面角的幾種求法

1、二面角的幾種求法4.1概念法顧名思義，概念法指的是利用概念直接解答問題。例1:如圖2所示，在四面體 ABCD中，AC = AB =1, CD二BD =2, AD =3。求二 面角A BC D的大小。圖2分析：四面體ABCD的各個(gè)棱長都已經(jīng)給出來了，這是一個(gè)典型的根據(jù)長度求角度 的問題。解：設(shè)線段BC的中點(diǎn)是E ,接AE和DE。根據(jù)已知的條件 AC二AB =1 ,CD二BD =2，可以知道AE _ BC且DE _ BC。又BC 是平面ABC和平面DBC的交線。根據(jù)定義，可以得出： AED即為二面角A-BC-D的平面角。可以求出AE3，DE=：3，并且AD =3。2根據(jù)余弦定理知：cos ZAED

2、 二2 2 2AE ' DE AD2AE DE7即二面角A -BC -D的大小為專-arccos7。4同樣，例2也是用概念法直接解決問題的。例2:如圖3所示，ABCD是正方形，PB _平面ABCD , PB二AB =1，求二面角A PD -C的大小。圖3解：作輔助線CE _ PD于點(diǎn)E，連接AC、AE。由于AD = CD， PA = PC，所以三角形PAD三三角形PCD。即AE _ PD。由于CE _ PD，所以.AEC即為所求的二面角的大小。通過計(jì)算可以得到：PC = . 2， PD = 3，又CD = 1，在三角形PCD中可以計(jì)算得到CE專。由此可以得到:ae=ce=3，又Z由余弦

3、定理:AE2+CE-AC22AE|accos AEC 二2 223 3即：.AEC 二2-34.2空間變換法空間變換法指的是基本的空間方法，包括三垂線法、補(bǔ)角法、垂面法、切平面法等 方法。下面用例3介紹三垂線法、補(bǔ)角法和垂面法。例3:如圖4所示，現(xiàn)有平面:和平面-,它們的交線是直線DE，點(diǎn)F在平面內(nèi), 點(diǎn)C在平面1內(nèi)。求二面角F DE -C的大小。分析：過點(diǎn)C作輔助線CA垂直于DE，作CB垂直于平面1于點(diǎn)B。補(bǔ)角法直接求解二面角F - DE -C的大小是有些困難的，那么可以先求解二面角 C-DE-B。因?yàn)槎娼荈-DE-C與二面角C - DE - B是互補(bǔ)的關(guān)系，現(xiàn)在先求出 二面角C - DE

4、 -B后，二面角F - DE -C的大小就很容易計(jì)算了。三垂線法由于CA _ DE，CB _平面1。那么根據(jù)三垂線定理可以得知： CA在平面1內(nèi)的 射影AB垂直于兩平面的交線DE。即AC _DE且AB _ DE，根據(jù)定義可知，二面角 C - DE -B的大小即為 CAB的大小。那么二面角F - DE -C的大小可以用補(bǔ)角法得 到。切平面法切面法的基本思想是做一個(gè)垂面，它垂直于兩個(gè)平面的交線，在所得的圖形中就可 以很容易觀察與計(jì)算二面角。如圖 4所示，可以作平面CAB垂直于兩個(gè)平面的交線 DE，平面CAB與平面的交線是AC，平面CAB與平面一：的交線是AB，根據(jù)二面 角的定義知 CAB即為所求二

5、面角的補(bǔ)角，根據(jù)補(bǔ)角法，可以求出二面角F-DE-C 的大小。F面用例4來詳細(xì)講解一下切平面法例 4:在圖 5 中，PA _ 平面 ABC , ABC 二 90°。其中 PA 二 AB = 1 , PB 二 BC = . 2。E是PC的中點(diǎn)，DE _ PC。求二面角C -BD -E的大小。圖5解：由于E是PC的中點(diǎn)，且 PBC是等腰三角形，那么BD _ PC又DE_PC，可以推出：PC _平面BDE。所以：PC _ BD。又PA _平面ABC，貝U BD _ PA，所以BD _平面PAC可以得出：平面PAC是平面CBD和平面EBD的公共切平面。由此，根據(jù)切平面法知 CDE即為所求二面角

6、的平面角由于VCDE -ICPA，那么：CDCECACP 1 2 2、3CP32= 3，DECECAPA-又: CE 二丄 PCBP2 BC2一2 2 =1。2 2 2在三角形CDE中根據(jù)余弦定理可知：cos CDE =CD2 DE2 -CE22CD DE4 -13 3那么 CDE =60°即求二面角C - BD - E的大小是60°424補(bǔ)形法以上講解了三垂線法、補(bǔ)角法和垂面法三種空間變換法，以下通過一個(gè)單獨(dú)的例子 來講解第四種方法一一補(bǔ)形法。例5:在圖6中，PA _平面ABCD，四邊形ABCD是一個(gè)直角梯形，其中PA = 1，AD =1，CD =1， AB 二0 . B

7、AD ADC =90。求平面 PAD 與平面 PBC 所成二 2面角的大小。圖6解：延長直線DA與BC，它們相交于點(diǎn)E，連接PE o由題意可知，BA平行于CD，AB的長度是CD的一半，且BA _ AD，BA_ PA， 那么 BA_ 平面 PED，CD _ 平面 PED，AE = 1，PE2。在三角形PED中，PD = PE .2，ED = AE AD =2。那么根據(jù)勾股定理可知DPE =90，即 DP _ PE oCD _平面PED，DP 一 PE，且DP是CP在平面PED內(nèi)的射影，根據(jù)三垂線定理知：CP _ PE o又DP _ PE，即.CPD即為所求的二面角即:乙CPD 二 arccos3

8、cos _ CPD 二在 Rt CDP 中，CD =1， PD = ：；2，所以平面PAD與平面PBC所成二面角的大小是arccos-6。3在有些問題中，所給的圖形不是能夠很好觀測(cè)到二面角的平面角，可以通過補(bǔ)形的方法來觀測(cè)二面角的平面角。在例5中，很好的運(yùn)用了補(bǔ)形法和三垂線法來解決問題， 這也告訴我們，可以在一個(gè)問題中使用多種方法來達(dá)到解決問題目的。4.3空間向量法二面角和兩平面的夾角之間的關(guān)系兩平面的夾角有兩個(gè)，它們之間互補(bǔ)，取它們中角度較小的為 耳，那么二i的取值范圍是（0，T。而二面角是指兩個(gè)特定的半平面所組成的圖形，二面角比的取值范圍是2 2（0,二）。但是我們可以利用兩個(gè)平面的夾角來

9、求二面角，它們之間的關(guān)系具體如下：如果 0 “2，二2 一 6。（ 1）2如果.2 空二，二2 -二-弓。（2）2因此，在用空間向量法求解二面角的時(shí)候，必須先判斷二面角的大小是銳角還是鈍 角，然后由以上發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來求解。當(dāng)然，前提是先求出兩平面的夾角。平面法向量的求法兩平面間的夾角一般根據(jù)兩平面的法向量來求。如果平面方程已知，平面的法向量可以直接給出，如果平面方程未知，法向量可以根據(jù)平面內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)求出來。 如圖7所示：例6:如圖7所示在平面內(nèi)，已知三點(diǎn)，Y=（x2,y2,z2），Z譏乙）。圖7下面求解平面:-的一個(gè)法向量n。解法一：求平面的法向量的大小，可以用該平面內(nèi)的兩個(gè)向量的矢性積來

10、求，即:v uuu uuvn 二 XY XZuuvuuv又 XY =X2 Xi, y2一召，XZ =X3 xy3 - %,勺Zg可以求出：vy2 -yiz2ziz2 -z-ix2 -x-)X2Xi y2yi、n=JJygyizg勺Zgxg -x-人ygyi解法二：設(shè)平面的方程為Ax By Cz D = 0將點(diǎn)X，Y，Z的坐標(biāo)分別代入方程可以解出系數(shù) A，B，C，D。在此特別強(qiáng)調(diào)一下，三個(gè)點(diǎn)帶入方程后得到的應(yīng)該是一個(gè)四元三次方程， 可能無解, 如果有解，那么一定有無數(shù)多個(gè)解。可以通過解方程，將 A，B，C全部用D表示, 這樣就可以得到一個(gè)形如2Dx 5Dy 4Dz 0的方程，可以將新得到的方程兩

11、邊同時(shí)除以D （ D一定不等于0，否則A=B=C二D = 0，方程無意義），那么就可以得到平面的方程2x 5y 4z 1 = 0。得到了平面的一般方程，即得平面的法向量坐標(biāo)n-A, B, C。解法三：uuv uiv在圖7中，由所給的信息，可以求出向量 XY、XZ的大小。設(shè)平面:的一個(gè)法向量 n 二x,y,z。卄 uuvuuv右 XY =ai, b|, Ci , XZ = a? ,b?, c?。v uuv v uuv由nXY=O, nXZ=O可以得到：a1xb|yqz = 0a2xb>yc?z = 0可以求解出x, y, z的關(guān)系。此方程一定有無數(shù)多個(gè)解，可以將x, y用z表示。如V =2

12、z,4z, z，由此可知向量V =2,4,1是平面的一個(gè)法向量。兩平面夾角的公式兩平面相交時(shí)，定義它們之間的夾角，為它們法向量的夾角為nV，uV，其中uv口-tv-tuvX：COSTLV LV rn n2ni=A，B，Cj, i= 1,2 于是：1a 沢 a2 +B汁 b2 +G c2Ja： +Bi2 +C：卜 Ja； +B； +C；兩平面的夾角轉(zhuǎn)化成二面角利用上述方法，先求出兩平面的法向量，再求兩平面的夾角，最后可以根據(jù)（1）、（2）求出二面角的大小。例7:如圖8所示，四邊形ABCD是一個(gè)矩形，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在邊AD和邊AB 上, 其中AE二AF二ED =4 , FB = 6?，F(xiàn)在以直線EF

13、為折痕，將三角形AEF折起，得到 三角形A'EF，同時(shí)使得平面A'EF與底面ABCD垂直。求二面角A'- FB -C的大小。解：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖8所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ) xyz ,設(shè)點(diǎn)H是線段EF 的中點(diǎn)，連接A'H。可以得到：uuivuuvA(0,0,0)，A(2,2,2 . 2)，C(10,8,0)，F(xiàn)(4,0,0)，F(xiàn)A'= -2,2,2 . 2，F(xiàn)B =6,0,0。uuuv uiv由于 A'E 二 A'F，所以 A'H _ EF。又平面A' EF與底面ABCD垂直。-uuuu 十所以：A'H 平面AB

14、CD。uuu/-即HA、(0,0,2 2)是底面ABCD的一個(gè)法向量。v，v uuu v uuv設(shè)n = (x, y, z)是平面A'FB的一個(gè)法向量。那么：n FA' = 0, n F 0即.-2x 2y 2、&z=06x = 0那么：x = 0，y - -2， z 二、2，即 n =0, -2 2uuu/ v cos ： HA', n 口uuvvHA'nuuv vHA' n3.3即二面角A'-FB -C的大小為arccos4.4另類方法比較常用的另類方法是四面體體積法、角度法和面積攝影法。四面體體積法例8:如圖9所示，在空間四面體A

15、BCD中，四面體的所有棱長都是1,求二面角A -BD -C的大小。圖9分析：過點(diǎn)A作輔助線A0 _平面BCD于點(diǎn)O ,過點(diǎn)A作輔助線AE _ BD于點(diǎn)E，AC連接直線EC，AEC - v，sin v - »。由于四面體A - BCD是一個(gè)正四面體， AECAE即為所求二面角。（也可以推導(dǎo)出當(dāng)四面體不是正四面體時(shí) AEC同樣是所求的二面 角）正四面體A-BCD的棱長是1,可以求出正四面體 A-BCD的體積是丄2121Va _BCD = 3 AO X S|BCD根據(jù)已知條件可知:可以求出:ACAE漢 SbcdBD 卜 |AE|)2sin 二，SBCD SABDVA-BCD3 BD3 BD

16、BD =1，Sabds _jSbcd 一4sin也，即33當(dāng)四面體A-BCD不是正四面體時(shí)也可以用這種方法求解， 只需要知道體積、兩個(gè) 面的面積、公共邊的長度就可以解出二面角的大小了442角度法例9:如圖10所示，以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的三條射線分別是 AB、AC、AD，其中AB、AD的夾角是刁，AB、AC的夾角是R，AC、AD的夾角是屯?，F(xiàn)在要求二面角C - AB -D的大小。圖10分析：現(xiàn)在設(shè)CB _ AB，并且DB _ AB （由于AB、AC、AD的長度沒有給出,這樣的假設(shè)是合理可行的），那么.CBD即為所求二面角的大小。根據(jù)已知條件可以得到:BD = AB "anq，ADABcos弓B

17、C = AB "an02，又CD將ADABcos齊AC2+ AD -2 ABcoslAC AD cos03AC帶入得到:CO旳2CD二12co3)cos2 弓 cos、 cos cos在三角形BCD中,”BC2 + BD-|CD 2cosCBD =2 BC )BD|AB $ tan2 3 + AB $ tan2 以AB' (+ -予°曲3甘)二COS 廿 1 COS 廿 2 COS廿1 COS忖22 AB $ tand tan°22 .12 .1、2cosn3(tan r2) (tan v22)cos qcos B2cos® cosB22tan“ tanr22cosv3cosk cos *一1 一12tanK tan*COS 去COSE COScos t cos *即:CBDCOS d3 -cos y COSd2 =arccos COSR COST 2通過這種方法，可以在沒有任何長度條件的情況下求解出二面角的大小，因此，該方法是一個(gè)比較特殊實(shí)用的方法。面積射影法例10:如圖11所示，在空間直角坐標(biāo)系O-XYZ中，點(diǎn)A、B、C分別在X、Y、Z軸上，現(xiàn)在要求二面角 O - AB -C