中科院固體物理大綱及真題解析

1、中科院固體物理考研真題解析及考研輔導(dǎo)(2006soffeeswx2006前 言本資料主要用于中科院的固體物理考研參考。中科院的很多研究所的碩士入學(xué)考試都有固體物理(均為可選,例如半導(dǎo)體所、高能物理所、物理所、金屬所、上海應(yīng)用物理研究所、上海技術(shù)物理研究所和上海硅酸鹽研究所等,這表明固體物理這門課程對我們以后在研究生階段的學(xué)習(xí)和研究是非常重要的,因此我們在這門課程的復(fù)習(xí)過程中要認(rèn)真對待,對教材的相關(guān)內(nèi)容要理解透徹。本資料不作理論研究用,僅用于考研復(fù)習(xí)參考資料,主要是參照中科院的新大綱來編寫的。大綱中給出的參考資料有兩本,分別為教材一固體物理基礎(chǔ)(閻守勝編和教材二固體物理學(xué)(黃昆編,另外,根據(jù)很多

2、同學(xué)的推薦本人再向大家推薦一本教材,就是方俊鑫和陸棟主編的固體物理學(xué)(上冊,在本資料里把它稱為教材三。這三本教材中最重要的還是教材二,其中主要是前六章,希望大家都能仔細(xì)復(fù)習(xí)。本資料按照新大綱要求分為七章,每章都分為三部分(除第三章外:考試指導(dǎo)、基本知識(shí)點(diǎn)和試題分析?？荚囍笇?dǎo)是來自于本人考研復(fù)習(xí)的經(jīng)驗(yàn),純屬個(gè)人意見,希望能對大家有幫助?；局R(shí)點(diǎn)大多都是考試重點(diǎn),不是重點(diǎn)內(nèi)容的將會(huì)說明。試題分析是很重要的部分,我們要通過例題來加強(qiáng)對知識(shí)的理解和掌握,通過分析解題來進(jìn)一步抓住考點(diǎn)。另外,本資料例題均選自于往年考試真題,因?yàn)檎骖}最具有參考性,解題過程中最重要的是知識(shí)點(diǎn)分析,其答案僅供參考。由于本人知

3、識(shí)有限,本資料在編寫過程中定有一些不妥或錯(cuò)誤之處,誠懇大家在以后的交流中批評(píng)、指正。中科院研究生院碩士研究生入學(xué)考試固體物理考試大綱本固體物理考試大綱適用于中國科學(xué)院凝聚態(tài)物理及相關(guān)專業(yè)的碩士研究生入學(xué)考試。固體物理是研究固體的結(jié)構(gòu)、組成粒子的相互作用以及運(yùn)動(dòng)規(guī)律的學(xué)科,是物理研究的一個(gè)重要組成部分,是許多學(xué)科專業(yè)的基礎(chǔ)課程,其主要內(nèi)容包括晶體結(jié)構(gòu)、晶格振動(dòng)、能帶理論和金屬電子論等內(nèi)容。要求考生深入理解其基本概念,有清楚的物理圖象,能夠熟練掌握基本的物理方法,并具有綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力。(一考試內(nèi)容一、 晶體結(jié)構(gòu)1、單晶、準(zhǔn)晶和非晶的結(jié)構(gòu)上的差別2、晶體中原子的排列特點(diǎn)、晶

4、面、晶列、對稱性和點(diǎn)陣的基本類型3、簡單的晶體結(jié)構(gòu)4、倒易點(diǎn)陣和布里淵區(qū)5、X射線衍射條件、基元的幾何結(jié)構(gòu)因子及原子形狀因子二、 固體的結(jié)合1、固體結(jié)合的基本形式2、分子晶體與離子晶體,范德瓦爾斯結(jié)合,馬德隆常數(shù)三、 晶體中的缺陷和擴(kuò)散1、晶體缺陷:線缺陷、面缺陷、點(diǎn)缺陷2、擴(kuò)散及微觀機(jī)理3、位錯(cuò)的物理特性4、離子晶體中的點(diǎn)缺陷和離子性導(dǎo)電四、 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)1、一維鏈的振動(dòng):單原子鏈、雙原子鏈、聲學(xué)支、光學(xué)支、色散關(guān)系2、格波、簡正坐標(biāo)、聲子、聲子振動(dòng)態(tài)密度、長波近似3、固體熱容:愛因斯坦模型、德拜模型4、非簡諧效應(yīng):熱膨脹、熱傳導(dǎo)5、中子的非彈性散射測聲子能譜五、 能帶理論1、布

5、洛赫定理2、近自由電子模型3、緊束縛近似4、費(fèi)密面、能態(tài)密度和能帶的特點(diǎn)六、 晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動(dòng)1、恒定電場作用下電子的運(yùn)動(dòng)2、用能帶論解釋金屬、半導(dǎo)體和絕緣體,以及空穴的概念3、恒定磁場中電子的運(yùn)動(dòng)4、回旋共振、德哈斯-范阿爾芬效應(yīng)七、 金屬電子論1、金屬自由電子的模型和基態(tài)性質(zhì)2、金屬自由電子的熱性質(zhì)3、電子在外加電磁場中的運(yùn)動(dòng)、漂移速度方程、霍耳效應(yīng)(二考試要求一、晶體結(jié)構(gòu)1.理解單晶、準(zhǔn)晶和非晶材料原子排列在結(jié)構(gòu)上的差別2.掌握原胞、基矢的概念,清楚晶面和晶向的表示,了解對稱性和點(diǎn)陣的基本類型3.了解簡單的晶體結(jié)構(gòu)4.掌握倒易點(diǎn)陣和布里淵區(qū)的概念,能夠熟練地求出倒格子矢量和

6、布里淵區(qū)5.了解X射線衍射條件、基元的幾何結(jié)構(gòu)因子及原子形狀因子二、 固體的結(jié)合1.了解固體結(jié)合的幾種基本形式2.理解離子性結(jié)合、共價(jià)結(jié)合、金屬性結(jié)合、范德瓦爾斯結(jié)合等概念三、 晶體中的缺陷和擴(kuò)散1.掌握線缺陷、面缺陷、點(diǎn)缺陷的概念和基本的缺陷類型2.了解擴(kuò)散及微觀機(jī)理3.了解位錯(cuò)的物理特性4.大致了解離子晶體中的點(diǎn)缺陷和離子性導(dǎo)電四、 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)a熟練掌握并理解其物理過程,要求能靈活應(yīng)用:一維鏈的振動(dòng)(單原子鏈、雙原子鏈、聲學(xué)支、光學(xué)支、色散關(guān)系b清楚掌握格波、簡正坐標(biāo)、聲子、聲子振動(dòng)態(tài)密度、長波近似等概念c熟練掌握并理解其物理過程,要求能靈活應(yīng)用:固體熱容:愛因斯坦模型、德拜

7、模型d了解非簡諧效應(yīng):熱膨脹、熱傳導(dǎo)e了解中子的非彈性散射測聲子能譜五、 能帶理論a深刻理解布洛赫定理b熟練掌握并理解其物理過程,要求能靈活應(yīng)用:近自由電子模型c熟練掌握并理解其物理過程,要求能靈活應(yīng)用:緊束縛近似d深刻理解費(fèi)密面、能態(tài)密度和能帶的特點(diǎn)六、 晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動(dòng)a熟練掌握并理解其物理過程:恒定電場作用下電子的運(yùn)動(dòng)b能夠用能帶論解釋金屬、半導(dǎo)體和絕緣體,掌握空穴的概念c熟練掌握并理解其物理過程:恒定磁場中電子的運(yùn)動(dòng)d能夠解釋回旋共振、德哈斯-范阿爾芬效應(yīng)七、 金屬電子論a熟練掌握金屬自由電子的模型和基態(tài)性質(zhì)b了解金屬自由電子的熱性質(zhì)c熟練掌握并理解其物理過程:電子在外加

8、電磁場中的運(yùn)動(dòng)、漂移速度方程、霍耳效應(yīng)(三主要參考書目1、閻守勝編著,固體物理學(xué)基礎(chǔ)北京大學(xué)出版社,2003年8月2、黃昆原著,韓汝琦改編,固體物理學(xué)高等教育出版社,1988年10月第一章晶體結(jié)構(gòu)考試指導(dǎo)根據(jù)往年試題來看,本章主要是概念題,出題的難度不是太大,屬于一般的基礎(chǔ)題目,所以應(yīng)該充分重視,該得的一定不能丟。近幾年這個(gè)情況沒變,一般都是在第一個(gè)大題。本章屬于基礎(chǔ)知識(shí)章節(jié),復(fù)習(xí)的重點(diǎn)還是前4個(gè)基本知識(shí)點(diǎn)對各個(gè)概念的理解一定要透徹。基本知識(shí)點(diǎn)1.晶體,準(zhǔn)晶和非晶1三者的區(qū)別:晶體:排列長程有序,即原子排列有周期性。非晶:排列長程無序,短程有序。準(zhǔn)晶:非長程有序,但具有5次對稱性,即有長程的取

9、向序。2一些簡單的晶體結(jié)構(gòu)要清楚掌握一些易考的晶體結(jié)構(gòu)如:NaCl晶體和CsCl晶體以及一些具有面心立方結(jié)構(gòu)的金屬晶體。2.關(guān)于晶格的一些基本概念1 原胞定義:一個(gè)晶格最小的周期性重復(fù)單元。有些書上將其嚴(yán)格定義為固體物理學(xué)原胞,與結(jié)晶學(xué)原胞(晶胞和布拉菲原胞相區(qū)別。結(jié)晶學(xué)原胞簡稱晶胞,也是固體物理學(xué)中的慣用晶胞,在教材一中結(jié)晶學(xué)原胞又叫單胞或慣用單胞(參見教材一P34。布拉菲原胞就是那14種布拉菲格子,所以在簡單格子中,結(jié)晶學(xué)原胞和布拉菲原胞是相同的,而在復(fù)式晶格中兩者不同(例如在NaCl晶體和CsCl晶體中。此方面內(nèi)容可以結(jié)合教材三P18來復(fù)習(xí)。在下面的例二中,我們具體以NaCl晶體來分析了

10、它們的區(qū)別。2 基矢是指原胞的邊矢量。這里要提醒大家的是:要把體心立方晶格和面心立方晶格的基矢表達(dá)式記牢。3 晶面系(也叫晶面族,晶向和密勒指數(shù)晶面系是一組平行等距.的晶面,要注意的是:一個(gè)晶面系除了有平行等距的特點(diǎn)以外,還有一個(gè)特點(diǎn)就是它包含了晶體中的所有.格點(diǎn)。晶向?yàn)榫娴姆ň€方向,而表征晶面取向的互質(zhì)整數(shù).稱為晶面系的密勒指數(shù)。后面我們還會(huì)討論它和晶面間距的關(guān)系。4 晶格分為簡單晶格和復(fù)式晶格。簡單晶格中每個(gè)原胞中含有一個(gè)原子,具有體心立方結(jié)構(gòu)的堿金屬和具有面心立方結(jié)構(gòu)的Au、Ag、Cu晶體都是簡單晶格。復(fù)式晶格中每個(gè)原胞中含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的原子,比較常見的有NaCl 晶格、CsCl結(jié)

11、構(gòu)和具有金剛石結(jié)構(gòu)的晶格(例如晶體Si3.晶體的對稱性1點(diǎn)群和7個(gè)晶系點(diǎn)對稱操作:分為轉(zhuǎn)軸、鏡面和中心反演。8種可能存在的獨(dú)立的對稱元素:1,2,3,4,6,1(中心反演i,2(鏡面,4。要會(huì)證明為什么不存在5次軸或7次軸(教材一P28和教材二P30。這些點(diǎn)對稱操作組成的對稱操作群稱為點(diǎn)群。這些點(diǎn)群一共有32種,按照點(diǎn)群對稱性有7種布拉菲格子,稱為7個(gè)晶系,即每個(gè)晶系具有一定的點(diǎn)群操作。2 空間群和14個(gè)布拉菲格子空間群由平移對稱操作和點(diǎn)對稱操作組成,總數(shù)為230個(gè),而其中包含73個(gè)簡單空間群(也叫點(diǎn)空間群。按空間群分為14個(gè)布拉菲格子,每個(gè)布拉菲格子都有一定的空間群。所以同一晶系中可以不同的

12、布拉菲格子,例如在立方晶系中,簡單立方、體心立方和面心立方有著相同的點(diǎn)群操作和不同的空間群操作。4.倒易點(diǎn)陣和布里淵區(qū)1倒格子倒格子是?？贾R(shí)點(diǎn)。首先,倒格子基矢與正格子基矢的運(yùn)算規(guī)則一定要記牢,另外還要會(huì)一些簡單的矢量運(yùn)算。倒格子基矢j b v 與正格子基矢i a v 的重要關(guān)系式:2(20 (i j ij i j a b i j =v v 與正格子的關(guān)系:有著相同的點(diǎn)群對稱元素(參閱教材一P43;正格子原胞體積和倒格子原胞體積的乘積為38 。2 倒格矢(可參閱教材二P18和教材三P30倒格矢與正格子中的晶面系相正交,其簡單證明最好也掌握;12n G hb kb lb =+u v v v v

13、 33(hkl 倒格矢的長度與正格子中的晶面系的面間距成反比: 12n G hb kb lb =+u v v v v (hkl 2|hkl n d G =u v ,所以對于立方晶系(包括簡單立方、體心立方和面心立方的晶體有(設(shè)晶格常數(shù)為 a 222|hkl n a d G a = u v 3 布里淵區(qū)定義:在倒格子空間,以一格點(diǎn)為原點(diǎn),則由此格點(diǎn)與其它格點(diǎn)的連線的垂直平分面所圍成的區(qū)域稱為布里淵區(qū)。另外,其中包含原點(diǎn)在內(nèi)的最小封閉區(qū)域?yàn)榈谝徊祭餃Y區(qū)。簡單立方有6個(gè)最近鄰,第一布里淵區(qū)為立方體;面心立方有8個(gè)最近鄰和6個(gè)次近鄰,第一布里淵區(qū)為14面體(也叫截角八面體;體心立方有12個(gè)最近鄰,第一

14、布里淵區(qū)為正12面體。5. X 射線衍射,幾何結(jié)構(gòu)因子及原子散射因子以前此知識(shí)點(diǎn)也考小題,但從現(xiàn)在這個(gè)重新制訂的大綱中可以看出,本知識(shí)點(diǎn)不是重點(diǎn),要求簡單了解。(具體內(nèi)容可參閱教材三的相關(guān)章節(jié)1 布拉格定理:2sin hkl d =式中為晶面族的面間距,hkl d (hkl 為布拉格角,為入射波長。2 幾何結(jié)構(gòu)因子及原子散射因子原子散射因子:原子內(nèi)所有電子的相干散射振幅與位于原子中心的一個(gè)電子的相干散射振幅之比。幾何結(jié)構(gòu)因子:原胞內(nèi)所有原子的散射波在所考慮的方向上的振幅與一個(gè)電子的散射波的振幅之比。幾何結(jié)構(gòu)因子的公式:2(1j j j nni hu kv lw hkl j j F f e +=

15、式中n 表示原胞中所包含的有效原子數(shù),j f 表示原胞中第j 個(gè)原子的散射因子,j j j u v w (,為原胞中第j 個(gè)原子的坐標(biāo)。試題分析例一:(97一、很多元素晶體有面心立方結(jié)構(gòu),試1. 繪出其晶胞形狀,指出它所具有的對稱元素。2. 說明它的倒易點(diǎn)陣類型及第一布里淵區(qū)形狀。3. 面心立方的Cu 單晶(晶格常數(shù)a=3.61A的x 射線衍射圖(x 射線波長 =1.54中,為什么不出現(xiàn)(100,(110,(422和(511衍射線?4. 它們的晶格振動(dòng)色散曲線有什么特點(diǎn)?參考解答:1. 各個(gè)晶胞形狀要牢牢記住,主要包括簡單立方、面心立方和體心立方。立方體所有的對稱元素在教材二第21頁有詳細(xì)描述

16、。2. 面心立方和體心立方互為倒易點(diǎn)陣,面心立方的第一布里淵區(qū)是14面體(也叫截角八面體,體心立方的第一布里淵區(qū)是正十二面體。3. 大綱中的考試要求中有“了解X 射線衍射條件、基元的幾何結(jié)構(gòu)因子及原子形狀因子”,此章節(jié)知識(shí)可以參考教材一中的第一章內(nèi)容。對于面心立方,晶面族(hkl的衍射強(qiáng)度I 為22221cos (cos (cos ( sin (sin (sin (hkl hkl 2I F f n h k n h l n k l f n h k n h l n k l =+由此公式可以看出,只有對于衍射面指數(shù)為全奇或全偶的衍射面,衍射強(qiáng)度才不為零,所以不出現(xiàn)(100和(110衍射線。另外,根據(jù)

17、布拉格公式2sin d =可知,2d ,而立方晶系的面間距為hkl d = 所以 5110.69d =,4220.74d =,均小于0.772=,因此也不會(huì)出現(xiàn)(422和(511衍射線。 4. 對于原胞含有n 個(gè)原子的復(fù)式晶格,對一定的波矢q 有3個(gè)聲學(xué)波和(3n-3個(gè)光學(xué)波。而對于面心立方的元素晶體,原胞只含有一個(gè)原子,所以有3支聲學(xué)波,沒有光學(xué)波,3支聲學(xué)波有2支橫波和1支縱波,而在(100和(111波矢方向兩支橫聲支是簡并的。例二:(98一、簡要回答以下問題1、試?yán)L圖表示NaCl 晶體的結(jié)晶學(xué)原胞、布拉菲原胞、基元和固體物理學(xué)原胞。2、已知三維晶體原胞的體積為,試推導(dǎo)給出倒格子原胞的體積

18、*。3、假設(shè)CsCl 晶體的Cs 及Cl 原子的散射因子分別是f cs 和f Cl ,試求其結(jié)構(gòu)因子F(hkl。4、試以立方晶體為例列出黃昆方程,并做出定性解釋。參考解答:1、本題還是考查基本概念,本題內(nèi)容主要參考基本知識(shí)點(diǎn)的2.1和教材三P18。這里的固體物理學(xué)原胞就是我們通常所說的“原胞”,即在教材二中定義的原胞.。這里還要注意在NaCl晶體中固體物理學(xué)原胞含有兩個(gè)原子,即一個(gè)Na原子和一個(gè)Cl原子。基元是晶體中重復(fù)排列的具體單元。因此,對于NaCl晶體有: 結(jié)晶學(xué)原胞布拉菲原胞物理學(xué)原胞基元2、設(shè)晶格的基矢為,則根據(jù)倒格子基矢的定義可以得到123,a a a123,b b b3*1232

19、331123(2b b b a a a a a a=1a a a a a a a a a a a a a=應(yīng)用矢量關(guān)系式A(B C=(A CB-(A BC所以得33*23123132(2(2(2a a a a a a3=3、CsCl晶體的結(jié)構(gòu)如下圖所示,其基元為一個(gè)Cl原子和一個(gè)Cs原子,它們在晶胞中的坐標(biāo)分別是(0,0,0和(1/2,1/2,1/2,所以由幾何結(jié)構(gòu)因子公式 2(1j j jnni hu kv lwjjF f e+=hkl(其中j j ju v w(,為原子坐標(biāo),可求得CsCl晶體的幾何結(jié)構(gòu)因子(ni h k lhkl Cl CsF f f e+=+4、黃昆方程不是重點(diǎn),一般很

20、少考到。其具體內(nèi)容可參考教材二的P104頁。黃昆方程為:.11122122W b W b EP b W b E =+=+其中,P 是宏觀極化強(qiáng)度,E 是宏觀電場強(qiáng)度。定性解釋:第一個(gè)方程是決定離子相對振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程,第二個(gè)方程表示除去正、負(fù)離子相對位移產(chǎn)生極化,還要考慮宏觀電場存在時(shí)的附加極化。例三:(99一、試對晶體進(jìn)行分類:1、從晶體幾何對稱性出發(fā)分類2、從晶體結(jié)合出發(fā)分類參考解答:本題主要考查第一章和第二章關(guān)于晶體類型的概念掌握。1、從晶體對稱性出發(fā),晶體可以分為7個(gè)晶系,分別為三斜、單斜、正交、三角、四方、六角和立方晶系。2、從結(jié)合類型出發(fā),晶體分為離子晶體、原子晶體、金屬晶體和分子

21、晶體,結(jié)合方式分別為離子鍵結(jié)合、共價(jià)鍵結(jié)合、金屬鍵結(jié)合和范德瓦爾斯結(jié)合。例四:(01一、簡要回答以下問題:1、某種元素晶體具有6角密堆結(jié)構(gòu),試指出該晶體的布拉菲格子類型和其倒格子的類型。2、某元素晶體的結(jié)構(gòu)為體心立方,試指出其格點(diǎn)面密度最大的晶面第的密勒指數(shù),并求出該晶面系相鄰晶面的面間距。(設(shè)其晶胞參數(shù)為a3、具有面心立方結(jié)構(gòu)的某元素晶體,它的多晶樣品x 射線衍射譜中,散射角最小的三個(gè)衍射峰相應(yīng)的面指數(shù)是什么?參考解答:1、具有6角密堆結(jié)構(gòu),且是元素晶體,即為簡單六方格子,其倒格子還是簡單六方格子。2、體心立方晶體結(jié)構(gòu)如右圖所示:面密度是指單位面積上的等效原子數(shù), 很容易看出(110晶面系的

22、格點(diǎn)面密度最大,可以求出此面密度為2a = 且此晶面系相鄰晶面的面間距求得為 2a 。 3、該題可以結(jié)合97(一的第3小題來解。首先,由布拉格公式2sin d =可知,本題中對于波長一定的x 射線,面間距d 越大,散射角越小。而面間距 d 立方的衍射峰相應(yīng)的面指數(shù)只能是全奇或全偶,所以相應(yīng)的面間距從大到小依次為d(111、d(200和d(220, 即散射角最小的三個(gè)衍射峰相應(yīng)的面指數(shù)依次是(111、(200和(220。例五:(05二、簡要回答以下問題:1、寫出晶體可能有的獨(dú)立的對稱元素;2、按對稱類型分類,布拉菲格子的點(diǎn)群類型有幾種?空間群類型有幾種?晶體結(jié)構(gòu)的點(diǎn)群類型有幾種?空間群類型有幾種

23、?3、某晶體的倒格子結(jié)構(gòu)是體心立方,則該晶體的正格子是什么結(jié)構(gòu)?4、晶體中包含有N 個(gè)原胞,每個(gè)原胞中有n 個(gè)原子,該晶體晶格振動(dòng)的格波簡正模式總數(shù)是多少?其中聲學(xué)波和光學(xué)波各有多少?參考解答:1、晶體中8種獨(dú)立的對稱元素一定要牢記,它們是1次軸,2次軸,3次軸,4次軸,6次軸,1次反軸(中心反演,2次反軸(鏡面和4次反軸。2、首先我們要牢記幾個(gè)數(shù)字:晶體中有7.個(gè)晶系14.種布拉菲格子,32.個(gè)點(diǎn)群230.個(gè)空間群(其中有73.個(gè)點(diǎn)空間群.。本題不是常規(guī)問法,不過我們要知道,按照點(diǎn)群對稱性一共有7種布拉菲格子,按空間群分類一共有14種布拉菲格子。所以本題答案應(yīng)該是7,14,32,230. 具

24、體內(nèi)容請參見教材一P27到P34。3、體心立方和面心立方互為倒易點(diǎn)陣。4、格波模式總數(shù)為3Nn個(gè),聲學(xué)波3N個(gè),光學(xué)波N(3n-3個(gè)。參見教材二P101。例六:(05三、對面心立方布拉菲格子1、求格點(diǎn)密度最大的三個(gè)晶面系的面指數(shù)。2、畫出各種格點(diǎn)平面上格點(diǎn)的排布。3、設(shè)晶胞參數(shù)為a,分別求出這三個(gè)晶面系相鄰晶面的面間距。參考解答:1、根據(jù)面心立方結(jié)構(gòu)圖我們只需要計(jì)算三個(gè)晶面系的面密度即(100、(110和(111晶面系。下面是這些晶面系的晶面平面點(diǎn)陣的二維圖示 (100 (110 (111面密度分別為 1002110211124aa=所以有1111001102、見上小題。3、這里我們要特別注意

25、,從嚴(yán)格意義上說對于面心立方晶格不存在(100和(110晶面系,因?yàn)樗^的晶面系就是要包含晶體的所有格點(diǎn),顯然(100和(110晶面系都不能滿足,而分別和它們方向相同.的(200和(220晶面系才滿足這個(gè)條件。要明白(100和(110晶面系所包含的晶面數(shù)分別是(200和(220晶面系的一半。所以這里實(shí)際要求的面間距是(111、(200和(220晶面系的面間距。根據(jù)公式d= 求出依次為 111200220, , 32a d a d d =4a所以由此我們也可以看出,111200220d d d 而晶面系的面間距越大,格點(diǎn)面密度就越大,所以有 111200220,這也與小題1的結(jié)果相符。 例七:(

26、05四、證明:如果一個(gè)布拉菲格子有一個(gè)對稱平面,則存在平行該平面的點(diǎn)陣平面系。參考解答:本題考查正格子與倒格子的關(guān)系以及正格子晶面系和倒格矢的關(guān)系。 同一晶格的正格子和倒格子有著相同的點(diǎn)群對稱性,例如面心立方和體心立方都具有立方晶系的點(diǎn)群對稱元素.(它們之間不同的只是空間對稱性。所以,如果正格子有一個(gè)對稱平面,則其倒格子也有該對稱面(對稱面即鏡面屬于點(diǎn)群對稱元素,于是連接鏡面內(nèi)外的兩個(gè)倒格點(diǎn)則得到垂直于該平面的倒格矢,而一個(gè)倒格矢必對應(yīng)一個(gè)垂直于該倒格矢的正格子中的晶面系,所以得證。第二章 固體的結(jié)合考試指導(dǎo)此章雖不是重點(diǎn)章節(jié),但內(nèi)容簡單易懂,所以要求我們要熟練掌握一些基本概念和公式。大綱要求

27、理解離子性結(jié)合、共價(jià)結(jié)合、金屬性結(jié)合、范德瓦爾斯結(jié)合等概念,值得一提的是,根據(jù)往年來看,最可能出題的知識(shí)點(diǎn)就是離子性結(jié)合和范德瓦爾斯結(jié)合。因此,復(fù)習(xí)本章時(shí),關(guān)鍵是要記住離子性結(jié)合和范德瓦爾斯結(jié)合相關(guān)的幾個(gè)公式。根據(jù)往年試題來看,本章主要是概念題和簡單的計(jì)算題,有可能出一道大題或一個(gè)小題。所以此部分和第一部分一樣,要把真題搞透,公式記牢?？梢哉f,如果此章出題,則題目不會(huì)多,但是很可能是“送分”的題目,所以一定要把握住?；局R(shí)點(diǎn)1. 固體結(jié)合的基本形式固體結(jié)合的基本形式主要有離子性結(jié)合、共價(jià)鍵結(jié)合、金屬性結(jié)合和范德瓦爾斯結(jié)合,它們對應(yīng)的晶體類型分別是離子晶體、原子晶體、金屬晶體和分子晶體。2.

28、分子晶體與離子晶體(本章重點(diǎn) 1 分子晶體靠范德瓦爾斯作用結(jié)合,兩個(gè)原子的范德瓦爾斯結(jié)合能為勒納瓊斯勢126(4u r r r =式中第一項(xiàng)為重疊排斥作用,第二項(xiàng)為范德瓦爾斯作用能。 含有N 個(gè)原子的晶體的總勢能為1261262U N A A r r =注意在式中r 表示最近鄰原子之間的間距,、是只與晶體結(jié)構(gòu)有關(guān)的晶格求和常數(shù)。 12A 6A 2 離子晶體在離子晶體中,原胞一般是含有兩個(gè)原子(嚴(yán)格說是一對正負(fù)離子,靠離子鍵結(jié)合,一個(gè)原胞的能量即一對正負(fù)離子的結(jié)合能123123220(4n n n n n n q u r r += 其中,為馬德隆常數(shù),是一個(gè)只與晶體結(jié)構(gòu)有關(guān)的正數(shù)。如果晶體中包含

29、N 個(gè)原胞(即含有2N 個(gè)原子,則晶體的總內(nèi)能為2064n n q b A B U N N r r r r =+=+式中為馬德隆常數(shù),r 為離子間距,b 為常數(shù),2A=B=6b 4q 。試題分析(04一、4. 寫出離子晶體結(jié)合能的一般表達(dá)式,求出平衡態(tài)時(shí)的離子間距。 參考解答:設(shè)晶體含有N 個(gè)原子(注意:教材二中是假設(shè)NaCl 晶體含有N 個(gè)原胞,即含有2N 個(gè)原子,則形成N/2個(gè)離子對,考慮到每對離子的作用,晶體結(jié)合能的一般表達(dá)式為206242n N q b N A B U r r r r =+=+n (2-1 平衡態(tài)時(shí)有0dUdr= 即2102n dU N A nB dr rr +=所以設(shè)

30、平衡態(tài)時(shí)的離子間距為,則有0r 21000n A nBr r += 求得110n nB r A =(2-2另外,將(2-2式代入(2-1式即得出平衡態(tài)時(shí)離子晶體的結(jié)合能。(02二、對惰性元素晶體,原子間的相互作用常采用勒納瓊斯勢126(4u r r r =其中和為等待定常數(shù),r 為兩原子間距 1. 試說明式中兩項(xiàng)的物理意義以及物理來源;2. 證明平衡時(shí)的最近鄰原子間距與0r 之比為一與晶體結(jié)構(gòu)有關(guān)的常數(shù)。 參考解答:此知識(shí)點(diǎn)在教材一、二上都有詳細(xì)描述。1. 第一項(xiàng)為重疊排斥作用,起源于泡利原理。第二項(xiàng)為范德瓦爾斯作用能,它是由原子中電荷漲落產(chǎn)生的瞬時(shí)電偶極矩所引起的。2. 設(shè)晶體含有N 個(gè)原子

31、,則根據(jù)每對原子的相互作用勢可以給出晶體的結(jié)合能為126(22i i i i i NU u r N r r = 設(shè)最近鄰原子間距為r ,則i i r r = ,所以有=令12612611iiii A A =, ,則得1261262U N A A r r =平衡時(shí),0r r dUdr=即612612713006120A A r r = 所以得161262r A A =(97二、已知原子間相互作用勢為(mu r rrn=+,其中,m, n 均為大于0的常數(shù),試證明此系統(tǒng)可以處于穩(wěn)定平衡態(tài)的條件是nm. 參考解答:本題主要考查系統(tǒng)可以處于穩(wěn)定平衡態(tài)的條件:0r r dUdr= (平衡態(tài)220r r

32、d Udr = (穩(wěn)定所以有1011000 n mm n r r du m n n r drr r m +=因此2220(n r r d u n n m dr r +=0n m 第三章晶體中的缺陷和擴(kuò)散考試指導(dǎo)本章不是重點(diǎn)章節(jié),往年很少考到,但現(xiàn)在中科院新修訂的固體物理考試大綱里把它單獨(dú)編為一部分,所以也應(yīng)該引起重視。最好要掌握一些基本概念,按照大綱的要求,復(fù)習(xí)一下教材上的相關(guān)章節(jié)。基本知識(shí)點(diǎn)1.缺陷的概念和基本類型晶體中的缺陷主要有點(diǎn)缺陷、線缺陷和面缺陷。1點(diǎn)缺陷其物理意義是指:在晶體中的某些格點(diǎn)上,周期性受到了破壞。晶格中,在熱起伏過程中,晶體的某些原子由于劇烈振動(dòng)而脫離了格點(diǎn)跑到表面上,

33、在內(nèi)部留下了空格點(diǎn),即空位;或者這些原子進(jìn)入晶格中的間隙位置,形成填隙原子;還有一種情況就是,外來的雜質(zhì)原子進(jìn)入晶體后,既可以在間隙位置上形成填隙式的雜質(zhì),也可以占據(jù)空位而形成替位式原子。這些空位、填隙原子和雜質(zhì)原子等引起的缺陷叫點(diǎn)缺陷。2線缺陷當(dāng)晶格周期性的破壞是發(fā)生在晶體內(nèi)部一條線的周圍近鄰,就稱為線缺陷。位錯(cuò)就是線缺陷,位錯(cuò)有兩種:(1刃位錯(cuò):位錯(cuò)線垂直于滑移方向。(2螺位錯(cuò):位錯(cuò)線平行于滑移方向。3面缺陷面缺陷將晶體取向不同或結(jié)構(gòu)有異的兩部分分開。更一般地,面缺陷是體系自由能相等,但序參量值不同的兩部分之間的界面。2.擴(kuò)散及微觀機(jī)理1 擴(kuò)散現(xiàn)象:從微觀來看,實(shí)際上便是原子的布朗運(yùn)動(dòng)。2

34、 擴(kuò)散機(jī)制空位擴(kuò)散機(jī)制:在格點(diǎn)上試圖向外擴(kuò)散的原子,雖然不斷嘗試,但僅當(dāng)有一空位出現(xiàn)在它的近鄰時(shí),它才實(shí)際有可能跳進(jìn)這一空位從而造成新的空位,這就形成的空位的擴(kuò)散機(jī)制。這種機(jī)制是原子擴(kuò)散的主要機(jī)制。 其它擴(kuò)散機(jī)制:晶體中的擴(kuò)散除空位機(jī)制外,還有填隙原子機(jī)制和雜質(zhì)原子擴(kuò)散機(jī)制等,即原子通過形成填隙原子和雜質(zhì)原子等進(jìn)行擴(kuò)散。 示意圖: ( 原子空穴主要機(jī)制原子替位式原子原子間隙原子間隙原子單獨(dú)擴(kuò)散第四章 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)考試指導(dǎo)本章為重點(diǎn)章節(jié),尤其在前三個(gè)知識(shí)點(diǎn)里最容易出題目,基本上是每年必考?？荚囶}目主要是計(jì)算題,也有一些概念題。因此我們要充分重視本章節(jié),反復(fù)復(fù)習(xí)本章節(jié)內(nèi)容,對一些基本概

35、念要有透徹的理解。只有清楚了物理概念,才能保證對公式的熟練掌握和運(yùn)用。一些常用的重要公式會(huì)在下面的部分中列出,大部分公式都是需要理解會(huì)用的,希望大家有能力的話最好能掌握一些重要公式的推導(dǎo)過程,這樣才能保證對本章內(nèi)容的深刻理解和掌握?；局R(shí)點(diǎn)1. 一維原子鏈的的振動(dòng) 1 單原子鏈 首先看格波解的形式(i t qx x Ae = 在式中(x 為原子鏈中位于x 處的原子的隨時(shí)間變化的位移坐標(biāo)(即形成格波,其中為波的圓頻率,q 為稱為波數(shù)。這是在簡諧近似下求得的格波解,其物理含義類似于單擺的簡諧振動(dòng)。 其色散關(guān)系為 sin (q 2qa=為波數(shù) 玻恩卡曼邊界條件:(1i Naq x Na x e +

36、(=(= 即2, (q h h Na=整數(shù)式中N 為單原子鏈中原胞的數(shù)目,所以由邊界條件可知,q 在a到a之間只能取N 個(gè)不同的數(shù)值。聲子:指格波的量子,其能量為(q h 。聲子不是真實(shí)的粒子,稱為“準(zhǔn)粒子”,可以結(jié)合光子來理解。 2 雙原子鏈(重點(diǎn) 色散關(guān)系:122222411sin (m M mM aq mM m M +=+其推導(dǎo)過程要求掌握。 相鄰兩原子的振幅比:222cos m B A aq = 玻恩卡曼邊界條件:, (q h h Na=整數(shù)由N 個(gè)原胞組成的一維雙原子鏈,q 可以取N 個(gè)不同值,每個(gè)q 對應(yīng)兩個(gè)解,共有2N 個(gè)不同的格波。 光學(xué)支和聲學(xué)支:色散關(guān)系中,+對應(yīng)的格波稱為

37、光學(xué)波,光學(xué)波聲子能量比較大;對應(yīng)的格波稱為聲學(xué)波,聲學(xué)波聲子能量要比光學(xué)波聲子小得多。 長波極限(指的情形:0q 長聲學(xué)波中,時(shí),頻率0q 正比于,此時(shí)長聲學(xué)波可以近似看作是連續(xù)介質(zhì)時(shí)的彈性波,即滿足q vq =。另外,對于長聲學(xué)波,時(shí)0q 0,所以有1B A ,這表明此時(shí)原胞中兩種原子的運(yùn)動(dòng)完全一致。長光學(xué)波中,時(shí)0q B m A M +,所以長光學(xué)波的實(shí)際上是描述了兩種原子各自形成的格子的相對振動(dòng),在振動(dòng)過程中保持質(zhì)心不變。離子晶體的長光學(xué)波有特別意義,因?yàn)榇藭r(shí)產(chǎn)生了一定的電偶極矩,可以和電磁波作用,從而會(huì)引起對遠(yuǎn)紅外光的強(qiáng)烈吸收,要記住這個(gè)效應(yīng)。 2. 三維晶格的振動(dòng) 1 色散關(guān)系了解

38、一下推導(dǎo)過程,重要的是結(jié)論:在三維晶格中,對一定的波矢q v有3支聲學(xué)波和(3n-3支光學(xué)波,其中n 為原胞中原子的數(shù)目。晶體中不同的的總數(shù)為N ,所以不同的格波的總數(shù)為3nN 。q v2 波矢在空間的分布:q v q v周期性邊界條件為:(要求理解并記住112233(l l l l l l (R N a R R N a R R N a R +=+=+=uu v uv uu v uu v uu v uv uu v uu v uv u u 分布密度:3/(2V 3. 晶體比熱的量子理論 1 量子比熱量子理論下晶格振動(dòng)能量量子化:1(2n E n =+h晶體中有N 個(gè)原子時(shí),其量子熱容為:2/3/

39、21(1i B i B k TNi V B k T i B e C k k T e =h h h 若存在頻率分布函數(shù)且可積,則可以寫成:2/2(1B B k TVB k T B eC T k g d k T e=h h h 此公式在一維、二維和三維情況下都成立。 2 愛因斯坦模型原理:假設(shè)晶體中各原子振動(dòng)相互獨(dú)立,且所有原子都有同一頻率0,直接得出晶體比熱為00/20/2(/3(1B B k TB VBk T k T e C Nk e =h h h優(yōu)點(diǎn):理論上可以反映出晶體比熱在低溫時(shí)下降的基本趨勢。缺點(diǎn):在低溫時(shí),該模型理論值與實(shí)驗(yàn)不相符。 3 德拜模型原理:考慮了頻率分布,把晶格當(dāng)做彈性介

40、質(zhì),忽略晶格中縱波和橫波的區(qū)別,其色散關(guān)系為 cq =,其中c 為常數(shù)。另外,還假定存在一個(gè)最大頻率m 。德拜模型下三維晶體的熱容為:(222309(1B mB k T v k T mB Re C T d k T e =h h h 所以在低溫極限下,三維晶格的德拜熱容與成正比,這就是非常重要的德拜定律。3T3T德拜模型下一維原子鏈的熱容在低溫極限下為:(22(1B v mRk Te C T d e=h此時(shí),比熱與T 成正比。 4.晶格振動(dòng)模式密度1 物理意義:表征頻率分布的函數(shù)。 2 一般表達(dá)式: 3(8|(q V dSg q =|一維單原子鏈:(2(2L L g d dq g d dq =二

41、維單晶情況下:2(2(42SS g d qdq g d q dq= 若是在德拜近似下,且考慮到一定的q 對應(yīng)兩支格波,則有 2(Sg c=三維情況下:22(2Vq dqg d =若是在德拜近似下,且考慮到一定的q 對應(yīng)三支格波,則有2233(2V g c=試題分析例一: (05五、1 對一體積為V 的晶體,求周期性邊界條件允許的格波波矢q 在q 空間的分布密度,以及在第一布里淵區(qū)q 的取值總數(shù)。2 上小題1中,若為電子波,結(jié)果如何?3 用德拜近似求一維單原子鏈的熱容C v (t的表達(dá)式,并證明在低溫極限下,它與溫度T 成正比。4 晶格中不同簡正模的格波之間達(dá)到熱平衡的物理原因。 參考解答:1

42、對于晶體的周期性邊界條件(即玻恩卡曼邊界條件要理解性記憶。本題解法在教材二P99有具體描述,在這里我們要把一些細(xì)節(jié)推導(dǎo)解釋的更清楚一些。首先,q 空間以倒格矢為基矢,即q 可以寫成123,b b b (4-1112233q xb x b x b =+v u v u u v u v (l 三維情況下,同期性邊界條件為112233(l l l l l R N a R R N a R R N a R +=+=+=uu v uv uu vuu v uu v uv uu v uu v uv u u (4-2 其中,123,a a a uv uu v u u v為晶格基矢,為沿三基矢方向的原胞數(shù),總原胞數(shù)

43、123,N N N 123N N N N = 。由邊界條件可得(exp ( (1,2,3l i i l R i q N a R i =uu v v uv uu v,=v uvvuu v vuu v (4-3其中,為整數(shù)。將(41式代入(4-3式即得 123,h h h2N x h N x h N x h 2=所以有 31212312, , h h hx x x N N =3N 即31212123h h h q b b N N N =+v u v u u v u 3b v上式即代表了邊界條件所允許的q 空間均勻分布的所有格點(diǎn)。設(shè)倒格子原胞體積為,正格子原胞體積為*,則有3(2= 。所以邊界條件所

44、允許的q 空間中每個(gè)格點(diǎn)所占據(jù)的體積為312123(b b b N N N N=uv u v u u v 所以,邊界條件允許的格波波矢q 在q 空間的分布密度(33312123122(N N V b b b N N N =uv u v u u v另外,因?yàn)榈谝徊祭餃Y區(qū)的體積等于倒格子原胞的體積,所以第一布里淵區(qū)q 的取值總數(shù)為:N =2 上小題中若為電子波,則是讓從玻恩卡曼邊界條件出發(fā),求出三維kv 空間中電子波矢的分布密度。這屬于第五章能帶論的相關(guān)內(nèi)容(具體請參閱教材一P55和教材二P156。其求解過程與上小題類似,其中,邊界條件為k v112233(r N a r r N a r r N

45、a r (+=+=+=v uv v v uu v v v uu v v關(guān)鍵是再利用布洛赫定理可得(exp (, 1,i i i i r N a r i k N a r i 2,3+=u v v u v下面步驟與和上小題相似,可求得k 空間中許可態(tài)中的態(tài)密度為(32V,第一布里淵區(qū)中k 的取值總數(shù)為N ,即晶體中的原胞數(shù)。3 一維單原子鏈的晶格振動(dòng)模式密度函數(shù)為 (L dq g d =其中,L Na =為單原子鏈的長度,a 為原子間距,N 為原子數(shù)目。又在德拜模型中, (c cq =為常數(shù)。所以,此時(shí) (Lg c=。根據(jù)德拜理論有00( mmm m L Lg d d c cN c cL aN =

46、 晶體量子熱容公式為(2202222222(1111B m B B m B m B m B k T B v B k Tk TB B k Tk TBk TBme k TC T k d e e k T Lk d ceLk T ed c eRk T e d e=h h h h h h h h hh上式中 B R k T =為氣體常數(shù),式中 B k T =h .在低溫極限下,m B k T h ,所以有(22(1B vmRk Te C T d e=h其中,(221e d e為一積分常數(shù),所以在低溫極限下晶體熱容與溫度成正比。4 這里考查非簡諧效應(yīng)這個(gè)知識(shí)點(diǎn),是非簡諧相互作用引起了熱膨脹,也是非簡諧相互

47、作用才導(dǎo)致不同簡正模的格波之間的耦合以致達(dá)到熱平衡。 例二: (04二、1 試給出德拜模型下晶格振動(dòng)色散關(guān)系的表達(dá)式,說明德拜模型在解釋晶格比熱溫度關(guān)系上有哪些成功和不足并說明原因。 參考解答:1 首先,要清楚德拜模型的主要特點(diǎn):把布拉菲晶格看作是各向同性的連續(xù)介質(zhì),即把格波看作是彈性波,并且還假定縱的和橫的彈性波的波速相等。另外我們要知道,對于長聲學(xué)波,晶格可以視為連續(xù)介質(zhì),長聲學(xué)波具有彈性波的性質(zhì)。所以,德拜模型下晶格振動(dòng)色散關(guān)系為: (c cq =為常數(shù)。德拜模型在解釋低溫下的晶格比熱溫度關(guān)系上是非常成功的,尤其是德拜熱容的低溫極限是嚴(yán)格正確的,而在較高溫度時(shí),德拜熱容與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)偏離較大

48、。這是因?yàn)闇囟冉档蜁r(shí),高頻振動(dòng)模對比熱的貢獻(xiàn)變小,因而在低溫時(shí),主要是低頻振動(dòng)模(即長波對比熱起貢獻(xiàn),這種情形與德拜模型非常相近。 例三:(03三、有N 個(gè)原子組成的體積為V 的晶體,在德拜近似下,設(shè)其聲速為v ,試求出:1 晶格振動(dòng)態(tài)密度函數(shù)g(,并繪出g(和q 的關(guān)系曲線; 2 德拜頻率和德拜溫度,并簡述其意義。 參考解答:1 三維晶體中,在德拜近似下,考慮到一個(gè)q 有一個(gè)縱波和兩個(gè)獨(dú)立的橫波,則有(23342Vq dq g d =所以有(23342Vd g q d q =而德拜模型中vq =,即 q v =(2222313 2V V g v v v 32= (圖略 2 德拜頻率是在德拜模

49、型中假定存在的晶格振動(dòng)的最高頻率m ,由條件( 3mg d =N 可以求出1326m N v V =德拜溫度是德拜模型中引進(jìn)的一個(gè)溫度標(biāo)準(zhǔn)D m Bk =h ,它代表了經(jīng)典統(tǒng)計(jì)和量子統(tǒng)計(jì)適用的溫度分界線,低于德拜溫度時(shí)應(yīng)該使用量子統(tǒng)計(jì)。 例四: (02三、1.有一維雙原子鏈,兩種原子的質(zhì)量分別為M 和m ,且Mm ,相鄰原子間的平衡間距為a ,作用力常數(shù)為?？紤]原子沿鏈的一維振動(dòng): 1 求格波簡正模的頻率與波矢之間的關(guān)系(q; 2 證明波矢和q q am +(其中m 為整數(shù)描述的格波是全同的。2.常用熱中子與晶格振動(dòng)的非彈性相互作用來研究晶格振動(dòng)的色散關(guān)系(q ,請簡要敘述其基本原理。并明確說

50、明實(shí)驗(yàn)中測量哪些量,以及如何由此得出色散關(guān)系(q 。 參考解答:1.本題考查一維雙原子鏈的基本知識(shí)。1 此推導(dǎo)過程一定要掌握,對過程的理解要透徹,自己最好親自推導(dǎo)幾遍,結(jié)果也要記牢(具體見教材二P93。 2 由上式可知(q m q a +=對于標(biāo)號(hào)為2n 的原子其對應(yīng)于波矢q 的格波解為22(i t naq n q Ae=而對于波矢q m a +有2(2222(i t na q m a n i t naq i nm i t naq q m Ae aAee Ae +=所以,對于標(biāo)號(hào)為2n 的原子波矢q 和q am +描述的格波是全同的。而對于標(biāo)號(hào)為(2n+1的原子,首先不變,再看其相因子exp (21(exp(21exp(21exp(21 exp(21 i n a q