a）b=0 |a|b|<|ab| （b·c）a（c&

4、#183;a）b不與c垂直（3a+2b）（3a2b）=9|a|24|b|2中，是真命題的有（ ）A. B. C. D.8.（1997全國，5）如果直線l沿x軸負方向平移3個單位，再沿y軸正方向平移1個單位后，又回到原來的位置，那么直線l的斜率為（ ）A. B.3 C. D.3二、填空題9.（2002上海文，理2）已知向量a和b的夾角為120°，且|a|=2，|b|=5，則（2ab）·a=_.10.（2001上海春，8）若非零向量、滿足|+|=|，則與所成角的大小為_.11.（2000上海，1）已知向量=（1，2），=（3，m），若，則m= .12.（1999上海理，8）若將

5、向量a=（2，1）圍繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到向量b，則向量b的坐標(biāo)為_.13.（1997上海，14）設(shè)a=（m+1）i3j，b=i+（m1）j，（a+b）（ab），則m=_.14.（1996上海，15）已知a+b=2i8j，ab=8i+16j，那么a·b=_.15.（1996上海，15）已知O（0，0）和A（6，3）兩點，若點P在直線OA上，且，又P是線段OB的中點，則點B的坐標(biāo)是_.三、解答題圖52 16.（2003上海春，19）已知三棱柱ABCA1B1C1，在某個空間直角坐標(biāo)系中，=0，0，n.（其中m、n>0）.如圖52.（1）證明：三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱；

6、（2）若m=n，求直線CA1與平面A1ABB1所成角的大小.17.（2002上海春，19）如圖53，三棱柱OABO1A1B1，平面OBB1O1平面OAB，O1OB=60°，AOB=90°，且OB=OO1=2，OA=.求：（1）二面角O1ABO的大?。唬?）異面直線A1B與AO1所成角的大小.（上述結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）18.（2002上海，17）如圖54，在直三棱柱ABOABO中，OO=4，OA=4，OB=3，AOB=90°，D是線段AB的中點，P是側(cè)棱BB上的一點，若OPBD，求OP與底面AOB所成角的大小.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）圖53 圖54 圖5519

7、.（2002天津文9，理18）如圖55，正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長為a，側(cè)棱長為a.（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出點A、B、A1、C1的坐標(biāo)；（2）求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角.20.（2002天津文22，理21）已知兩點M（1，0），N（1，0），且點P使成公差小于零的等差數(shù)列.（1）點P的軌跡是什么曲線？（2）若點P坐標(biāo)為（x0，y0），為與的夾角，求tan.21.（2001江西、山西、天津理）如圖56，以正四棱錐VABCD底面中心O為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，其中OxBC，OyAB，E為VC的中點，正四棱錐底面邊長為2a，高為h.（1）求cos< >

8、；（2）記面BCV為，面DCV為，若BED是二面角VC的平面角，求BED.圖56 圖57 圖5822.（2001上海春）在長方體ABCDA1B1C1D1中，點E、F分別在BB1、DD1上，且AEA1B，AFA1D.（1）求證：A1C平面AEF；（2）若規(guī)定兩個平面所成的角是這兩個平面所組成的二面角中的銳角（或直角）.則在空間中有定理：若兩條直線分別垂直于兩個平面，則這兩條直線所成的角與這兩個平面所成的角相等.試根據(jù)上述定理，在AB=4，AD=3，AA1=5時，求平面AEF與平面D1B1BD所成角的大小.（用反三角函數(shù)值表示）23.（2001上海）在棱長為a的正方體OABCOABC中，E、F分別

9、是棱AB、BC上的動點，且AE=BF.如圖58.（1）求證：AFCE.（2）當(dāng)三棱錐BBEF的體積取得最大值時，求二面角BEFB的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）24.（2000上海春，21）四棱錐PABCD中，底面ABCD是一個平行四邊形， =2，1，4，=4，2，0，=1，2，1.（1）求證：PA底面ABCD；（2）求四棱錐PABCD的體積；（3）對于向量a=x1，y1，z1，b=x2，y2，z2，c=x3，y3，z3，定義一種運算：（a×b）·c=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2x1y3z2x2y1z3x3y2z1，試計算（×）·的絕對值的值；

10、說明其與四棱錐PABCD體積的關(guān)系，并由此猜想向量這一運算（×）·的絕對值的幾何意義.25.（2000上海，18）如圖59所示四面體ABCD中，AB、BC、BD兩兩互相垂直，且AB=BC=2，E是AC中點，異面直線AD與BE所成的角的大小為arccos，求四面體ABCD的體積.圖59 圖510 圖51126.（2000天津、江西、山西）如圖510所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB=1，BCA=90°，棱AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點.（1）求的長；（2）求cos< >的值；（3）求證：A1BC1M.27.（2000全國理，1

11、8）如圖511，已知平行六面體ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形且C1CB=C1CD=BCD=60°.（1）證明：C1CBD；（2）假定CD=2，CC1=，記面C1BD為，面CBD為，求二面角BD的平面角的余弦值；（3）當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r，能使A1C平面C1BD？請給出證明.圖51228.（1999上海，20）如圖512，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BAD=90°，ADBC，AB=BC=a，AD=2a，且PA底面ABCD，PD與底面成30°角.（1）若AEPD，E為垂足，求證：BEPD；（2）求異面直線AE與CD所成角的大小.圖51329

12、.（1995上海，21）如圖513在空間直角坐標(biāo)系中BC=2，原點O是BC的中點，點A的坐標(biāo)是（，0），點D在平面yOz上，且BDC=90°，DCB=30°。（1）求向量的坐標(biāo)；（2）設(shè)向量和的夾角為，求cos的值.答案解析1.答案：D解析：因為（a·b）c=|a|·|b|·cos·c而a（b·c）=|b|·|c|·cos·a而c方向與a方向不一定同向.評述：向量的積運算不滿足結(jié)合律.2.答案：D解析：設(shè)=（x，y），=（3，1），=（1，3），=（3，），=（，3）又+=（3，+3）（x，y）

13、=（3，+3），又+=1 因此可得x+2y=5評述：本題主要考查向量法和坐標(biāo)法的相互關(guān)系及轉(zhuǎn)換方法.3.答案：D解析：設(shè)（x，y）=2ba=2（0，1）（3，2）=（3，4）.評述：考查向量的坐標(biāo)表示法.4.答案：B解法一：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB所在直線方程為y=k（x），則=x1x2+y1y2.又，得k2x2（k2+2）x+=0，x1·x2=，而y1y2=k（x1）k（x2）=k2（x1）（x2）=1.x1x2+y1y2=1=.解法二：因為直線AB是過焦點的弦，所以y1·y2=p2=1.x1·x2同上.評述：本題考查向量的坐標(biāo)運算，及數(shù)形結(jié)合

14、的數(shù)學(xué)思想.5.答案：A解析：=c+（a+b）=a+b+c評述：用向量的方法處理立體幾何問題，使復(fù)雜的線面空間關(guān)系代數(shù)化，本題考查的是基本的向量相等，與向量的加法.考查學(xué)生的空間想象能力.6.答案：B解析：設(shè)c=ma+nb，則（1，2）=m（1，1）+n（1，1）=（m+n，mn）. 評述：本題考查平面向量的表示及運算.7.答案：D解析：平面向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律.故假；由向量的減法運算可知|a|、|b|、|ab|恰為一個三角形的三條邊長，由“兩邊之差小于第三邊”，故真；因為（b·c）a（c·a）b·c=（b·c）a·c（c·a）b

15、·c=0，所以垂直.故假；（3a+2b）（3a2b）=9·a·a4b·b=9|a|24|b|2成立.故真.評述：本題考查平面向量的數(shù)量積及運算律.8.答案：A解析：設(shè)直線l的方程為y=kx+b（此題k必存在），則直線向左平移3個單位，向上平移1個單位后，直線方程應(yīng)為y=k（x+3）+b+1即y=kx+3k+b+1因為此直線與原直線重合，所以兩方程相同.比較常數(shù)項得3k+b+1=b.k=.評述：本題考查平移變換與函數(shù)解析式的相互關(guān)系.9.答案：13解析：（2ab）·a=2a2b·a=2|a|2|a|·|b|·cos1

16、20°=2·42·5（）=13.評述：本題考查向量的運算關(guān)系.10.答案：90°解析：由|+|=|，可畫出幾何圖形，如圖514.圖514|表示的是線段AB的長度，|+|表示線段OC的長度，由|AB|=|OC|平行四邊形OACB為矩形，故向量與所成的角為90°評述：本題考查向量的概念，向量的幾何意義，向量的運算.這些知識不只在學(xué)習(xí)向量時用到，而且在復(fù)數(shù)、物理學(xué)中也是一些最基本的知識.11.答案：4解析：=1，2，=3，m，=4，m2，又，1×4+2（m2）=0，m=4.評述：本題考查向量的概念，向量的運算，向量的數(shù)量積及兩向量垂直的充要

17、條件.12.答案：（）解析：設(shè)a=2+i，b=，由已知、的夾角為，由復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，得=（cos+isin）=（2+i）.b=（）評述：本題考查向量的概念，向量與復(fù)數(shù)一一對應(yīng)關(guān)系，考查變通、變換等數(shù)學(xué)方法，以及運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.a+b=（m+2）i+（m4）j=（m+2，m4）ab=mi+（m2）j=（m，m2）13.答案：2解析：由題意，得（a+b）（ab），（m+2）×m+（m4）（m2）=0，m=2.評述：本題考查平面向量的加、減法,平面向量的數(shù)量積及運算,兩向量垂直的充要條件.a+b=2i8jab=8i+16j14.答案：63解析：解方程組a=3i+4j=（3，

18、4）b=5i12j=（5，12）得a·b=（3）×5+4×（12）=63.評述：本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及求法.15.答案：（4，2）解析：設(shè)P（x，y），由定比分點公式，則P（2，1），又由中點坐標(biāo)公式，可得B（4，2）.16.（1）證明：，| |=m，又|=m，|=m，ABC為正三角形.又·=0，即AA1AB，同理AA1AC，AA1平面ABC，從而三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱.（2）解：取AB中點O，連結(jié)CO、A1O.COAB，平面ABC平面ABB1A1，CO平面ABB1A1，即CA1O為直線CA1與平面A1ABB1所成的角.在RtCA

19、1O中，CO=m，CA1=，sinCA1O=，即CA1O=45°.圖51517.解：（1）取OB的中點D，連結(jié)O1D，則O1DOB.平面OBB1O1平面OAB，O1D平面OAB. 過D作AB的垂線，垂足為E，連結(jié)O1E.則O1EAB.DEO1為二面角O1ABO的平面角.由題設(shè)得O1D=，sinOBA=，DE=DBsinOBA=在RtO1DE中，tanDEO1=，DEO1=arctan，即二面角O1ABO的大小為arctan.（2）以O(shè)點為原點，分別以O(shè)A、OB所在直線為x、y軸，過O點且與平面AOB垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖515.則O（0，0，0），O1（0，1，），

20、A（，0，0），A1（，1，），B（0，2，0）.設(shè)異面直線A1B與AO1所成的角為，則，cos=，異面直線A1B與AO1所成角的大小為arccos.圖51618.解法一：如圖516，以O(shè)點為原點建立空間直角坐標(biāo)系.由題意，有B（3，0，0），D（，2，4），設(shè)P（3，0，z），則=，2，4，=3，0，z.BDOP，·=+4z=0，z=.BB平面AOB，POB是OP與底面AOB所成的角.tanPOB=，POB=arctan.圖517解法二：取OB中點E，連結(jié)DE、BE，如圖517，則DE平面OBBO，BE是BD在平面OBBO內(nèi)的射影.又OPBD.由三垂線定理的逆定理，得OPBE.在矩

21、形OBBO中，易得RtOBPRtBBE，得BP=.圖518（以下同解法一）19.解：（1）如圖518，以點A為坐標(biāo)原點O，以AB所在直線為Oy軸，以AA1所在直線為Oz軸，以經(jīng)過原點且與平面ABB1A1垂直的直線為Ox軸，建立空間直角坐標(biāo)系.由已知，得A（0，0，0），B（0，a，0），A1（0，0， a），C1（）.（2）坐標(biāo)系如圖，取A1B1的中點M，于是有M（0， a），連AM，MC1有=（a，0，0），且=（0，a，0），=（0，0， a）由于·=0，·=0，所以MC1面ABB1A1.AC1與AM所成的角就是AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角.=（），=（0，a），&

22、#183;=0+2a2=a2.而|=.|=.cos，=.所以與所成的角，即AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為30°.20.解：（1）記P（x，y），由M（1，0），N（1，0）得=（1x，y），=（1x，y），=（2，0）·=2（1+x），·=x2+y21，·=2（1x）.于是，·，·，·是公差小于零的等差數(shù)列等價于 即所以，點P的軌跡是以原點為圓心，為半徑的右半圓.（2）點P的坐標(biāo)為（x0，y0）.·=x02+y021=2.|·|=.cos=21.解：（1）由題意知B（a，a，0），C（a，a，0），D

23、（a，a，0），E（）.由此得，.由向量的數(shù)量積公式有cos< >（2）若BED是二面角VC的平面角，則，則有0.又由C（a，a，0），V（0，0，h），有（a，a，h）且，.即ha，這時有cos<>，BED<>arccos（）arccos評述：本小題主要考查空間直角坐標(biāo)的概念、空間點和向量的坐標(biāo)表示以及兩個向量夾角的計算方法；考查運用向量研究空間圖形的數(shù)學(xué)思想方法.22.（1）證明：因為CB平面A1B，所以A1C在平面A1B上的射影為A1B.由A1BAE，AE平面A1B，得A1CAE.同理可證A1CAF.因為A1CAF，A1CAE，圖519所以A1C平面A

24、EF.（2）解：過A作BD的垂線交CD于G，因為D1DAG，所以AG平面D1B1BD.設(shè)AG與A1C所成的角為，則即為平面AEF與平面D1B1BD所成的角.由已知，計算得DG=.如圖519建立直角坐標(biāo)系，則得點A（0，0，0），G（，3，0），A1（0，0，5），C（4，3，0）.AG=，3，0，A1C=4，3，5.因為AG與A1C所成的角為，所以cos=.由定理知，平面AEF與平面D1B1BD所成角的大小為arccos.注：沒有學(xué)習(xí)向量知識的同學(xué)可用以下的方法求二面角的平面角.解法一：設(shè)AG與BD交于M，則AM面BB1D1D，再作ANEF交EF于N，連接MN，則ANM即為面AEF與D1B1B

25、D所成的角，用平面幾何的知識可求出AM、AN的長度.解法二：用面積射影定理cos=.評述：立體幾何考查的重點有三個：一是空間線面位置關(guān)系的判定；二是角與距離的計算；三是多面體與旋轉(zhuǎn)體中的計算.23.建立坐標(biāo)系，如圖520.（1）證明：設(shè)AE=BF=x，則A（a，0，a），F(xiàn)（ax，a，0），C（0，a，a），E（a，x，0）=x，a，a，=a，xa，a.·=xa+a（xa）+a2=0AFCE（2）解：設(shè)BF=x，則EB=ax三棱錐BBEF的體積V=x（ax）·a（）2=a3當(dāng)且僅當(dāng)x=時，等號成立.因此，三棱錐BBEF的體積取得最大值時BE=BF=，過B作BDEF于D，連B

26、D，可知BDEF.BDB是二面角BEFB的平面角在直角三角形BEF中，直角邊BE=BF=，BD是斜邊上的高.BD=a.tanBDB=故二面角BEFB的大小為arctan2.評述：本題考查空間向量的表示、運算及兩向量垂直的充要條件.二次函數(shù)求最值或均值不等式求最值，二面角等知識.考查學(xué)生的空間想象能力和運算能力.用空間向量的觀點處理立體幾何中的線面關(guān)系，把幾何問題代數(shù)化，降低了立體幾何的難度.本題考查的線線垂直等價于·=0，使問題很容易得到解決.而體積的最值除用均值不等式外亦可用二次函數(shù)求最值的方法處理.二面角的平面角的找法是典型的三垂線定理找平面角的方法，計算較簡單，有一定的思維量.

27、24.（1）證明：=22+4=0，APAB.又=4+4+0=0，APAD.AB、AD是底面ABCD上的兩條相交直線，AP底面ABCD.（2）解：設(shè)與的夾角為，則cos=V=|·|·sin·|=（3）解：|（×）·|=|43248|=48它是四棱錐PABCD體積的3倍.猜測：|（×）·|在幾何上可表示以AB、AD、AP為棱的平行六面體的體積（或以AB、AD、AP為棱的直四棱柱的體積）.評述：本題考查了空間向量的坐標(biāo)表示、空間向量的數(shù)量積、空間向量垂直的充要條件、空間向量的夾角公式和直線與平面垂直的判定定理、棱錐的體積公式等.主

28、要考查考生的運算能力，綜合運用所學(xué)知識解決問題的能力及空間想象能力.圖52125.解：如圖521建立空間直角坐標(biāo)系由題意，有A（0，2，0）、C（2，0，0）、E（1，1，0）設(shè)D點的坐標(biāo)為（0，0，z）（z>0）則=1，1，0，=0，2，z，設(shè)與所成角為.則·=·cos=2，且AD與BE所成的角的大小為arccos.cos2=，z=4，故|BD|的長度為4.又VABCD=|AB|×|BC|×|BD|=，因此，四面體ABCD的體積為.評述：本題考查空間圖形的長度、角度、體積的概念和計算.以向量為工具，利用空間向量的坐標(biāo)表示、空間向量的數(shù)量積計算線段

29、的長度、異面直線所成角等問題，思路自然，解法靈活簡便.圖52226.解：如圖522，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.（1）依題意得B（0，1，0）、N（1，0，1）| |=.（2）依題意得A1（1，0，2）、B（0，1，0）、C（0，0，0）、B1（0，1，2）=1，1，2，=0，1，2，·=3，|=，|=cos<，>=.（3）證明：依題意，得C1（0，0，2）、M（，2），=1，1，2，=，0.·=+0=0，A1BC1M.評述：本題主要考查空間向量的概念及運算的基本知識.考查空間兩向量垂直的充要條件.27.（1）證明：設(shè)=a，=b，=c，則|a|=|b|，=ba，·=（ba）·c=b·ca·c=|b|·|c|cos60°|a|·|c|cos60°=0，C1CBD.（2）解：連AC、BD，設(shè)AC