充分利用三角形面積巧解題

1、.充分利用三角形面積巧解題“補(bǔ)形法是解幾何題常用的重要之一。所謂“補(bǔ)形，就是根據(jù)題目的條件和圖形，經(jīng)過(guò)觀察、分析和聯(lián)想，運(yùn)用添加輔助線的，使之轉(zhuǎn)化為熟悉的根本圖形，從而可溝通條件和結(jié)論之間的聯(lián)絡(luò)，為解題開(kāi)拓了新的途徑和，到達(dá)理解題的目的。下面舉例說(shuō)明補(bǔ)形法的應(yīng)用。1、補(bǔ)成三角形例1 如圖1，在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，AD=5。求。圖1解：延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)E如圖1，由條件可知∠E=30°所以，于是所以故例2 如圖2，在ABC中，E是BC的中點(diǎn)，D在AC邊上，假設(shè)∠BAC=60°，&a

2、ng;ACB=20°，∠DEC=80°，AC=1，求。圖2解：延長(zhǎng)AB到F，使AF=AC，連結(jié)FC，由∠BAC=60°，得ACF是等邊三角形。作∠BCF的平分線CG，交AF于G點(diǎn)，那么∠1=∠2=∠3=20°，∠GBC=∠A+∠2=60°+20°=80°=∠DEC所以又所以于是2、補(bǔ)成平行四邊形例3 如圖3，六邊形ABCDEF的六個(gè)內(nèi)角相等，且AB+BC=11，AFCD=3，求BC+DE的值。圖3分析：由六邊形ABCDEF的六個(gè)內(nèi)角相等，得六邊形ABCDEF的

3、內(nèi)角都是120°。延長(zhǎng)FA、CB交于P點(diǎn)，延長(zhǎng)CD、FE交于Q點(diǎn)，那么四邊形CQFP是平行四邊形，ABP、DEQ是等邊三角形。于是有PA+AF=CD+DQ所以又所以又AB+BC=11所以BC+DE=143、補(bǔ)成菱形例4 如圖4，凸五邊形ABCDE中，∠A=∠B=120°，EA=AB=BC=2，CD=DE=4。求。圖4解：延長(zhǎng)EA、CB交于F點(diǎn)。由∠A=∠B=120°易得ABF是等邊三角形，所以四邊形CDEF是菱形，故4、補(bǔ)成矩形例5 八邊形ABCDEFGH的八個(gè)內(nèi)角都相等，各邊長(zhǎng)度如圖5所示，求八邊形ABCDEFGH的周長(zhǎng)。圖5解：由八邊

4、形ABCDEFGH的八個(gè)內(nèi)角相等，得其內(nèi)角都是135°。延長(zhǎng)AB、DC交于M點(diǎn)，延長(zhǎng)CD、FE交于N點(diǎn)，延長(zhǎng)EF、HG交于P點(diǎn)，延長(zhǎng)GH、BA交于Q點(diǎn)，那么MNPQ是矩形，BCM、DEN、FGP、AHQ均為等腰直角三角形。設(shè)AH=x，GH=y由MQ=NP，MN=PQ，得所以故八邊形ABCDEFGH的周長(zhǎng)。5、補(bǔ)成正方形例6 如圖6，在ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=2，CD=3，求。圖6分析：由于∠BAC=45°，分別將BAD、CAD沿AB、AC向外翻折至BAF、CAE處，延長(zhǎng)FB、EC交于G點(diǎn)，那么四邊形AEGF是正方形。設(shè)

5、AD=x，那么在BCG中，即解得或舍去所以6、補(bǔ)成梯形例7 如圖7，四邊形ABCD中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，CD=6，求AD。圖7分析：由于∠ABC=135°，∠BCD=120°，故可過(guò)點(diǎn)A作AE垂直于CB的延長(zhǎng)線于E，過(guò)點(diǎn)D作DF垂直于BC的延長(zhǎng)線于F，那么ABE是等腰直角三角形，CDF是含30°角的直角三角形，所以四邊形ADFE是直角梯形。過(guò)A作AM⊥DF于M，那么所以7、補(bǔ)成正六邊形例8 六個(gè)半徑為1的圓的位置如圖8所示，求中間沒(méi)被蓋住的空白部分的面積。圖8解：如圖8，連結(jié)相鄰兩圓的圓心，

6、得六邊形ABCDEF是正六邊形。故8、補(bǔ)成整圓例9 如圖9，半圓的O的直徑在梯形ABCD的下底AB上，且與其余三邊AD、DC、CB相切，假設(shè)BC=2，AD=3，求AB的長(zhǎng)。圖9解：將半圓O補(bǔ)成整圓，作平行于AB的切線EF，交DA、CB的延長(zhǎng)線于E、F，那么AB是梯形CDEF的中位線，故從以上分析可以看出，“補(bǔ)形法在解有關(guān)幾何題時(shí)，有它獨(dú)特的魅力，可以使解答簡(jiǎn)單流暢 中考，別具一格，使一些復(fù)雜的問(wèn)題迎刃而解。開(kāi)拓了的思路，進(jìn)步理解題，對(duì)培養(yǎng)的也大有裨益。練習(xí)：1、六邊形ABCDEF的六個(gè)內(nèi)角都是120°，其連續(xù)四邊的長(zhǎng)分別是AB=3，BC=6，CD=5，DE=4，求六邊形ABCDEF的周長(zhǎng)和面積。2、在ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一點(diǎn)，且AE⊥BD的延長(zhǎng)線于E，。求證BD平分∠ABC。3、四邊形ABCD中，AB=AC=AD=a，CD=b，AD/BC，求對(duì)角線BD的長(zhǎng)。4、ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分線EF交BC的延長(zhǎng)線于E。求證。5、在四邊形ABCD中，∠BCD=∠CDA=120°，BC=5，CD=4，DA=6。求AB。6、ABC中，∠BAC=90°，AB