集合知識(shí)點(diǎn)歸納

1、集合的基礎(chǔ)知識(shí)一、重點(diǎn)知識(shí)歸納及講解1. 集合的有關(guān)概念一組對(duì)象的全體形成一個(gè)集合，集合里的各個(gè)對(duì)象叫做集合的元素集合中的元素具有以下的特性 確定性：任給一元素可確定其歸屬即給定一個(gè)集合，任何一個(gè)對(duì)象是不是這個(gè)集合 的元素也就確定了 例如，給出集合1 , 2, 3, 4,它只有1、2、3、4四個(gè)元素，其他對(duì)象都不是它的元 素；而 所有的好人”、視力比較差的全體學(xué)生”、我國(guó)的所有小河流”就不能視為集合，因 為組成它們的對(duì)象是不能確定的 互異性：集合中的任何兩個(gè)元素都是不同的對(duì)象，也就是說，集合中的元素必須是互不相同的(即沒有重復(fù)現(xiàn)象)，相同的元素在集合中只能算作一個(gè)例如，不能有1 ,1 , 2,

2、而必須寫成1 , 2. 無(wú)序性：集合中的元素間是無(wú)次序關(guān)系的例如，1 , 2, 3與3, 2, 1表示同一個(gè)集合(2) 集合的元素某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合，集合中的每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素若a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a A.不含任何元素的集合叫做空集，記作旅(3) 集合的分類：有限集與無(wú)限集(4) 集合的表示法：列舉法、描述法和圖示法列舉法：將所給集合中的元素一一列舉出來(lái) ，寫在大括號(hào)里，元素與元素之間用逗號(hào) 分開，常用于表示有限集描述法：將所給集合中全部元素的共同特性和性質(zhì)用文字或符號(hào)語(yǔ)言描述出來(lái)常用于表示無(wú)限集使用描述法時(shí)，應(yīng)注意六點(diǎn)：寫清集合中元素的代號(hào)； 說

3、明該集合中元素的性質(zhì)；不能出現(xiàn)未被說明的字母； 多層描述時(shí)，應(yīng)當(dāng)準(zhǔn)確使用 且”，或”；所有描述的內(nèi)容都要寫在大括號(hào)內(nèi) ；用于描述的語(yǔ)句力求簡(jiǎn)明、確切圖示法：畫一條封閉的曲線，用它的內(nèi)部來(lái)表示一個(gè)集合 ，常用于表示又需給具體元素的抽象集合，對(duì)已給出了具體元素的集合，-當(dāng)然也可用圖示法來(lái)表示女口： A=1 , 2, 3, 4例 1、設(shè)集合 A=a , a+b, a+2b,B=a,ac,ac 2，且 A=B ,求實(shí)數(shù) c值.分析：欲求c值，可列關(guān)于c的方程或方程組，根據(jù)兩集合相等的意義及集合元素的互異性有下面兩種情況：(1) a+b=ac且a+2b= ac 2,( 2) a+b= ac 2且a+2b

4、=ac兩種情況.解析：(1) a+b=ac 且a+2b= ac 2,消去 b得：a+ ac 2-2ac=0 . va=0 時(shí)，集B中三元素均為 零,根據(jù)集合元素互異性舍去 a=0 c2-2c+仁0 , 即c=1 ,但c=1時(shí)，B中的三個(gè)元素也 相同，舍去c=1 ,此時(shí)無(wú)解.(2) a+b= ac 2且 a+2b=ac ,消去 b得：2ac2-ac-a=0 . va=0 時(shí)，集 B中三元素均為1c =零，根據(jù)集合元素互異性舍去 a=0 . A2c2-c-仁0，即c=1或 2 ,但c=1時(shí)，B中的三1C 個(gè)元素也相同，舍去c=1，二 -.點(diǎn)評(píng)：兩集合相等的意義是兩集合中的元素都相同，在求集合中元素

5、字母的值時(shí)，可能產(chǎn)生與互異性相矛盾的增解，這需要解題后進(jìn)行檢驗(yàn)，去偽存真(5) 常用數(shù)集及專用記號(hào)(1) 非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)N=0 , 1, 2 ,(2) 正整數(shù)集N* (或N + ) =1 , 2, 3,(3) 整數(shù)集Z=0 , ?1 , ?2 ,(4) 有理數(shù)集Q=整數(shù)與分?jǐn)?shù)(5) 實(shí)數(shù)集R=數(shù)軸上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù).強(qiáng)調(diào)：實(shí)數(shù)集不可記為只或?qū)崝?shù)集, 0 *工 ，丁工0 7；工空集.Z、Q 或 R+、Z +、Q強(qiáng)調(diào)：排除0和負(fù)數(shù)的數(shù)集也可表示為 R*、2. 基本運(yùn)算1. 交集B的元素所組合的集合叫 A與B的交集記作(1) 定義：由所有屬于集合A且屬于集合AcB，即蟲qB二兇肚衛(wèi)，且讓&#

6、163; (2) 交集的圖示G上圖陰影部分表示集合 A與B的交集.(3) 交集的運(yùn)算律一 一 1,匕二-匚2. 并集(1) 定義：由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，記作-,即HuB 二A ,或工 E B(2) 并集的圖示以上陰影部分表示集合A與B的并集.(3) 并集的運(yùn)算律AuA = A 加0" AuB = BuA (Au=3、補(bǔ)集（1）定義：設(shè)S是一個(gè)集合，A是S的一個(gè)子集，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補(bǔ)集（或余集）記作，即CsA=二；三2上.（2）補(bǔ)集的圖示4、常用性質(zhì)Al A=A , aD 二，aH B=B A , A B_A, A B-

7、B .A J A=A , AXA , A_ b=bUa, aUbRa, aUbRb.= UHUnC),= (AuB)q(AuC例2、集合二小蘭 10,且 XEM , A$U , B$U，且亦月=4 , 5,：L，1' ' ' _1 , 2 , 3，“12丄廠.6 , 7, 8,求集合 A 和 B.分析：利用集合圖示較為直觀.解：由 Jnfi=4, 5, 則將4 , 5寫在 二中，由，丄-一 1 , 2 , 3,則將1 , 2 , 3寫在集A中，6 , 7 , 8,則將6 , 7 , 8寫在A、B之外，故 A=1 , 2, 3 , 4 , 5 , B=4 , 5 , 9

8、, 10.5、容斥原理：有限集A的元素個(gè)數(shù)記作card(A).對(duì)于兩個(gè)有限集A, B,有card(A U B)= card(A)+card(B)- card(A A B).、難點(diǎn)知識(shí)剖析1、要注意區(qū)分一些容易混淆的符號(hào)(1) 二與 的區(qū)別：E表示元素與集合之間的關(guān)系，例如i£n , -1毎N等；匚表示集合與集合之間的關(guān)系，例如N _ R,等.(2) a與a的區(qū)別：一般在,a表示一個(gè)元素，a而表示只有一個(gè)元素a的集合.例 如，0 二0,1 _1,2,3等，不能寫成 0=0 , 1二1,2,3, 1 1,2,3.(3) 0與的區(qū)別：是含有一個(gè)元素0的集合，是不含任何元素的集合，因此 0但

9、不能寫成 g0，二0.例3、已知集合M=x|x W3,集合P=x|x<2二；,設(shè) _,則下列關(guān)系式中正確的一 個(gè)是()B、a MD、a 3廣 PA、P MCC、P 八 M解析：集合M、P都是部分實(shí)數(shù)組成的集合，而a是一個(gè)具體的實(shí)數(shù)，故M、P間的關(guān)系應(yīng)用包含”，不包含”來(lái)確定，而對(duì)a與集合M、P的關(guān)系只能用 屬于”，不屬于”來(lái)確定，比較3旋 2&-t-3實(shí)數(shù)-_ 的大小，易判斷c正確小結(jié)：正確使用集合的符號(hào)是正確分析、解答問題的關(guān)鍵.2.理解集合所表示的意義(1) 對(duì)由條件給出的集合，要明白它所表示的意義，即元素指什么，是什么范圍如 y二R|y二丁丨J 表示的為函數(shù)y= 丁丨L中y

10、的取值范圍，故y _ R|y=丨 _.t 二=y _ R|y二 1 ;而x _ R|y=.丨 _T 二表示y=.丨 _工二的x的取值范 圍，故xR|y= 二丨 _.T ' J =R .(2) 用集合表示不等式(組)的解集時(shí)，要注意分辨是交集還是并集 ，結(jié)合數(shù)軸或韋 恩圖的直觀性幫助思維判斷 .空集是任何集合的子集，但因?yàn)椴缓糜庙f恩圖表示，容易被 忽視，如在關(guān)系式B_A中，易漏掉B=的情況.例4、設(shè)a=W|F+4x二0, B=(x|?+2(a + l)x+a2-l=0(1) 若A I B=B ,求的值；(2) 若AB=B ,求的值.分析：明確A I B=B和AB=B的含義，根據(jù)問題的需要

11、，將A I B=B和AB=B轉(zhuǎn)化為等 價(jià)的關(guān)系式："-'', 是解決本題的關(guān)鍵.解析：首先化簡(jiǎn)集合A，得A=-4 , 0(1)由于A I B=B ,則有"一"可知集合B或?yàn)榭占?，或只含有?或-4 .若B=，由二一匕得右匚- 若一 - 1',代入得:-.,ri - . ,，： ： I當(dāng)a=l時(shí),b=xX+4x=0 = (0,« = 4 ,合題意.f =0= (0cj4當(dāng)a-1時(shí)，b= |丿 卓,也符合題意. 若- -,代入得:J -二 一 .1, :. ：當(dāng)一時(shí)，中已討論，合題意當(dāng) a = 7 時(shí)，b="-,'，

12、" 不合題意.由、得， -二一1.(2)因?yàn)锳B=B ,所以'',又A=-4 , 0,而B至多只有兩個(gè)根，因此應(yīng)有A=B .由(1)知，： 一BqA點(diǎn)評(píng)】：般對(duì)于a Ib=b和AB=B這種類型的問題，都要注意轉(zhuǎn)化為等價(jià)的關(guān)系式和 - L，,且在包含關(guān)系_ 丨中，注意不要漏掉b=二的情況.并且當(dāng)A、B中的元素的個(gè)數(shù)相同時(shí)，還存在=二或一：=_的情況時(shí)，只有A=B這一種情 況.子集(1)子集定義：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A與B,如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合 B的 元素，我們就說集合A包含于集合B,或集合B包含集合Ao記作讀作：A包含于B或B包含A若任就£占=疋E

13、則AcB當(dāng)集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A時(shí)，則記作：A - B或B - A.性質(zhì)： （任何一個(gè)集合是它本身的子集）丁二（空集是任何集合的子集）置疑】能否把子集說成是由原來(lái)集合中的部分元素組成的集合？解疑】不能把A是B的子集解釋成A是由B中部分元素所組成的集合.因?yàn)锽的子集也包括它本身，而這個(gè)子集是由B的全體元素組成的.空集也是B的子集，而這個(gè)集合中并不含有 B中的元素.由此也可看到，把A是B的子集解釋成A是由B的部 分元素組成的集合是不確切的.（2）集合相等：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A與B,如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合 B的元 素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合 A的元素，我們就

14、說集合A等于集合B,記作A=B。例：-,可見，集合一一匚,是指A、B的所有元素完全相同.（3）真子集：對(duì)于兩個(gè)集合A與B,如果二=，并且一=I ,我們就說集合A是集合B 的真子集，記作：一1 一 （或一）,讀作A真包含于B或B真包含A。思考】能否這樣定義真子集：如果A是B的子集，并且B中至少有一個(gè)元素不屬于 A,那么 集合A叫做集合B的真子集.”集合B同它的真子集A之間的關(guān)系，可用文氏圖表示，其中兩個(gè)圓的內(nèi)部分別表示集合A, B.提問】(1) 寫出數(shù)集N , Z, Q, R的包含關(guān)系，并用文氏圖表示(2) 判斷下列寫法是否正確門_A訃_ A八上A - A性質(zhì)：(1) 空集是任何非空集合的真子集

15、。若_A ,且A工。,貝U 0 A;(2) 如果一，一 一，U 一一 一 .例1寫出集合；：的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集 .解：集合；的所有的子集是 U , M,-,其中門,是；的真子集.注意】(1)子集與真子集符號(hào)的方向。AAqB與EnH同義；占匚不同(2)易混符號(hào) “二”與元素與集合之間是屬于關(guān)系；集合與集合之間是包含關(guān)系。如I ' ，； - - ' U - R, 1 - 1 , 2, 3 0與' j : 0是含有一個(gè)元素0的集合，°是不含任何元素的集合。如：訃-0。不能寫成 0 =0 ,0 0例3判斷下列說法是否正確，如果不正確，請(qǐng)加以改正(1) '表示空集；(2) 空集是任何集合的真子集；(3) 不是；(4) -1的所有子集是.'!；(5) 如果_ ：且 ,那么B必是A的真子集;(6) ；_與上不能同時(shí)成立.解：(1)'不表示空集，它表示以空集為元素的集合 ，所以(1)不正