淺談線(xiàn)性方程組和矩陣方程

1、鞍山師范學(xué)院數(shù)學(xué)系 13屆學(xué)生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）開(kāi)題報(bào)告課題名稱(chēng)：淺談線(xiàn)性方程組和矩陣方程 學(xué)生姓名：田鴿 專(zhuān) 業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)班 級(jí)：10級(jí)1班學(xué) 號(hào)： 10號(hào)指導(dǎo)教師：裴銀淑2013年 12月 24日一、 選題意義 1、 理論意義：基于線(xiàn)性方程組和矩陣在線(xiàn)性代數(shù)以及在各個(gè)領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，再加上計(jì)算機(jī)和計(jì)算方法的普及發(fā)展,為矩陣的應(yīng)用開(kāi)辟了廣闊的前景.通過(guò)矩陣來(lái)解線(xiàn)性方程組大大簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程,為解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題提供了一種研究途徑.研究該課題的意義是為了對(duì)矩陣在解線(xiàn)性方程組中的廣泛應(yīng)用有一個(gè)更深的了解與掌握.。求線(xiàn)性方程組的一般解則是所有學(xué)習(xí)線(xiàn)性代數(shù)的人們必須掌握的基本技能。通過(guò)矩陣可以使許多

2、抽象的數(shù)學(xué)對(duì)象得到具體的表示，并把相關(guān)的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為矩陣的簡(jiǎn)單運(yùn)算，使代數(shù)學(xué)的研究在一定程度上化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，變抽象為具體，變散亂為整齊有序，矩陣是線(xiàn)性代數(shù)中不可或缺的處理工具，它在其它的數(shù)學(xué)理論中也有著重要的作用。2、 現(xiàn)實(shí)意義；大學(xué)數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的基本語(yǔ)言，是應(yīng)用模式探索現(xiàn)實(shí)世界物質(zhì)運(yùn)動(dòng)機(jī)理的主要手段。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義不僅僅是學(xué)習(xí)一種專(zhuān)業(yè)的工具而已隨著科學(xué)的發(fā)展，我們不僅要研究單個(gè)變量之間的關(guān)系，還要進(jìn)一步研究多個(gè)變量之間的關(guān)系，因?yàn)楦鞣N實(shí)際問(wèn)題在大多數(shù)情況下可以線(xiàn)性化，而科學(xué)研究中的非線(xiàn)性模型通常也可以被近似為線(xiàn)性模型，作為變化率的額倒數(shù)在幾何學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用，拋體運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)建模及其

3、應(yīng)用，最優(yōu)化方法及其在工程、經(jīng)濟(jì)、農(nóng)業(yè)等領(lǐng)域中的應(yīng)用，邏輯斯諦模型及其在人口預(yù)測(cè)、新產(chǎn)品的推廣與經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)預(yù)測(cè)方面的應(yīng)用，網(wǎng)絡(luò)流模型及其應(yīng)用，人口遷移模型及其應(yīng)用，常用概率模型及其應(yīng)用，等等.另外由于計(jì)算機(jī)的發(fā)展，線(xiàn)性化了的問(wèn)題又可以計(jì)算出來(lái)，所以，線(xiàn)性代數(shù)因成為了解決這些問(wèn)題的有力工具而被廣泛應(yīng)用。如量子化學(xué)（量子力學(xué)）是建立在線(xiàn)性Hilbert空間的理論基礎(chǔ)上的，沒(méi)有線(xiàn)性代數(shù)的基礎(chǔ)，不可能掌握量子化學(xué)。而量子化學(xué)（和分子力學(xué)）的計(jì)算在今天的化學(xué)和新藥的研發(fā)中是不可缺少的。而矩陣是一種非常常見(jiàn)的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，例如 學(xué)校課表、成績(jī)單、工廠(chǎng)里的生產(chǎn)進(jìn)度表、車(chē)站時(shí)刻表、價(jià)目表、故事中的證劵價(jià)目

4、表、科研領(lǐng)域中的數(shù)據(jù)分析表，它是表述或處理大量的生活、生產(chǎn)與科研問(wèn)題的有力的工具。矩陣的重要作用主要是它能把頭緒紛繁的十五按一定的規(guī)則清晰地展現(xiàn)出來(lái)，使我們不至于背一些表面看起來(lái)雜亂無(wú)章的關(guān)系弄得暈頭轉(zhuǎn)向。還可以恰當(dāng)?shù)慕o出事物之間內(nèi)在的聯(lián)系，并通過(guò)矩陣的運(yùn)算或變換來(lái)揭示事物之間的內(nèi)在聯(lián)系。它也是我們求解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)候“數(shù)形結(jié)合”的途徑。二、 論文綜述 1、 國(guó)內(nèi)外有關(guān)研究的綜述:(1)九章算術(shù)是中國(guó)古代一部重要的數(shù)學(xué)經(jīng)典著作。其“方程術(shù)”解線(xiàn)性方程組的方法是世界上最早、最完整的線(xiàn)性方程組解法,涉及方程的矩陣表示和直除法消元。劉徽提出了比較系統(tǒng)的方程理論。在西方,線(xiàn)性方程組的研究是萊布尼茨在17世

5、紀(jì)后期開(kāi)始的。論述線(xiàn)性方程組解結(jié)構(gòu)的早期研究,理清Cramer's Rule的發(fā)展脈絡(luò)。麥克勞林與克萊姆都是從線(xiàn)性方程組的求解入手,用線(xiàn)性方程組的系數(shù)給出解的表達(dá)式。在貝祖、范德蒙、凱萊、格拉斯曼、史密斯和道奇森等數(shù)學(xué)家的努力下,線(xiàn)性方程組解結(jié)構(gòu)理論從零散的知識(shí)發(fā)展為系統(tǒng)的理論體系的形成過(guò)程。凱萊用矩陣表示線(xiàn)性方程組及線(xiàn)性方程組的解,格拉斯曼則使用向量表示線(xiàn)性方程組的解;史密斯和道奇森進(jìn)一步研究線(xiàn)性方程組的解結(jié)構(gòu)。(2)根據(jù)世界數(shù)學(xué)發(fā)展史記載，矩陣概念產(chǎn)生于19世紀(jì)50年代，是為了解線(xiàn)性方程組的需要而產(chǎn)生的。 然而，在公元前我國(guó)就已經(jīng)有了矩陣的萌芽。在我國(guó)的九章算術(shù)一書(shū)中已經(jīng)有所描述，

6、只是沒(méi)有將它作為一個(gè)獨(dú)立的概念加以研究，而僅用它解決實(shí)際問(wèn)題，所以沒(méi)能形成獨(dú)立的矩陣?yán)碚摗?1850年，英國(guó)數(shù)學(xué)家西爾維斯特 (SylveSter，1814-1897)在研究方程的個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)不相同的線(xiàn)性方程組時(shí)，由于無(wú)法使用行列式，所以引入了矩陣的概念。 1855年，英國(guó)數(shù)學(xué)家凱萊 (Caylag，1821-1895)在研究線(xiàn)性變換下的不變量時(shí)，為了簡(jiǎn)潔、方便，引入了矩陣的概念。1878年，德國(guó)數(shù)學(xué)家弗羅伯紐斯 (Frobeniws，1849一1917)在他的論文中引入了 矩陣的行列式因子、不變因子和初等因子等概念，證明了兩個(gè) 矩陣等價(jià).1879年，他又在自己的論文中引進(jìn)矩陣秩的概念.

7、 矩陣的理論發(fā)展非常迅速，到19世紀(jì)末，矩陣?yán)碚擉w系已基本形成。到20世紀(jì)，矩陣?yán)碚摰玫搅诉M(jìn)一步的發(fā)展。2 本人對(duì)以上綜述的評(píng)價(jià) ：九章算術(shù)據(jù)史學(xué)家考證，是歷史數(shù)學(xué)家共同鑄造而成，對(duì)中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展與傳承有著不可磨滅的作用。它的出現(xiàn)標(biāo)志著古代數(shù)學(xué)完整的體系。他的線(xiàn)性方程組解法以及矩陣概念的提出，為后世研究奠定了基礎(chǔ)。萊布尼茲對(duì)線(xiàn)性方程組進(jìn)行研究，對(duì)消元法從理論上進(jìn)行了探討，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理論。為后來(lái)的數(shù)學(xué)理論奠定了基礎(chǔ)。西爾維斯特同凱萊一起，發(fā)展了行列式理論，創(chuàng)立了代數(shù)型的理論，共同奠定了關(guān)于代數(shù)不變量理論的基礎(chǔ)，并且也是矩陣的創(chuàng)立者，他們發(fā)布的用矩陣表示線(xiàn)性方程及線(xiàn)性

8、方程組的解，使解線(xiàn)性方程組更加簡(jiǎn)單嚴(yán)謹(jǐn)。在矩陣論的發(fā)展史上，弗羅伯紐斯的貢獻(xiàn)是不可磨滅的。他討論了最小多項(xiàng)式問(wèn)題，引進(jìn)了矩陣的秩、不變因子和初等因子、正交矩陣、矩陣的相似變換、合同矩陣等概念，以合乎邏輯的形式整理了不變因子和初等因子的理論，并討論了正交矩陣與合同矩陣的一些重要性質(zhì)。目前，矩陣己經(jīng)發(fā)展成為在物理、控制論、機(jī)器人學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科有大量應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支 。三、 論文提綱 前言:-。一、廣義逆矩陣求解線(xiàn)性方程組1線(xiàn)性方程的相容性、通解與廣義1-逆(1)減號(hào)廣義逆或1-逆定義(2)證明線(xiàn)性方程組AX=b有解的充要條件是AA¯b=b2、相容性方程的極小范數(shù)解與廣義1、4-逆

9、3、矛盾方程的最小二乘解與廣義1、3-逆4、矛盾方程組的極小范數(shù)最小二乘解與廣義逆矩陣A+二、用MATLB輔助計(jì)算求解線(xiàn)性方程1、矩陣在MATLB中的實(shí)現(xiàn)（1）調(diào)用函數(shù)solve來(lái)求解代數(shù)方程或代數(shù)方程組（2）通過(guò)矩陣除法來(lái)求解.2、MATLB輔助計(jì)算求解線(xiàn)性方程組(1)調(diào)用函數(shù)solve來(lái)求解線(xiàn)性方程組(2)調(diào)用函數(shù)rref求解(3)矩陣求解線(xiàn)性方程組結(jié)論 -。四、預(yù)期的結(jié)果:-。五、參考文獻(xiàn)1.、王萼芳 石生明.高等代數(shù)M.高等教育出版社,第三版2、金朝嵩 符名培.線(xiàn)性代數(shù)M.重慶大學(xué)出版社,第二版3、王篤正。線(xiàn)性方程組與矩陣M.出版日期1980年06月第1版4、周金森. 廣義逆矩陣與線(xiàn)性

10、方程組的解J漳州職業(yè)技術(shù)學(xué)院2006年4月P15-P275、曾德備. 矩陣與線(xiàn)性方程組M 玉溪師專(zhuān)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）1989年第四期6 、尹釗、賈尚暉. Moore-Penrose 廣義逆矩陣與線(xiàn)性方程組的解M(中央財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù) 學(xué)學(xué)院,北京100081)7、 奚傳智. 用廣義逆矩陣求解線(xiàn)性方程組M (山東省棗莊師專(zhuān)，山東棗莊277160)8、 毛劍鋒 吳又勝線(xiàn)性方程組的矩陣解法J咸寧師專(zhuān)學(xué)報(bào),第19卷第三期6、 論文寫(xiě)作進(jìn)度安排2013年12月17日12月24日 搜集材料，做好論文前期準(zhǔn)備工作，確定論文題目2013年12月24日12月26日 搜集、歸納、分析材料，撰寫(xiě)開(kāi)題報(bào)告2013年12月26日 交畢業(yè)設(shè)計(jì)開(kāi)題報(bào)告 假期及下學(xué)期第12周 系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)，撰寫(xiě)