北京市朝陽區(qū)高三數學文科一模試題及答案

1、北京市朝陽區(qū)高三年級第一次綜合練習 數學學科測試（文史類） 2013.4第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.（1）為虛數單位，復數的虛部是A B C D . （2）若集合，則A. B. C. D. （3）已知向量，.若，則實數的值為 A B C D（4）已知命題：，；命題：，.則下列判斷正確的是A是假命題 B是假命題 C是真命題 D是真命題（5）若直線與圓有兩個不同的公共點，則實數的取值范圍是A BC D . （6）“”是“關于的不等式組表示的平面區(qū)域為三角形”的A充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C

2、. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件（7）某個長方體被一個平面所截，得到的幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為 正視圖側視圖俯視圖A. B. C. D. 8（8）已知函數.若，使，則稱為函數的一個“生成點”.函數的“生成點”共有A. 1個 B .2個 C .3個 D .4個第二部分（非選擇題 共110分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在答題卡上. 開始i=0S=0S=S+2i-1i6?輸出S結束是i=i+2否（9）以雙曲線的右焦點為焦點，頂點在原點的拋物線的標準方程是 . （10）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出結果S= . （11） 在等比數列中，則 ，若

3、為等差數列，且，則數列的前5項和等于 . （12）在中，,分別為角,所對的邊，且滿足，則 ， 若，則 .（13） 函數是定義在上的偶函數，且滿足.當時，.若在區(qū)間上方程恰有三個不相等的實數根，則實數的取值范圍是 .（14）在平面直角坐標系中，點是半圓（）上的一個動點，點在線段的延長線上當時，則點的縱坐標的取值范圍是 三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.（15）（本小題滿分13分）已知函數（）的最小正周期為.（）求的值及函數的單調遞增區(qū)間；（）當時，求函數的取值范圍.（16） （本小題滿分13分）國家環(huán)境標準制定的空氣質量指數與空氣質量等級對應關系如下表

4、：空氣質量指數0-5051-100101-150151-200201-300300以上空氣質量等級1級優(yōu)2級良3級輕度污染4級中度污染5級重度污染6級嚴重污染由全國重點城市環(huán)境監(jiān)測網獲得2月份某五天甲城市和乙城市的空氣質量指數數據用甲城市2457109 7 35 63 15 8 8 乙城市莖葉圖表示如下：（）試根據上面的統(tǒng)計數據，判斷甲、乙兩個城市的空氣質量指數的方差的大小關系（只需寫出結果）；（）試根據上面的統(tǒng)計數據，估計甲城市某一天空氣質量等級為2級良的概率；（）分別從甲城市和乙城市的統(tǒng)計數據中任取一個，試求這兩個城市空氣質量等級相同的概率(注：，其中為數據的平均數.)（17） （本小題滿

5、分14分）如圖，在四棱錐中，平面平面，且， 四邊形滿足，為側棱的中點，為側棱上的任意一點.（）若為的中點，求證：平面；PDABCFE（）求證：平面平面； （）是否存在點，使得直線與平面垂直？若存在，寫出證明過程并求出線段的長；若不存在，請說明理由（18） （本小題滿分13分）已知函數，其中（）若曲線在點處的切線的斜率為，求的值；（）求函數的單調區(qū)間.（19） （本小題滿分14分）已知橢圓過點,離心率為.（）求橢圓的方程；（）過點且斜率為（）的直線與橢圓相交于兩點，直線，分別交直線 于，兩點,線段的中點為.記直線的斜率為，求證: 為定值.（20）（本小題滿分13分）由按任意順序組成的沒有重復數字

6、的數組，記為，設，其中.（）若，求的值；（）求證：；（）求的最大值. (注：對任意，都成立.)北京市朝陽區(qū)高三年級第一次綜合練習 數學學科測試答案（文史類） 2013.4一、選擇題：題號（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案ACBDDADB二、填空題： 題號（9）（10）（11）（12）（13）（14）答案； ；（注：兩空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答題：（15）（本小題滿分13分）解：（） 1分 . 4分因為最小正周期為，所以.5分于是.由，得.所以的單調遞增區(qū)間為，.8分（）因為，所以， 10分則. 12分所以在上的取值范圍是. 13分（16）（本小題滿分13分）解

7、：（）甲城市的空氣質量指數的方差大于乙城市的空氣質量指數的方差.3分（）根據上面的統(tǒng)計數據，可得在這五天中甲城市空氣質量等級為2級良的頻率為，則估計甲城市某一天的空氣質量等級為2級良的概率為6分,（）設事件A：從甲城市和乙城市的上述數據中分別任取一個，這兩個城市的空氣質量等級相同，由題意可知，從甲城市和乙城市的監(jiān)測數據中分別任取一個，共有個結果，分別記為：（29，43），（29，41），（29，55），（29，58）（29，78）（53，43），（53，41），（53，55），（53，58），（53，78），（57，43），（57，41），（57，55），（57，58），（57，78），（75

8、，43），（75，41），（75，55），（75，58），（75，78），（106，43），（106，41），（106，55），（106，58），（106，78）.其數據表示兩城市空氣質量等級相同的包括同為1級優(yōu)的為甲29，乙41，乙43，同為2級良的為甲53，甲57，甲75，乙55，乙58，乙78.則空氣質量等級相同的為：（29，41），（29，43），（53，55），（53，58），（53，78）,（57，55），（57，58），（57，78），（75，55），（75，58），（75，78）.共11個結果.則.所以這兩個城市空氣質量等級相同的概率為PDABCFE13分（17）（本小題滿分1

9、4分）證明：（）因為分別為側棱的中點，所以 因為，所以而平面，平面，所以平面 4分（）因為平面平面，平面平面，且，平面.所以平面，又平面，所以又因為，所以平面，而平面， 所以平面平面8分（）存在點，使得直線與平面垂直.在棱上顯然存在點,使得.由已知，由平面幾何知識可得 由（）知，平面，所以，因為，所以平面而平面，所以又因為,所以平面.在中，可求得，可見直線與平面能夠垂直，此時線段的長為14分（18）（本小題滿分13分）解：()由可知，函數定義域為， 且.由題意，解得.4分（）. 令，得，.（1）當時，令，得;令，得.則函數的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為.（2）當，即時，令，得或.則函數的單調遞增區(qū)間為，.令，得.則函數的單調遞減區(qū)間為.（3）當，即時，恒成立，則函數的單調遞增區(qū)間為.（4）當，即時，令，得或，則函數的單調遞增區(qū)間為，.令，得.則函數的單調遞減區(qū)間為. 13分（19）（本小題滿分14分）解：（）依題得解得，.所以橢圓的方程為. 4分（）根據已知可設直線的方程為.由得.設,則.直線，的方程分別為：，令，則,所以.所以. 14分（20）（本小題滿分13分）解：（）.3分（）證明：由及其