對數(shù)平均數(shù)不等式鏈的幾何證明及變式探究

1、對數(shù)平均數(shù)不等式鏈的幾何證明及變式探究中學(xué)數(shù)學(xué)教育專家安振平在剖析2013年陜西高考數(shù)學(xué)壓軸題時指出，其理論背景是：設(shè)，則，其中被稱為“對數(shù)平均數(shù)”.安振平老師通過構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)，證明了上述對數(shù)平均數(shù)不等式鏈，難度較大.基于此，筆者進(jìn)行了深入的探討，給出對數(shù)平均數(shù)不等式鏈的幾何證明，形象直觀，易于理解.1 對數(shù)平均數(shù)不等式鏈的幾何證明如圖，先畫反比例函數(shù)的圖象，再畫其他的輔助線，其中，軸，,.設(shè)函數(shù)在點處的切線分別與直線交于點，則根據(jù)左圖可知：因為，所以. 因為，而根據(jù)右圖可知：，所以. 另外，根據(jù)，可得： . 綜上，結(jié)合重要不等式可知：，即. 2 對數(shù)平均數(shù)不等式鏈的變式探究近年來，以對

2、數(shù)平均數(shù)不等式鏈為落點的壓軸試題層出不窮，如2010年湖北卷、2012年天津、2013年新課標(biāo)、2014年陜西卷、2014福建預(yù)賽、2014年綿陽一、三診、2015合肥最后一卷等等，因此關(guān)注對數(shù)平均數(shù)不等式鏈的變式探究是十分必要的.為了行文敘述的方便，將對數(shù)平均數(shù)不等式鏈中的不等式，記為式；將，記為式；將，記為式.變式探究1：取，則由知：.于是，可編制如下試題：已知，求證：.變式探究2：取，則由知：.于是，可編制如下試題：已知，求證：.變式探究3：取，則由知：.于是，可編制如下試題：已知，求證：.變式探究4：取，則由知：.于是，可編制如下試題：對任意，且，求證：.變式探究5：取，則由知：.于是

3、，可編制如下試題：對任意，且，求證：.變式探究6：取，則由知：.于是，可編制如下試題：對任意，且，求證：.變式探究7：取，則由知：.于是，可編制如下試題：對任意，且，求證：.變式探究8：取，則由知：.于是，可編制如下試題：對任意，且，求證：.變式探究9：取，則由知：.于是，可編制如下試題：對任意，且，求證：.變式探究10：取，則由知：.于是，可編制如下試題：對任意，且，求證：.變式探究11：取，則由知：.于是，可編制如下試題：對任意，且，求證：.變式探究12：取，則由知：.于是，可編制如下試題：對任意，且，求證：. 總之，對數(shù)平均數(shù)不等式鏈的運用是近幾年數(shù)學(xué)競賽、名校模擬數(shù)學(xué)試題、高考數(shù)學(xué)真題的理論背景，正如陜西師范大學(xué)羅增儒教授所言：我們可以通過有限的典型考題的學(xué)習(xí)，去領(lǐng)悟那種解無限道題的數(shù)學(xué)機智.這里的領(lǐng)悟解題的數(shù)學(xué)機智從某種意義上說就是對問題本質(zhì)的理解，而對問題本質(zhì)的發(fā)現(xiàn)還在于我們對問題