2019中考數(shù)學(xué)專題攻略-專題8幾何最值問題解法探討

1、2019中考數(shù)學(xué)專題攻略-專題8幾何最值問題解法探討在平面幾何日勺動態(tài)問題中，當(dāng)某幾何元素在給定條件變動時，求某幾何量（如線段日勺長度、圖形日勺周長或面積、 角日勺度數(shù)以及它們?nèi)丈缀团c差）日勺最大值或最小值問題，稱為最值問 題。解決平面幾何最值問題日勺常用日勺方法有：（1）應(yīng)用兩點間線段最短日勺公理（含應(yīng)用三角形日勺三邊關(guān)系）求最值；（2）應(yīng)用垂線段最短日勺性質(zhì)求最值；（3）應(yīng)用軸對稱日勺性質(zhì)求最值；（4）應(yīng)用二次函數(shù)求最值；（5）應(yīng)用其它知識求最值。下面通過近年全國各地中考日勺實例 探討其解法。一、應(yīng)用兩點間線段最短日勺公理（含應(yīng)用三角形日勺三邊關(guān)系）求最值：典型例題：例1. （2012山東

2、濟南3分）如圖，/ MON=90,矩形 ABCD勺頂點A、B分別在邊 OM ON±,當(dāng)B在邊ONLh運動時，A隨之在邊OM±運動，矩形 ABCD勺形狀保持不變，其 中AB=2, BC=1,運動過程中，點 D到點。日勺最大距離為【】DE=JAD2 +AE2 =，12 +12=、5,A- .21 B- .5 C 145 5D- 5【答案】Ao【考點】 矩形日勺性質(zhì)，直角三角形斜邊上日勺中線性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，勾股定理?！痉治觥咳鐖D，取AB日勺中點E,連接OE DE OD 0& OE+D E 當(dāng)。D E三點共線時，點 D到點。日勺距離最大，此時，. AB=2 BC=1,

3、 . OE=AEq AB=1。2 OD日勺最大值為：J2 +1。故選A。例2. （2012湖北鄂州3分）在銳角三角形 ABC中，BC=4 J2 , / ABC=45 , BD平分/ ABCMN分別是 BD BC上日勺動點，則 CM+M的最小值是?！究键c】最短路線問題，全等三角形日勺判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，垂直線段日勺性質(zhì)，銳【分析】如圖，在BA上截取BE=BN連接EM角三角函數(shù)定義，特殊角日勺三角函數(shù)值。D/ ABC日勺平分線交 AC于點D,/ EBM= NBM在4AME與4AMN中，BE=BN , / EBM= NBM BM=BM.BME2 ABMN( SAS。. ME=MN . CM+

4、MN=CM+MEE又CM+MNT最小值，當(dāng) CE是點C到直線AB日勺距離時，CE取最小值。BC=472， / ABC=45 , CE 日勺最小值為 4盤 sin45 0=4。.CM+MNl最小值是4。例3. （2011四川涼山5分）如圖，圓柱底面半徑為 2cm，高為911cm，點A B分別是圓3圈到B,求柱兩底面圓周上日勺點，且 A、B在同一母線上，用一棉線從 A順著圓柱側(cè)面繞棉線最短為cm °315n。圓周長、圓柱日勺展開，勾股定理,如圖，圓柱展開后可見,平行四邊形日勺性質(zhì)。棉線最短是三條斜線，第一條斜線與底面1高組成直角三角形。由周長公式，底面圓周長為34ncm，1高為3371c

5、m ,根據(jù)勾股定理，得斜線長為571cm，根據(jù)平行四邊形日勺性質(zhì)，棉線最短為157r cm。例4. （2012四川眉山3分）在4ABC中，AB= 5, AC= 3, AD是BC邊上日勺中線，則 AD日勺取值范圍是KADX 4。【考點】全等三角形日勺判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系?！痉治觥垦娱LAD至E,使DE=AD連接CE根據(jù)SAS證明 AB呼 ECD得CE=AB再根據(jù)三角形日勺三邊關(guān)系即可求解:延長AD至E,使DE=AD連接 CE1 BD=CD / ADBW EDC AD=DE:/AB¥ ECD( SAS。，CE=AB在 ACE 中，CE AG< AEv CE+ AC,即 2v 2

6、AD< 8。2 .K AD< 4。練習(xí)題:1. （2011湖北荊門3分）如圖，長方體日勺底面邊長分別為2cm和4cm，高為5cm.若只螞蟻從P點開始經(jīng)過4個側(cè)面爬行一圈到達(dá) Q點，則螞蟻爬行日勺最短路徑長為【A.13cmB.12cm3 PC.10cm D.8cm2. （2011四川廣安3分）如圖，圓柱日勺底面周長為6cm, AC是底面圓日勺直徑，高 BC=6cm點P是母線BC上一點，且 PC=2 BC 一只螞蟻從A點出發(fā)沿著圓柱體日勺表面爬行到點P日勺最短距離是【A、6 cm B（4 一）冗、5cm C、3痣 cm D、7cm3. （2011廣西貴港2分）如圖所示，在邊長為 2日勺

7、正三角形 ABC中，E、F、G分別為ABAC BC日勺中點，點P為線段EF上一個動點，連接 BP、GP則4BPG日勺周長日勺最小值是二、應(yīng)用垂線段最短日勺性質(zhì)求最值：典型例題:例1.（2012山東萊蕪4分）在4ABC中，AB= AC= 5, BC= 6.若點P在邊AC上移動，則BP日勺最小值是.4B24 °5動點問題，垂直線段日勺性質(zhì)，勾股定理。如圖，根據(jù)垂直線段最短日勺性質(zhì)，當(dāng)BP LAC時，BP取得最小值。B設(shè) AP =x,則由 AB= AC= 5 得 CP =5 x,又 BC= 6, .在 RtAAB P'和RtCBP中應(yīng)用勾股定理，得2-CPr2° AB2

8、-AP2 =BC2 CP'2，即52 -x2 =62 （6 x“ 解得7 ° x=5，即BP日勺最小值是“ 。52525576 2424例2. （2012浙江臺州4分）如圖，菱形 ABCD, AB=2, /A=120° ,點 P, Q, K分別為線段BC, CD BD上日勺任意一點，則PK+QK勺最小值為17Q/1A. 1 B .邪 C.2 D .褥+1【答案】B?！究键c】菱形日勺性質(zhì)，線段中垂線日勺性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，垂直線段日勺性質(zhì)，矩形日勺判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角日勺三角函數(shù)值。【分析】分兩步分析：工(1)若點巳Q固定，此時點K日勺位置：如圖，作

9、點 P關(guān)于BD日勺對二稱點Pi,連接P1Q,交BD于點KoA?由線段中垂線上日勺點到線段兩端距離相等日勺性質(zhì)，得P iK = P K i, PiK=PK由三角形兩邊之和大于第三邊日勺性質(zhì)，得PiK+ QK>PiQ= PiKi+Q Ki= P Ki+Q Ki。.此時日勺Ki就是使PK+QKt小日勺位置。(2)點P, Q變動，根據(jù)菱形日勺性質(zhì)，點 P關(guān)于BD日勺對稱點Pi在AB上，即不論點P在BC上任一點，點 Pi總在AB上。因此，根據(jù)直線外一點到直線日勺所有連線中垂直線段最短日勺性質(zhì)，得，當(dāng)PQ!ABX AD=AB=2 .,.p iQ=AQ=AD- cos300=鼻 _。2 二M3綜上所述

10、，PK+QK勺最小彳1為無。故選Bo例3. (20i2江蘇連云港i2分)已知梯形ABCD AD/ BC AB±BC£8c甘C圖1圄2問題i:如圖i, P為AB邊上日勺一點，以 PD, PC為邊作平行四邊形口pCA> i, AB= 2, BO 3,7洛BC圄3PCQD請問又角線PQ過點 A 作 AQLDC 于點 Q。 ./A=i20°，.二 / DA Qi=30°。時PiQ最短。DC日勺長能否相等，為什么？問題2:如圖2,若P為AB邊上一點，以PD, PC為邊作平行四邊形 PCQD請問又捫I線 PQ 日勺長是否存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果

11、不存在，請說明理由.問題3:若P為AB邊上任意一點，延長 PD到E,使DPD,再以PE, PC為邊作平行四邊形PCQE請?zhí)骄繉蔷€PQ日勺長是否也存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由.問題4:如圖3,若P為DC邊上任意一點，延長 PA到E,使AE= nPA（n為常數(shù)），以PE、PB 為邊作平行四邊形 PBQE請?zhí)骄繉蔷€PQ日勺長是否也存在最小值？如果存在，請求出最小 值，如果不存在，請說明理由.【答案】 解：問題1:對角線PQ與DC不可能相等。理由如下： 四邊形PCQD1平行四邊形，若對角線PQ DCf等，則四邊形PCQ提矩形，/DPC= 90° 。. AD=

12、 1, AB= 2,BC= 3, DC= 2 右。設(shè) PB= x,貝U A之2-x,在 RtDPC中，PE2+ PC2=DC2,即 x2+32+(2 x)2+12=8,化簡得 x2-2x+3=0,. = (-2)2 -4X1X3=- 8V0, .方程無解。 不存在 PB= x,使/ DPC= 90°。，對角線 PQ與DC不可能相等。問題2:存在。理由如下: 如圖2,在平行四邊形 PCQDK設(shè)又角線 PQ與DC相交于點G則G是DC日勺中點。過點Q作QHL BC交BC日勺延長線于 Ho AD/ BC .1/ ADC= / DCH 即 / ADPF / PDG / DCQ- / QCH P

13、D/ CQ .1 / PDC= / DCQ / AD臺 / QCH又PA CQRtAADfP RtAHC(Q( AAS。. AD= HG . AD= 1, BC= 3,BH= 4, 當(dāng)PQL AB時，PQ日勺長最小，即為 4。問題3:存在。理由如下：鄴如圖3,設(shè)PQ與DC相交于點G, PEE/ CQPA DE dg 二 PD GC-CQ.G是DC上一定點。作QHL BC交BC日勺延長線于H,同理可證/ ADP= Z QCH RtAADfRtAHCQAD _ PD 1CH - CQ - 2. AD= 1, CHh 2。BHh BG+ CHh 3+2=5。當(dāng)PQL AB時，PQ日勺長最小，即為 5

14、。問題4:如圖3,設(shè)PQ與AB相交于點G, PEE/ BQAE= nPA,BQ - BG - n+1PA AG 1.G是DC上一定點。作QH/ PE交 CB日勺延長線于 H,過點 C作CO CD交 QH日勺延長線于Ko1. AD/ BC AB± BC. . / D= / QHC / DAPF / PAG= / QBHb / QBG= 90°/ PAG= / QBG ./QBHk /PAD .ADP BHQAD PA 1 '=BH BQ n+1. AD= 1, BHh n+1。CHh BH BC= 3 + n+1 = n + 4。過點D作DMLBC于M,則四邊形 AB

15、ND矩形。.BM AD= 1 , DMh AB= 2。. . CMk BC- B隹 31 = 2= DM / DCM 45° 。 .KCH 45° 。.CK= CH?cos45 =當(dāng)PQL CD時，PQ日勺長最小，最小值為五(n +4)o2【考點】反證法，相似三角形日勺判定和性質(zhì)，一元二次方程根日勺判別式，全等三角形日勺判定和性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形、矩形日勺判定和性質(zhì)，等腰直角三角形日勺判定和性質(zhì)?！痉治觥繂栴}1:四邊形PCQ提平行四邊形，若對角線 PQ DC相等，則四邊形 PCQD1矩形，然后利用矩形日勺性質(zhì)，設(shè)PB= x,可得方程x2+32 + （2 x）2+1 =

16、 8,由判別式< 0,可知此方程無實數(shù)根，即對角線PQ DC日勺長不可能相等。問題2:在平行四邊形 PCQ邛，設(shè)對角線PQ與DC相交于點G,可得G是DC日勺中點， 過點Q作QHLBC交BC日勺延長線于 H,易證得RtAADfPRHHCQ即可求得 BH= 4,則可 得當(dāng)PQL AB時，PQ勺長最小，即為 4。問題3:設(shè)PQ與DC相交于點 G, PEE/ CQ PD= DE可得Dn .,易證得 DG _ PD 1GC - CQ - 2RtAADfPRtHCQ繼而求得 BH日勺長，即可求得答案。問題4:作QH/ PE交CB日勺延長線于 H,過點C作CKLCD交QH日勺延長線于 K,易 證得da

17、與AD口4BHQ又由/ DCB= 45°，可得 CKH 是等腰直角三角形，AD _ PA 1 BH - BQ - n+1繼而可求得CK日勺值，即可求得答案。例4. （2012四川廣元3分） 如圖，點A日勺坐標(biāo)為（-1 , 0）,點B在直線y=x上運動，當(dāng)線段AB最短時，點B日勺坐標(biāo)為【】A. (0, 0) B. (1 ,1 ) C.22運二返）D.返二返）t答案】B.【考點】一次函數(shù)的性質(zhì)，垂線段最恒的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì).【分析】如圖，過點盒作ABU DB,垂足為點B。過B作WC±x軸，垂足為C.由垂線段最短可知，當(dāng)B，與點B重合時AB最短。7點B在直繞 上運

18、動，AOB，是等腰直角三角形.B,CO為等腰直角三角形.丁點 A 的坐標(biāo)為1，0）, /.OC=CBT-ioA= 1x1=1.222二B，坐標(biāo)為（一 L -1 I22，當(dāng)線段AB最短時，點B的坐標(biāo)為（1, -i ）a故選B.22例5. （2012四川樂山3分）如圖，在 ABC中，/ C=90 , AC=BC=4 D是AB日勺中點，點 E、F分別在AC BC邊上運動（點 E不與點A、C重合），且保持AE=CF連接DE DF、EF.在此運動變化日勺過程中，有下列結(jié)論：DFE是等腰直角三角形；四邊形CEDW可能為正方形；四邊形CEDF勺面積隨點E位置日勺改變而發(fā)生變化；點C到線段EF日勺最大距離為其

19、中正確結(jié)論日勺個數(shù)是【A. 1個B. 2個圖1【答案】B?！究键c】全等三角形日勺判定和性質(zhì)，等腰直角三角形，三角形中位線定理，勾股定理。【分析】連接CD (如圖1)。.ABC是等腰直角三角形，DCBWA=45 ,CD=AD=DB. AE=CF . .AD且ACDF( SAS)。ED=DF / CDFW EDA / ADE廿 EDC=90 ,/ EDC4 CDFW EDF=90。DFE是等腰直角三角形。故此結(jié)論正確。當(dāng)E、F分別為AG BC中點時，二由三角形中位線定理，DE平行且等于1 BG2四邊形CED啜平行四邊形。又.= F分別為AG BC中點，AC=BG，四邊形CEDF菱形。又/C=90

20、, 四邊形 CEDF正方形。故此結(jié)論錯誤。如圖2,分別過點 D,彳DML AG DNL BG于點 M, N,由，知四邊形 CMDN1正方形，DM=DN由，知 DFE是等腰直角三角形，. DE=DFRtAADERtACDF( HL)。，由割補法可知四邊形 CEDF勺面積等于正方形 CMD畫積。四邊形CEDF日勺面積不隨點E位置日勺改變而發(fā)生變化。故此結(jié)論錯誤。由， DEF是等腰直角三角形，. DE=EFo當(dāng)DF與BC垂直，即DF最小時，EF取最小值2。此時點C到線段EF日勺最大距離為故此結(jié)論正確。故正確日勺有2個：。故選 Bo例6. (2012四川成都4分)如圖，長方形紙片 ABCD43, AB

21、=8cm AD=6cm按下列步驟進(jìn)行裁剪和拼圖:第一步：如圖，在線段 AD上任意取一點E,沿EB, EC剪下一個三角形紙片 EBC除下部分不再使用）；第二步：如圖，沿三角形EBC日勺中位線GH各紙片剪成兩部分， 并在線段GH±任意取 一點M線段BC上任意取一點N, ?& MN各梯形紙片GBC曲成兩部分;第三步：如圖，將 MN左側(cè)紙片繞G點按順時針方向旋轉(zhuǎn) 180° ,使線段 GB與GE重合，將MN右側(cè)紙片繞H點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)180° ,使線段 HC與HE重合，拼成一個與三角形紙片EBC面積相等日勺四邊形紙片.（注：裁剪和拼圖過程均無縫且不重疊）則拼成日勺

22、這個四邊形紙片日勺周長日勺最小值為cm,最大值為 cm.2°； 12+4J3。圖形日勺剪拼，矩形日勺性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)口勺性質(zhì)，三角形中位線定理。畫出第三步剪拼之后日勺四邊形MNiN2M日勺示意圖，如答圖1所示。其周長為圖中,NN2=EN+EN=NB+NC=B CMM=MG+GM+MHH=2 （GM+MH =2GH=BC（三角形中位線定理）又M1M/N1N,，四邊形 MNN2M是一個平行四邊形,2NN2+2MN=2BC+2MNBC=6為定值，四邊形日勺周長取決于MNB勺大小。如答圖2所示，是剪拼之前日勺完整示意圖。過G H點作BC邊日勺平行線，分別交 AB CD于P點、Q點，則四邊形一個矩形

23、，這個矩形是矩形 ABCD勺一半。.M是線段PQ上日勺任意一點，N是線段BC上日勺任意一點,EfBC、OPBC®.QHE根據(jù)垂線段最短，得到MN勺最小值為PQ與BC平行線之間日勺距離,B即 MNt二小值為4;而MN日勺最大值等于矩形對角線日勺長度，即、PB2+BC2 =v42+67 = 2<l3°.四邊形 MN1N2M日勺周長=2BC+2MN=12+2MN四邊形MNNM周長日勺最小值為12+2X 4=20;最大值為12+2X 2府=12+4原。例7. （2012四川樂山3分）如圖，在 ABC中，/ C=90 , AC=BC=4 D是AB日勺中點，點E、F分別在AC B

24、C邊上運動（點E不與點 A C重合），且保持AE=CF連接DE DF、EF.在此運動變化日勺過程中，有下列結(jié)論：4 DFE是等腰直角三角形；四邊形CEDW可能為正方形;四邊形CEDF勺面積隨點E位置日勺改變而發(fā)生變化;點C到線段EF日勺最大距離為 籥.【考點】全等三角形日勺判定和性質(zhì)，等腰直角三角形，三角形中位線定理，勾股定理。DFE是等腰直角三角形。故此結(jié)論正確。當(dāng)E、F分別為AC BC中點時，二由三角形中位線定理，DE平行且等于1 BG2四邊形CEDF平行四邊形。又.= F分別為AC BC中點，AC=BC .四邊形CEDF菱形。又/C=90 , 四邊形 CEDF正方形。故此結(jié)論錯誤。，由割

25、補法可知四邊形 CEDF勺面積等于正方形 CMD畫積。四邊形CEDF勺面積不隨點E位置日勺改變而發(fā)生變化。其中正確結(jié)論日勺個數(shù)是【. AE=CF.AD且ACDF( SAS)。如圖2,分別過點 D,彳DML AC DNL BC于點 M, N,A.1個B, 2個C. 3個D, 4個【分析】連接CD （如圖1）。.ABC是等腰直角三角形，DCBWA=45 , CD=AD=DBED=DF / CDFW EDA / ADE廿 EDC=90 ,/ EDC4 CDFW EDF=90。由，知四邊形 CMDN1正方形，DM=DN由，知 DFE是等腰直角三角形，. DE=DFRtAADERtACDF( HL)。故

26、此結(jié)論錯誤。由， DEF是等腰直角三角形，. DE= J2EF。當(dāng)DF與BC垂直，即DF最小時，EF取最小值2豆。此時點C到線段EF日勺最大距離為死。故此結(jié)論正確。故正確日勺有2個：。故選 Bo例 8. （2012 浙江寧波 3 分）如圖， ABC 中，/ BAC=60 , / ABC=45 , AB=2垃,D是線段BC上日勺一個動點，以 AD為直徑畫。0分別交AB, AC于E, F,連接EF,則線段EF長 度日勺最小值為.【考點】垂線段日勺性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形，銳角三角函數(shù)定義，特殊 角日勺三角函數(shù)值?！痉治觥坑纱咕€段日勺性質(zhì)可知，當(dāng) AD為4ABC日勺邊BC上日勺高時，

27、直徑 AD最短，此時線段EF=2EH=20E?si出EOH=20E?sin60 ,當(dāng)半徑OE最短時，EF最短。如圖，連接 OE OF過。點作OHL EF,垂足為H。 .在 RtADB中，Z ABC=45 , AB=2j2 , . AD=BD=2即此時圓日勺直徑為 2。由圓周角定理可知/ EOH= 1 /EOFW BAC=60 , 2 在 RtEOH中，EH=OE?siX EOH=1 百 由垂徑定理可知 EF=2EH=;。例9.(2012四川自貢12分)如圖所示，在菱形 ABCD43, AB=4, Z BAD=120 , AEF為正三角形，點E、F分別在菱形日勺邊BCCD上滑動，且E、F不與B.

28、C.D重合.(1)證明不論 E、F在BC. CD上如何滑動，總有 BE=CF(2)當(dāng)點E F在BC. CD上滑動時，分別探討四邊形AEC林口 CEF日勺面積是否發(fā)生變化?如果不變，求出這個定值；如果變化，求出最大(或最小)值.D【答案】 解：(1)證明：如圖，連接 AC四邊形 ABCM菱形，/ BAD=120 ,/ BAE吆 EAC=60 , / FAC吆 EAC=60 ,. / BAD=120 , . ABF=60。D3面積會最小,.ABC和4ACD為等邊三角形。./ACF=60 , AC=AB . . / ABE至 AFC在 ABE 和 4ACF 中，/BAE至 FAC AB=AC / A

29、BE至 AFC. .AB白ACIZ( ASA。1- BE=CF(2)四邊形AECF日勺面積不變， CEF日勺面積發(fā)生變化。理由如下:由(1)得AB9 4ACF 則 &abe=Saaca四邊形 AECF=SAEc+SzACF=SaAEc+SABE=SaABC,是7E值。作AHLBC于H點，則S 四邊形 AECF =S&BC =12由“垂線段最短”可知:BH=2122BC AH BC AB - BH =4 3 2B當(dāng)正三角形 AEF日勺邊AE與BC垂直時，邊AE最短.故4AEF日勺面積會隨著 AE日勺變化而變化，且當(dāng) AE最短時，正三角形 AEF日勺又 Sacef=S 四邊形 ae

30、cf Saaef, 則此時 CEF日勺面積就會最大.CEF=S 四邊形 AECL S/AEF一I _222 o=4 3 - 1 2 32 3 - 3 )CEF日勺面積日勺最大值是【考點】菱形日勺性質(zhì)，等邊三角形日勺判定和性質(zhì)，全等三角形日勺判定和性質(zhì)，勾股定理，垂 直線段日勺性質(zhì)?！痉治觥?1)先求證AB=AC進(jìn)而求證ABC 4ACD為等邊三角形， 得/ACF=60° , AC=AB 從而求證AB* AACf即可求得 BE=CF(2)由AB*4ACF 可得 SaabefSaacf7,故根據(jù) S 四邊形 ae(F=Saec+Siacf=Saae(+SaabE=SABC 即可得四邊形 A

31、ECF日勺面積是定值。當(dāng)正三角形 AEF日勺邊AE與BC垂直時，邊AE最短.4AEF 日勺面積會隨著 AE日勺變化而變化，且當(dāng)AE最短時，正三角形AEF日勺面積會最小，根據(jù)Sacef=S 四邊形AECF Saaef,則 CEF日勺面積就會最大。例10. (2012浙江義烏10分)在銳角4ABC中，AB=4, BC=5 / ACB=45 ,將 ABC繞點B 按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到1BC.(1)如圖1,當(dāng)點G在線段CA日勺延長線上時，求/ CCA日勺度數(shù)；(2)如圖2,連接AA, CC.若4ABA日勺面積為4,求4CBC日勺面積；(3)如圖3,點E為線段AB中點，點P是線段AC上日勺動點，在 AB

32、C繞點B按逆時針方向 旋轉(zhuǎn)過程中，點 P日勺對應(yīng)點是點P1,求線段EP1長度日勺最大值與最小值.【答案】 解：(1)二.由旋轉(zhuǎn)日勺性質(zhì)可得：ZA 1GB=ZACB=45 , BC=BC,，/CCB=/ C 1CB=45 。 /CCA產(chǎn)/CGB+/ AQB=45° +45° =90°。(2)二.由旋轉(zhuǎn)日勺性質(zhì)可得： AB(CAA 1BC, .BA=BA, BC=B& /ABCW A 1BC。, /ABC廿 ABC1=ZA1BC+ZABCo / ABA=/CBC。BA BA 1BC - BC1 .ABAsCBC。SABAiS/CBCi.2.2。AB =4 J6

33、CB 525ABAi=4) S ACBC=25°4(3)過點B作BDLAG D為垂足,.ABC為銳角三角形，點D在線段AC上。在 RtBCD中，BD=BC： sin45派。如圖1,當(dāng)P在AC上運動至垂足點 D, ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P日勺對應(yīng)點Pi在線段AB上時，EP最小。最小值為：EP=BR BE=BD- BE=- 2。5 22如圖2,當(dāng)P在AC上運動至點 C, 4ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P日勺對應(yīng)點Pi在線段AB日勺延長線上時，EP最大。最大值為：EP=BC+BE=5+2=7【考點】旋轉(zhuǎn)日勺性質(zhì)，等腰三角形日勺性質(zhì)，全等三角形日勺判定和性質(zhì)，相似三角形日勺判定和性質(zhì)?！痉治觥?i

34、)由旋轉(zhuǎn)日勺性質(zhì)可得：ZA iGB=ZACB=45 , BC=BC,又由等腰三角形日勺性質(zhì)，即可求得/ CCiAi日勺度數(shù)。CAC(P'(2)由旋轉(zhuǎn)日勺性質(zhì)可得： AB(CAA iBC,易證得 ABAsCBC,利用相圖2似三角形日勺面積比等于相似比日勺平方，即可求得 CBC i日勺面積。(3)由當(dāng)P在AC上運動至垂足點 D, 4ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P日勺對應(yīng)點Pi在線段AB上時，EP最??；當(dāng) P在AC上運動至點 C, 4ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點 P日勺對應(yīng)點Pi在線段AB日勺延長線上時，EP最大，即可求得線段 EP長度日勺最大值與最小值。例ii. (20i2福建南平i4分)如圖，在 A

35、BC中，點 口 E分別在邊 BC AC上，連接 AQDE 且/ i=ZB=Z C.(i)由題設(shè)條件，請寫出三個正確結(jié)論：(要求不再添加其他字母和輔助線，找結(jié)論過程中添加日勺字母和輔助線不能出現(xiàn)在結(jié)論中，不必證明)答：結(jié)論一:(2)若/ B=45 , BC=2當(dāng)點D在BC上運動時(點 D不與B、C重合)，求CE日勺最大值;若 ADE是等腰三角形，求此時 BD日勺長.（注意：在第（2）日勺求解過程中，若有運用（1）中得出日勺結(jié)論，須加以證明）【答案】 解：(1) AB=AC /AEDW ADC 4AD曰 AACD(2)./B=/ C, /B=45 , .ACB為等腰直角三角形。22AC = BC

36、=2 "；2. /1=/C, /DAEW CAD .AD曰 AACD.AD AC=AE AD,AE_ 2_ 2AD2 AD2AC 2222=AD2點D與B重合，不合題意舍去。. AD曰AACID，DA AC=DE DC圖122 °2圖:當(dāng)AD最小時，AE最小，此時 ADL BC AD=1 BC=1o，AE日勺最小值為名 石。，CE日勺最大值=2 12 = 2當(dāng) AD=AE寸，.1=/AED=45 , . . / DAE=90 。當(dāng) EA=ED寸，如圖 1,，/EADW 1=45° 。 AD平分/BAC，AD 垂直平分 BG . . BD=1當(dāng)DA=DEE寸，如圖2

37、, . DC=CA=Q。 BD=BC- DC=2-6。綜上所述，當(dāng) ADE是等腰三角形時，BD日勺長日勺長為相似三角形日勺判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰（直角）三角形日勺判定和性質(zhì)。【分析】（1）由/B=/ C,根據(jù)等腰三角形日勺性質(zhì)可得AB=AC由/1=/C, /AED= EDC+C 得到/ AEDW ADC又由/ DAEW CAD根據(jù)相似三角形日勺判定可得到4 AD曰AACD（2 ）由/B=/C , /B=45 可得 AACB為等腰直角三角形，則22由/1=/C, /DAEW CAD,根據(jù)相似三角形日勺判定可得AC =對 BC =對2 =、，222 AD曰AACID 則有 AD AC=AE A

38、D,即 A-2 -2- ，當(dāng) ADLBC AD最A(yù)E 二AD =AD = 2AD2AC 22小，此時AE最小，從而由 CE=AC- AE得到CE日勺最大值。分當(dāng)AD=AE , EA=ED DA=DEE種情況討論即可。練習(xí)題：1. （2011浙江衢州3分）如圖，OP平分/MONPAL ON于點 A 點Q是射線 OM上日勺一個動點，若PA=2,則PQ勺最小值為【】0 A NA、1B 2 C 、3D 42. （2011 四川南充 8 分）如圖，等腰梯形 ABCD, AD/ BC AD=AB=CD=2 / C=60 , M是 BC日勺中點.（1）求證： MDC是等邊三角形；（2）將AMD微點M旋轉(zhuǎn)，當(dāng)

39、 MD（即MD ）與 AB交于一點E, MC（即MC ）同時與 AD交 于一點F時，點E, F和點A構(gòu)成4AEF試探究 AEF日勺周長是否存在最小值.如果不存在，請說明理由；如果存在，請計算出 AEF周長日勺最小值.3. （2011浙江臺州4分）如圖，00日勺半徑為2,點O到直線l日勺距離為3,點P是直線l上日勺一個動點，PQ切。0于點Q,則PQ日勺最小值為【A A .134. （2011 河南省 3 分）如圖，在四邊形 ABCN, /A=90° , AD=4 連接 BD, BDLCD /ADBW C.若P是BC邊上一動點，則DP長日勺最小值為AB=10cm AC: BC=4: 3,

40、點 P從點A出發(fā)沿AB方向向點點A運動，速度為 2cm/s ,(1)求AC BC日勺長；(2)設(shè)點P日勺運動時間為B運動，速度為1cm/s,同時點Q從點B出發(fā)沿B-C-A方向向 當(dāng)一個運動點到達(dá)終點時，另一個運動點也隨之停止運動.x (秒)，4PBQ日勺面積為y (cm2),當(dāng)4PBQ存在時，求y與x日勺函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量 x日勺取值范圍;(3)當(dāng)點Q在CA上運動，使PQLAB時，以點 R P、Q為定點日勺三角形與 ABC是否相似,請說明理由;(4)當(dāng)x=5秒時，在直線PQ上是否存在一點 M使BCM得周長最小，若存在，求出最小周長，若不存在，請說明理由.三、應(yīng)用軸對稱日勺性質(zhì)求最值：典型

41、例題：例1.(2012山東青島3分)如圖，圓柱形玻璃杯高為12cn底面周長為18cm,在杯內(nèi)離杯底4cm日勺點C處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對日勺點 A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜日勺最短距離為cm.15?！究键c】圓柱日勺展開，矩形日勺性質(zhì)，軸對稱日勺性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，勾股定理?！痉治觥咳鐖D，圓柱形玻璃杯展開（沿點 A豎直剖開）后側(cè)面是一個長18寬12日勺矩形，作點A關(guān)于杯上沿 MN勺對稱點B,連接BC交MN點P,連接BM過點C作AB日勺垂線交剖開線 MAT點D由軸對稱日勺性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系知AP+ PC為螞蟻到達(dá)蜂蜜日勺最短距離，且 AP=BP由已知和矩形日勺性

42、質(zhì)，得 DC=9 BD=12在RtBCD中，由勾股定理得2222BC = DC BD = 912 =15AP+ PC=BPF PC=BC=15即螞蟻到達(dá)蜂蜜日勺最短距離為15cm。例 2. （2012 甘肅蘭州 4 分）如圖，四邊形 ABCD43, / BAD= 120° , / B= Z D= 90° ,在BC CD上分別找一點 M N,使AAMN周長最小時，則/ AM沖/ ANM日勺度數(shù)為【】A. 130° B , 120° C , 110° D , 100°【答案】B。【考點】軸對稱（最短路線問題），三角形三邊關(guān)系，三角形外角性

43、質(zhì)，等腰三角形日勺性質(zhì)?！痉治觥扛鶕?jù)要使 AMN日勺周長最小，即利用點日勺對稱，讓三角形日勺三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和ED日勺對稱點A' , A",即可得出/ AA' M+ / A" = / HAA =60° ,進(jìn)而得出/AMN_ /ANM= 2（/AA' M+ /A"）即可得出答案：如圖，作A關(guān)于BC和ED日勺對稱點A' , A，連接A A，交BC于M交CD N,則A A即為 AMN日勺周長最小值。作 DA延長線AHH . /BAD= 120° ,，/HAA =60° 。Z AA M+ /A&

44、quot; = / HAA =60° 。 Z MA A= / MAA , / NAD= / A",且/ MA A+ / MAA = / AMN/NADF /A" - = Z ANIM / AMN+ / ANM= / MA A+ / MAA + / NAD+ / A" = 2( / AA' M + / A")=2X60° =120° 。故選Bo例3. （2012福建莆田4分）點A、B均在由面積為1日勺相同小矩形組成日勺網(wǎng)格日勺格點上，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示.若 P是x軸上使得日勺值最大日勺點，Q是y軸上使得QA十Q

45、B日勺PA PB值最小日勺點，貝”=人OP OQ -,Q求出點Q與y軸日勺交點坐標(biāo)即可得出結(jié)論:【答案】5?！究键c】軸對稱（最短路線問題），坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，待定系數(shù)法，直線 上點日勺坐標(biāo)與方程日勺關(guān)系?！痉治觥?連接AB并延長交x軸于點P,作A點關(guān)于y軸日勺對稱點A'連接A' B交y軸于點連接AB并延長交x軸于點P,由三角形日勺三邊關(guān)系可知，點P即為x軸上使得|PAPB|日勺值最大日勺點。點B是正方形 ADPC勺中點, .P (3, 0)即 OP=3作A點關(guān)于y軸日勺對稱點A連接A' B交y軸于點Q則A' B即為QA+QB勺最小值。例4. A (

46、-1,2), B (2, 1),設(shè)過A' B日勺直線為：y=kx+b ,1 =2k b .OP?OQ=3 5=5。31。. . Q (0, 5)，即 oq=5。-3335（2012四川攀枝花4分）如圖，正方形 ABCM, AB=4, E是BC日勺中點，點P是對角線AC上一動點，則PE+PB日勺最小值為 口cAS【答案】【考點】【分析】DCEABA 作 ACL MN2x5°軸對稱（最短路線問題），正方形日勺性質(zhì)，勾股定理。連接DE,交BD于點P,連接BD 點B與點D關(guān)于AC對稱, DE日勺長即為PE+PB勺最小值。,. AB=4 E是BC日勺中點，CE=2在 RUCDE中，口&

47、#163;32+。£2=*42+7=25。例5. （2012廣西貴港2分）如圖，MNOO日勺直徑，A B是O上日勺兩點，過于點C, 過B作BD£MN于點D, P為DC上日勺任意一點，若 MN= 20, AC= 8, BD- 6,則PM PB日勺最小值是¥【答案】142。【考點】軸對稱(最短路線問題)，勾股定理，垂徑定理?！痉治觥?MIN 20, .1.00日勺半徑=10。連接OA OB在 RtOBD中，OB= 10, BD= 6, O氏oBBD = '102 62 = 8。同理，在 RtAOC中，OA= 10, AC= 8,.OC= OAAC = '

48、;102 82 = 6。.CD= 8+6= 14。作點B關(guān)于MN勺對稱點B',連接AB',則AB'即為PA+ PB日勺最小值，B'D=BD= 6,過點 B'作AC日勺垂線，交AC日勺延長線于點E。在 RtAB' E 中， AE= AC+ CE= 8 + 6= 14, B' E= CD= 14, .AP = -AE2+B，E2 =<142+ 142 = 14叵例6.(2012湖北十堰6分)閱讀材料：例：說明代數(shù)式p2-;2一日勺幾何意義，并求它日勺最小值.x2 1 (x -3)2 + 4解：+。2, m2 . .2 +"-2

49、 ,如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，x 1 (x -3)4 = (x -0)1, (x -3)2點P(x,0)是x軸上一點，則/2T可以看成點 P與點a(0,1)日勺距離，:22.(x -0)1 (x -3)2可以看成點P與點B (3, 2)日勺距離，所以原代數(shù)式日勺值可以看成線段PA與PB長度之和，它日勺最小值就是PA+ PB日勺最小值.設(shè)點A關(guān)于x軸日勺對稱點為 A ,則PA=PA ,因此，求 PA+ PB日勺最小值，只需求 PA + PB日勺最小值，而點 A、B間日勺直線段距離最短，所以 PA' +PB日勺最小值為線段 A' B日勺長度.為此，構(gòu)造直角三角形 A CB因為A C

50、=3 CB=3所以A B=3J2,即原式日勺最小值根據(jù)以上閱讀材料，解答下列問題:(1)代數(shù)式(x -1)2 1 (x -2)2 9日勺值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點P (x, 0)與點A (1 , 1)、點 B日勺距離之和.(填寫點B日勺坐標(biāo))(2)代數(shù)式 2 21 2日勺最小值為x 49 x -12x 37【答案】解：(1) (2, 3)。(2) 10?！究键c】坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，軸對稱(最短路線問題)?！痉治觥?1)二.原式化為 ；2-2 /22日勺形式,P (x,(x -1)2 12(x -2)2 32，代數(shù)式 22日勺值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點(x -1)2 1 (x -2)2 90)與

51、點A(1 , 1)、點B (2, 3)日勺距離之和。(2) . ,原式化為"2c ,q2 工2日勺形式，(x -0) 7 (x -6)1，所求代數(shù)式日勺值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點P (x, 0)與點A (0, 7)、點 B (6, 1)日勺距離之和。如圖所示：設(shè)點 A關(guān)于x軸日勺對稱點為 A',則PA=PA ,求PA+ PB日勺最小值，只需求 PA' +PB日勺最小值，而點 A'、B 間日勺直線段距離最短。.PA' + PB日勺最小值為線段 A' B日勺長度。. A (0, 7), B (6, 1), .A' (0, 7), A

52、9; C=6, BC=8A B = AC2 BC2 = 62 82 =10例7.(2012四川涼山8分)在學(xué)習(xí)軸對稱日勺時候，老師讓同學(xué)們思考課本中日勺探究題。如圖（1）,要在燃?xì)夤艿纋上修建一個泵站，分別向 A、B兩鎮(zhèn)供氣.泵站修在管道日勺什么地方，可使所用日勺輸氣管線最短？你可以在l上找?guī)讉€點試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？你可以在l上找?guī)讉€點試一試,能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?(1)聰明日勺小華通過獨立思考，很快得出了解決這個問題日勺正確辦法.他把管道l看成一條直線（圖（2）,問題就轉(zhuǎn)化為，要在直線l上找一點P,使AP與BP日勺和最小.他日勺做法是這樣日勺: 作點B關(guān)于直線l日勺對稱點B'.連接AB

53、'交直線l于點P,則點P為所求.請你參考小華日勺做法解決下列問題.如圖在 ABC中，點D、E分別是AR AC邊日勺中點，BC=66BC邊上日勺高為4,請你在BC邊上確定一點 巳 使4PDE得周長最小.（1）在圖中作出點 P （保留作圖痕跡，不寫作法）.（2）請直接寫出 PDE周長日勺最小值： A【答案】解：（1）作D點關(guān)于BC日勺對稱點D',連接D' E,與BC交于點巳P點即為所求。D(8.【考點】軸對稱(最短路線問題)，三角形三邊關(guān)系，三角形中位線定理，勾股定理?！痉治觥?1)根據(jù)提供材料DE不變，只要求出DP+PE勺最小值即可，作D點關(guān)于BC勺對稱 點D',連接D' E,與BC交于點P, P點即為所求。(2)利用中位線性質(zhì)以及勾股定理得出D' E日勺值，即可得出答案： 點D E分別是AB，AC邊日勺中點，DE為 ABC中位線