信號與系統(tǒng)C-2

1、SIGNALS AND SYSTEMS信號與系統(tǒng)第二章 信號與系統(tǒng)的時域分析魏昕魏昕南京郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院第二章 信號與系統(tǒng)的時域分析 2.1 典型連續(xù)時間信號 2.2 典型離散時間信號 2.3 連續(xù)時間信號的基本運算 2.5 信號的時域分解 2.6 連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng) 2.8 連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 作業(yè)2.1.1 復(fù)指數(shù)信號2.1.2 單位階躍信號2.1.3 單位沖激信號2.1.4 沖激偶信號2.1.5 斜坡信號2.1.1 復(fù)指數(shù)信號stAe 當(dāng)當(dāng)A為實數(shù)，為實數(shù)， 時，時， 為為直流信號直流信號。 0sAest 當(dāng)當(dāng)A為實數(shù)，為實數(shù)， 時，時， 為為單調(diào)增長或衰減的單調(diào)增長或衰減的

2、實指數(shù)信號實指數(shù)信號。tstAeAe0，為復(fù)振幅jeAA 復(fù)指數(shù)信號復(fù)指數(shù)信號，為復(fù)頻率js 復(fù)指數(shù)信號可用來表示多種信號：復(fù)指數(shù)信號可用來表示多種信號：t0)(tf0002.1.1 復(fù)指數(shù)信號tAjtAAeAetjstsincos 當(dāng)當(dāng)A為復(fù)數(shù)，為復(fù)數(shù)， 時，時，0為為虛指數(shù)信號虛指數(shù)信號。其實部為其實部為等幅余弦信號等幅余弦信號，虛部為，虛部為等幅正弦信號等幅正弦信號。t0tA0costeAjteAeAeAetttjtstsincos2.1.1 復(fù)指數(shù)信號 一般情況下，一般情況下，實部為實部為增長增長 或衰減或衰減 的余弦信號的余弦信號，虛部為虛部為增長增長 或衰減或衰減 的正弦信號的正弦

3、信號。0000t0teAk0cos0t0teAt0cos0為為復(fù)指數(shù)信號復(fù)指數(shù)信號。返回返回2.1.2 單位階躍信號0000()1ttu tttt單位階躍信號：單位階躍信號：00( )10tu tt( )u tt10延遲單位階躍信號：延遲單位階躍信號：0()u ttt10t0應(yīng)用階躍信號和延遲階躍信號，可以表示任意的矩形信號。應(yīng)用階躍信號和延遲階躍信號，可以表示任意的矩形信號。t10) 1( tu1t-10) 3( tu3) 3() 1(tutut1013返回返回 工程定義：工程定義：000)(ttt和和1)( dtt)(tt(1)0延遲單位沖激信號延遲單位沖激信號0000)(tttttt和和

4、1)(0dttt)(0tt t(1)0t02.1.3 單位沖激信號（有三種定義方式）（有三種定義方式）兩個特點兩個特點：出現(xiàn)時間極短：出現(xiàn)時間極短 面積為面積為11 .單位沖激信號的定義 嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義：嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義：)(lim)(0tgt0000)0()()0()()()()(dttdtttdttt 作為一個作為一個廣義函數(shù)廣義函數(shù) ，單位沖激函數(shù)，單位沖激函數(shù) 作用于任意在作用于任意在 時時連續(xù)的普通函數(shù)連續(xù)的普通函數(shù) 的效果是對的效果是對 （測試函數(shù)或賦值函數(shù)）賦（測試函數(shù)或賦值函數(shù)）賦于下面的值：于下面的值：)(t)(t)(t0t 單位沖激信號可以看成是某些普通函數(shù)的極限單位沖激信號

5、可以看成是某些普通函數(shù)的極限: :)()(lim0ttfcc2.1.3 單位沖激信號請放映幻燈片以觀看右側(cè)動畫請放映幻燈片以觀看右側(cè)動畫 篩選特性：篩選特性：例如：例如：0sin)(sin0ttdttt22sin)41(sin41ttdttt0)(21dtteat在積分區(qū)間在積分區(qū)間(1,2)內(nèi)，被積函數(shù)為內(nèi)，被積函數(shù)為0216sin)6(sin0dttt注意：注意：2 .沖激函數(shù)的性質(zhì)2.1.3 單位沖激信號)()()(00tdtttt 抽樣特性抽樣特性( (加權(quán)特性加權(quán)特性) )：2.1.3 單位沖激信號)()()()(000tttftttf特別地，當(dāng)特別地，當(dāng) ，有：，有：00t)()

6、0()()(tfttf0)(sin)(sin0ttttt)41(22)41(sin)41(sin41tttttt例如：例如：特別地，有：特別地，有：0)( tt)()(tt 單位沖激函數(shù)為偶函數(shù)：單位沖激函數(shù)為偶函數(shù)：2.1.3 單位沖激信號 尺度變換：尺度變換：0,)(1)()(1)(000ataattatattaat為常數(shù)且和 單位階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是單位沖激函數(shù)：單位階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是單位沖激函數(shù)： 此結(jié)論表明，信號在不連續(xù)處的導(dǎo)數(shù)為沖激信號，沖激信號的此結(jié)論表明，信號在不連續(xù)處的導(dǎo)數(shù)為沖激信號，沖激信號的強度就是不連續(xù)點處的跳變值。強度就是不連續(xù)點處的跳變值。)()(tdttduttuttd

7、)(0001)()(反之，例例2-1-1 2-1-1 已知已知 的波形如圖所示，試求的波形如圖所示，試求 ，并畫出其，并畫出其波形圖。波形圖。)2()()(tututtf解：) 2(2)2()()2()()2()()( ttututtttututf波形如下圖波形如下圖:)(tf0t220t(2)1)( tf2)(tf)( tf2.1.3 單位沖激信號返回返回2.1.4 沖激偶信號 單位沖激函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)單位沖激函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù) 稱稱為為單位二次沖激函數(shù)單位二次沖激函數(shù)或或沖激偶沖激偶。)( t0t)( t)( )()( )0( )()( 00tdttttdttt)()( )( )()( )()(

8、) 0( )( ) 0()( )(00000tttftttftttftftfttf1.1.篩選特性：篩選特性：2.2.抽樣特性：抽樣特性：22cossin)41( 21241tttdtt：例)()(cos)( sin)( sin00ttttttttt返回返回000)(ttttr)(trt0112.1.5 斜坡信號 單位斜坡信號單位斜坡信號和單位階躍信和單位階躍信號、單位沖激號、單位沖激信號的關(guān)系信號的關(guān)系: )()(trdutudttdrt )()(tudtdttdut單位斜坡信號：單位斜坡信號：延遲單位斜坡信號：延遲單位斜坡信號：0000)(tttttttr)(0ttr t010t10t第二

9、章 信號與系統(tǒng)的時域分析 2.1 典型連續(xù)時間信號 2.2 典型離散時間信號 2.3 連續(xù)時間信號的基本運算 2.5 信號的時域分解 2.6 連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng) 2.8 連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 作業(yè)離散信號的表示方法：離散信號的表示方法：1. 解析式解析式, 2, 1, 0, 1, 2,2) 1()(kkkkf2. 序列形式序列形式, 6, 3, 1, 0, 0, 1, 3)(kf3. 圖形圖形)(kfk01231232462.2 典型離散時間信號序列的分類序列的分類1.1.雙邊序列雙邊序列 序列序列 f (k) 對所有的整數(shù)對所有的整數(shù) k 都存在確定的非零值。都存在確定的非零值。2.2.單邊

10、序列單邊序列有始序列（右邊序列）：有始序列（右邊序列）：0)(1kfkk時，當(dāng)有終序列（左邊序列）：有終序列（左邊序列）：0)(2kfkk時，當(dāng)列的有始序列稱為因果序01k序列的有終序列稱為反因果02k3.3.有限序列有限序列區(qū)間有非零確定值。僅在序列21)(kkkkf2.2 典型離散時間信號第二章 信號與系統(tǒng)的時域分析 2.1 典型連續(xù)時間信號 2.2 典型離散時間信號 2.3 連續(xù)時間信號的基本運算 2.5 信號的時域分解 2.6 連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng) 2.8 連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 作業(yè)2.2.1 復(fù)指數(shù)序列2.2.2 單位脈沖序列2.2.3 單位階躍序列 若若 A 為實數(shù)，設(shè)為實數(shù)，設(shè) ,

11、則則 為為直流序列直流序列。0AAek 當(dāng)當(dāng)A為實數(shù)，為實數(shù)， 時，時， 為為實指數(shù)序列實指數(shù)序列。kkAeAe00復(fù)指數(shù)序列復(fù)指數(shù)序列 復(fù)指數(shù)序列可用來表示多種信號：復(fù)指數(shù)序列可用來表示多種信號：2.2.1 復(fù)指數(shù)序列kAekf)(其中，其中，A 和和 可以是實常數(shù)，可以是實常數(shù)，也可以是復(fù)數(shù)。也可以是復(fù)數(shù)。,jeAA 0jk0A12 3 4-1k0kAe012 3 4-1k0kAe012 3 4-1 若若 ,則則 為為虛指數(shù)序列虛指數(shù)序列。0kjkAeAe02.2.1 復(fù)指數(shù)序列根據(jù)歐拉公式，上式可寫成根據(jù)歐拉公式，上式可寫成kjkAAekfkj00sincos)(0 可見，虛指序列的實部

12、和虛部都是正弦序列?？梢姡撝感蛄械膶嵅亢吞摬慷际钦倚蛄小．?dāng)滿足當(dāng)滿足 為有理數(shù)時，虛指序列才是周期序列。為有理數(shù)時，虛指序列才是周期序列。20k0 kA0cos0 一般情況下，若一般情況下，若 均為復(fù)數(shù)，則均為復(fù)數(shù)，則 為為復(fù)指數(shù)序列復(fù)指數(shù)序列。, A2.2.1 復(fù)指數(shù)序列)sin()cos(00kjkeAAekk其實部和虛部均為其實部和虛部均為變幅的正弦序列變幅的正弦序列。k0 keAk0cos0k0 keAk0cos0返回返回任意序列任意序列 f (k) 可以表示為可以表示為一系列延時單位函數(shù)的加權(quán)和：一系列延時單位函數(shù)的加權(quán)和：) 1() 1 ()()0() 1() 1()2()2(

13、)(kfkfkfkfkfnnknf)()(單位脈沖序列：單位脈沖序列：延遲單位脈沖序列：延遲單位脈沖序列：0001)(kkknknknk01)( 篩選特性：篩選特性：)()()(nfnkkfk)()()()(nknfnkkf 加權(quán)特性：加權(quán)特性：2.2.2 單位脈沖序列)(nk111k2n0)(k1131k2返回返回0001)(kkkunknknku01)(的關(guān)系：與)()(kku) 1()()(kukuk)()(tutddt 和連續(xù)信號做比較和連續(xù)信號做比較dtut)()( )(nkukn單位階躍序列：單位階躍序列：延遲單位階躍序列：延遲單位階躍序列：2.2.3 單位階躍序列11nk0)(n

14、kun2n3n1131k20)(ku第二章 信號與系統(tǒng)的時域分析 2.1 典型連續(xù)時間信號 2.2 典型離散時間信號 2.3 連續(xù)時間信號的基本運算 2.5 信號的時域分解 2.6 連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng) 2.8 連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 作業(yè)2.3.1 替換自變量的運算2.3.2 信號的導(dǎo)數(shù)與積分2.3.3 信號的相加與相乘2.3.1 替換自變量的運算1.1.翻轉(zhuǎn)（折疊）：翻轉(zhuǎn)（折疊）：)()(tftftt1)(tft012-21)( tf t0-1從波形上看，從波形上看， 與與 的波形相對于縱軸對稱。的波形相對于縱軸對稱?；蛘哒f或者說 以縱軸為中心翻轉(zhuǎn)以縱軸為中心翻轉(zhuǎn)180即可得到即可得到 。)(

15、tf)( tf )(tf)( tf 2.3.1 替換自變量的運算2.2.尺度變換：尺度變換：)()(atftfatt 當(dāng)當(dāng) a0 時，從波形上看，時，從波形上看， 是把是把 的波形以坐標(biāo)原的波形以坐標(biāo)原點為基準(zhǔn)，沿時間軸壓縮點為基準(zhǔn)，沿時間軸壓縮(當(dāng)當(dāng)a1時時)或擴展或擴展(0a1時時)至原來至原來的的 倍。倍。)(tf)(atfa11)(tft0121)2( tft01 1/21)21( tft042 當(dāng)當(dāng) a0時，時， 是把是把 的波形向左移的波形向左移b)(tf)(btf當(dāng)當(dāng)b返回返回)(tft101)( tft（1）01（1） 在在 f (t) 的不連續(xù)點處，導(dǎo)數(shù)中會含有的不連續(xù)點處，

16、導(dǎo)數(shù)中會含有沖沖激函數(shù)激函數(shù)，沖激的強度為間斷點處的跳變值。，沖激的強度為間斷點處的跳變值。 記作記作 或或 ，它的值是信號，它的值是信號f (t) 在任意時刻在任意時刻 t的變化率。的變化率。dttdf)()( tf1.1.信號的導(dǎo)數(shù)：信號的導(dǎo)數(shù)：2.2.信號的積分信號的積分: : 記作記作 或或 。)() 1(tftdf)( 從圖形上看，它在任意從圖形上看，它在任意 t 時刻的值是從時刻的值是從- 到到 t 區(qū)間，區(qū)間，f(t)與時間軸所包圍的面積。與時間軸所包圍的面積。 )() 1(tft1012.3.2 信號的導(dǎo)數(shù)與積分 )()(1trtututr )()(1tutttu 常用信號的導(dǎo)

17、常用信號的導(dǎo)數(shù)積分關(guān)系數(shù)積分關(guān)系:返回返回)(1tft202)()(21tftft10122)(2tft1012.3.3 信號的相加與相乘 兩個信號兩個信號相加與相乘相加與相乘，是將它們，是將它們在同一瞬間在同一瞬間的值相加或的值相加或相乘。相乘。 )(1tft202)(2tft101)()(21tftft101第二章 信號與系統(tǒng)的時域分析 2.1 典型連續(xù)時間信號 2.2 典型離散時間信號 2.3 連續(xù)時間信號的基本運算 2.5 信號的時域分解 2.6 連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng) 2.8 連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 2.10 系統(tǒng)的全響應(yīng) 作業(yè)2.5.1 交、直流分解2.5.2 奇、偶分解2.5.3 實部

18、、虛部分解2.5.4 脈沖分解)()()(tftftfAD2.5.1 交、直流分解信號可以分解為直流分量和交流分量之和：信號可以分解為直流分量和交流分量之和： 直流分量：直流分量：指信號在定義域區(qū)間上的平均值，對應(yīng)于信指信號在定義域區(qū)間上的平均值，對應(yīng)于信號中不隨時間變化的穩(wěn)定分量。號中不隨時間變化的穩(wěn)定分量。 交流分量：交流分量：除去直流分量后的部分。除去直流分量后的部分。t0 tft0 tfAt0 tfD返回返回2.5.2 奇、偶分解任意波形的信號也可以分解為偶分量與奇分量之和：任意波形的信號也可以分解為偶分量與奇分量之和：)()()()(21)()(21)()()()(21)(txtxt

19、xtxtxtxtxtxtxtxtxoe返回返回2.5.3 實部、虛部分解如果是復(fù)數(shù)信號，可以分解為實部分量如果是復(fù)數(shù)信號，可以分解為實部分量 和虛部分和虛部分量量 兩部分：兩部分：)(tfr)(tfi)()()(tftftfir返回返回2.5.4 脈沖分解1. 連續(xù)信號分解為單位沖激信號的線性組合連續(xù)信號分解為單位沖激信號的線性組合)(tx0tt10)(tg各個時刻出現(xiàn)的矩形脈沖可表示如下：各個時刻出現(xiàn)的矩形脈沖可表示如下：) 0 ( x)2 ( x)( nx2nnttt20 ntgnxtgxtgx220nntgnxtx)()()(折線可以看作這些矩形脈折線可以看作這些矩形脈沖的疊加，即沖的疊

20、加，即定義如下矩形脈沖，顯然定義如下矩形脈沖，顯然 ttg)(lim01)(tgt0nntgnxtx)()(lim)(0,),()(,0的積分求和變成對連續(xù)變量成為，成為新的連續(xù)變量記作時，當(dāng)tntgnddtxtx)()()(即解釋：解釋： 疊加起來構(gòu)成的。沖激信號分量連續(xù)出現(xiàn)的可以看成是由無窮多個說明任意波形的信號)()()(. 1tdxtx疊加起來構(gòu)成的。形脈沖信號分量個連續(xù)出現(xiàn)的矩也可以看成是由無窮多任意波形的信號)()()(. 2dtxtx過程中可視為常數(shù)）。是積分參變量（在積分是積分變量，t. 3nntgnxtx)()()( 任意波形的信號也可以近似表示為無窮多個階躍信號之和任意波形

21、的信號也可以近似表示為無窮多個階躍信號之和（分解過程略）：（分解過程略）：dtuxtx)()( )( 利用后面將要介紹的卷利用后面將要介紹的卷積性質(zhì)，可以很方便地證明積性質(zhì)，可以很方便地證明這一結(jié)論。這一結(jié)論。2.5.4 脈沖分解)(tx) 0 ( x)( xt第二章 信號與系統(tǒng)的時域分析 2.1 典型連續(xù)時間信號 2.2 典型離散時間信號 2.3 連續(xù)時間信號的基本運算 2.5 信號的時域分解 2.6 連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng) 2.8 連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 作業(yè)2.6.1 沖激響應(yīng)的定義2.6.2 沖激響應(yīng)的求取2.6.1 沖激響應(yīng)的定義零狀態(tài)系統(tǒng)在單位沖激信號作用下的響應(yīng)。零狀態(tài)系統(tǒng)在單位沖激信

22、號作用下的響應(yīng)。)(th0)0 (nqS)(t單位沖激響應(yīng)單位沖激響應(yīng)h(t)：( (簡稱沖激響應(yīng)簡稱沖激響應(yīng)) )系統(tǒng)的沖激響應(yīng)可以表征系統(tǒng)本身的特性，換句話說，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)可以表征系統(tǒng)本身的特性，換句話說，不同的系統(tǒng)就會有不同的沖激響應(yīng)。不同的系統(tǒng)就會有不同的沖激響應(yīng)。返回返回二二. .沖激響應(yīng)是階躍響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)沖激響應(yīng)是階躍響應(yīng)的導(dǎo)數(shù))()( )()()()( )( )( )()(thtsthtttutstutstu，則，而由于由線性特性可知：躍響應(yīng)，則其零狀態(tài)響應(yīng)為階勵為設(shè)線性時不變系統(tǒng)的激一一. .對于簡單的電路，直接列微分方程求解對于簡單的電路，直接列微分方程求解* *2.6.2

23、沖激響應(yīng)的求取三三. .求解描述系統(tǒng)的線性常微分方程求解描述系統(tǒng)的線性常微分方程. .簡單的情況：簡單的情況： 方程右邊為方程右邊為)(tx* *. .一般情況：一般情況：方程右邊含有的各階導(dǎo)數(shù)方程右邊含有的各階導(dǎo)數(shù))(tx 間接法間接法 直接法直接法設(shè)描述設(shè)描述n階連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為：階連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為：)()()( )()(01) 1(1)(txtyatyatyatyannnn即則若)()(),()(thtyttx)()()( )()(01) 1(1)(tthathathathannnn：上式變?yōu)辇R次微分方程時，當(dāng), 0)(0tt2.6.2 沖激響應(yīng)的求取. .簡單的情況：簡單的情況

24、： 方程右邊為方程右邊為)(tx同。與微分方程的齊次解相即沖激響應(yīng))(th0)()( )()(01) 1(1)(thathathathannnn微分方程就可以了。個初始條件，求解齊次只要找出該系統(tǒng)的n處連續(xù)）。冪函數(shù)項（在的正項中含有處不連續(xù)），在其余各含有階躍函數(shù)項（在中中含有沖激函數(shù)項，在中。即只能包含在激函數(shù)項，并且，等式的左邊應(yīng)含有沖其次：為了使方程平衡，所以首先：因為是因果系統(tǒng)00)()(:)(0)0()0( )0()1()()()1(tttthththhhhnnnn2.6.2 沖激響應(yīng)的求取)()()( )()(01) 1(1)(tthathathathannnn（1）找出）找出

25、n 個初始條件：個初始條件：)0()0() 1() 1(nnhh即：0)0()0(, 0)0( )0( , 0)0()0()2()2(hhhhhhnn對微分方程兩邊取積分對微分方程兩邊取積分1)()()()(000000000) 1(1)(dttdtthadtthadtthannnn上式左邊只有第一項不為零，其余各項都為零，即：上式左邊只有第一項不為零，其余各項都為零，即：1)0()0() 1() 1(nnnhhannah1)0() 1(因此得到在因此得到在 t = 0+ 時的時的 n 個初始條件為：個初始條件為：nnnnahhhh1)0(0)0()0()0() 1()3()2(2.6.2 沖

26、激響應(yīng)的求取1)0()0()0()0()2()2(1)1()1(nnnnnnhhahha2.6.2 沖激響應(yīng)的求取（2）求解齊次微分方程：）求解齊次微分方程：0)()( )()(01) 1(1)(tyatyatyatyannnn其特征方程為：其特征方程為：00111aaaannnn求出特征根求出特征根n,21當(dāng)特征根均為單根時，可寫出當(dāng)特征根均為單根時，可寫出齊次解的通解形式齊次解的通解形式： tuecthnitii1將將n個初始條件代入上式，求出系數(shù)，即可得到系統(tǒng)的沖激個初始條件代入上式，求出系數(shù)，即可得到系統(tǒng)的沖激響應(yīng)響應(yīng) 。 th例：已知系統(tǒng)的微分方程如下，試求其沖激響應(yīng)。例：已知系統(tǒng)的

27、微分方程如下，試求其沖激響應(yīng)。)()(2)( 3)( tththth解：解：2, 102300)(2)( 3)( 212解得：特征方程：即：tththth)()(2)( 3)( txtytyty)()()(:221tuekekthtt齊次微分方程的通解為代入初始條件：0)0(1)0( hh解得：0122121kkkk有：1121kk)()()(2tueethtt2.6.2 沖激響應(yīng)的求取 其它求解系統(tǒng)沖激響應(yīng)的方法還有：其它求解系統(tǒng)沖激響應(yīng)的方法還有： 變換域的方法：變換域的方法：傅立葉變換法、拉普拉斯變換法傅立葉變換法、拉普拉斯變換法 實驗法：實驗法：觀察、記錄系統(tǒng)在窄脈沖信號激勵下的響應(yīng)曲

28、線觀察、記錄系統(tǒng)在窄脈沖信號激勵下的響應(yīng)曲線或單位階躍響應(yīng)曲線。或單位階躍響應(yīng)曲線。第二章 信號與系統(tǒng)的時域分析 2.1 典型連續(xù)時間信號 2.2 典型離散時間信號 2.3 連續(xù)時間信號的基本運算 2.5 信號的時域分解 2.6 連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng) 2.8 連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 作業(yè)2.8.1 卷積分析法的引出2.8.2 確定卷積積分限的公式2.8.3 卷積的圖解2.8.4 卷積積分的性質(zhì)2.8.1 卷積分析法的引出 時域分析時域分析1.1.計算零輸入響應(yīng)：計算零輸入響應(yīng)：求解微分方程的齊次解求解微分方程的齊次解2.2.計算零狀態(tài)響應(yīng)：計算零狀態(tài)響應(yīng)：經(jīng)典法經(jīng)典法：求解微分方程的非齊次解：求解

29、微分方程的非齊次解卷積分析法卷積分析法 變換域分析變換域分析（第（第3 3章介紹）章介紹）對于線性時不變系統(tǒng)，設(shè))()()()()()()()()()()()()()(tydthxdtxtxthdxtdxthttht則當(dāng)?shù)木矸e積分與稱為記作)()()()()()()(thtxdthxthtxty 過程：過程： 首先把任意信號分解為基本單元信號（這里是指沖激信號）；首先把任意信號分解為基本單元信號（這里是指沖激信號）； 然后研究系統(tǒng)對基本單元信號的零狀態(tài)響應(yīng)（這里是指沖激響應(yīng)）然后研究系統(tǒng)對基本單元信號的零狀態(tài)響應(yīng)（這里是指沖激響應(yīng)） ； 再根據(jù)線性時不變系統(tǒng)的根本規(guī)律，把這些基本單元信號單獨作

30、用于再根據(jù)線性時不變系統(tǒng)的根本規(guī)律，把這些基本單元信號單獨作用于 系統(tǒng)時所引起的零狀態(tài)響應(yīng)迭加起來。系統(tǒng)時所引起的零狀態(tài)響應(yīng)迭加起來。)(ty0)0 (nqS)(tx2.8.1 卷積分析法的引出返回返回都是有始函數(shù)時，設(shè)和當(dāng))()(thtx)()()(),()()(211ttuththttutxtxdttuthtuxthtxty)()()()()()()(21則0)(00)(0222111ttutttttutt）時，（即以及）時，（即考慮到)()()()()()(21121tttudthxthtxtyttt2.8.2 確定卷積積分限的公式 作用所引起的。）期間所有分量的共同，在（是由激勵。其物

31、理意義是：響應(yīng)，上限應(yīng)當(dāng)為下限應(yīng)當(dāng)為為零。因此，積分時，被積函數(shù)才可能不只有當(dāng)212121)(.1ttttytttttt 。出現(xiàn)的最早時刻為時間才能出現(xiàn)，即響應(yīng)應(yīng)要再到時刻的激勵所引起的響義是：意才可能不為零。其物理時對于而言，應(yīng)當(dāng)滿足2121121)(.2tttyttttyttt于是有狀態(tài)響應(yīng)。試用卷積分析法求其零系統(tǒng)的沖激響應(yīng)：已知激勵信號例),2()(, 1)(282tuethtxt1)(1)()()()()()()(1)(11)()()(21211121ttttttttteedetudetttudtffthtxtytttututx則，其中解：) 3() 1(1822tuetuett：試

32、計算卷積：例返回返回)4()4()4()4()4(123132312312)(231tueetueetudeetudeetudeetttttttttt解：原式 圖形卷積能夠直觀地理解卷積積分的計算過程，有助于確定圖形卷積能夠直觀地理解卷積積分的計算過程，有助于確定積分的上下限。積分的上下限。dthxthtxty)()()()()(相乘；和相乘：將)()(. 4thx歸納起來，卷積的圖解過程有五個步驟：歸納起來，卷積的圖解過程有五個步驟：)()(),()(:. 1hthxtxt換元：)()(. 2hh折疊：；值平移一個位移：把)()(. 3thth時刻的卷積值。即為的面積乘積曲線與時間軸之間和積

33、分：tthx)()(. 52.8.3 卷積的圖解0)(,21tyt當(dāng)16144)(2)(, 121221ttdttytt當(dāng)16343)(2)(,231121tdttyt當(dāng)4324)(2)(, 323221ttdttytt當(dāng)0)(, 3tyt當(dāng))()()()2()()(),1(2)21(2)(382thtxtytututthtututx試求卷積，：已知例請放映幻燈片以觀看下面的動畫請放映幻燈片以觀看下面的動畫 返回返回(1) (1) 交換律交換律)()()()(txththtx1. 卷積代數(shù)2.8.4 卷積積分的性質(zhì)(2) (2) 分配律分配律)()()()()()()(2121thtxthtx

34、ththtx例如：兩個子系統(tǒng)并聯(lián)例如：兩個子系統(tǒng)并聯(lián))()(21thth)(ty)(tx)(1th)(2th)(tx)()()()(21ththtxty)()(1thtx)()(2thtx等效為：等效為：子系統(tǒng)并聯(lián)時，總系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和。子系統(tǒng)并聯(lián)時，總系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和。2.8.4 卷積積分的性質(zhì))()()()()()(2121ththtxththtx(3) (3) 結(jié)合律結(jié)合律例如：兩個子系統(tǒng)級聯(lián)例如：兩個子系統(tǒng)級聯(lián))(tx)(2th)()()()(21ththtxty)(1th)()(1thtx等效為：等效為：)()(21thth)(tx)()(

35、)()(21ththtxty子系統(tǒng)級聯(lián)時，總的沖激響應(yīng)應(yīng)等于各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。子系統(tǒng)級聯(lián)時，總的沖激響應(yīng)應(yīng)等于各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。2. 卷積的微分與積分，有設(shè))()()(thtxty(1) (1) 卷積的微分性質(zhì)卷積的微分性質(zhì))()( )( )()( thtxthtxty(2) (2) 卷積的積分性質(zhì)卷積的積分性質(zhì))()()()()()1()1()1(thtxthtxty2.8.4 卷積積分的性質(zhì)(3) (3) 卷積的微積分性質(zhì)卷積的微積分性質(zhì))( )()()( )()1()1(thtxthtxtydtthxthtxdxhthtxxththtxthxdxthtxtyt)()()()(

36、)()()()()()()()( )()()( )()()() 1() 1 () 1() 1 () 1()()()()()()()()(, 0)(0)()1()1()1()1(thtxtythtxthtxtydtthx交換位置，可得和同理，則，或者只要證明：證明：條件：條件：應(yīng)用微積分性質(zhì)時，被求導(dǎo)的函數(shù)在應(yīng)用微積分性質(zhì)時，被求導(dǎo)的函數(shù)在 處應(yīng)為零處應(yīng)為零值，或者被積分的函數(shù)在值，或者被積分的函數(shù)在 區(qū)間的積分值（即函數(shù)波形區(qū)間的積分值（即函數(shù)波形的凈面積）為零值。的凈面積）為零值。t),()()()()()1()1(thtxthtx為整數(shù)以進一步推廣為：卷積的微積分性質(zhì)還可jithtxtyj

37、iji,)()()()()()(杜阿密爾積分即例如：)()( )()()( )()( )()()() 1(tstxtytstxthtxthtxty為整數(shù)此性質(zhì)可以推廣為：ithtxtyii)()()()()(當(dāng)當(dāng) i 為正整數(shù)時，表示求導(dǎo)數(shù)的階數(shù)為正整數(shù)時，表示求導(dǎo)數(shù)的階數(shù)當(dāng)當(dāng) i 為負(fù)整數(shù)時，表示求重積分的次數(shù)為負(fù)整數(shù)時，表示求重積分的次數(shù)當(dāng)當(dāng)i、j 和和ij為正整數(shù)時，表示求導(dǎo)數(shù)的階數(shù)為正整數(shù)時，表示求導(dǎo)數(shù)的階數(shù)當(dāng)當(dāng)i、j 和和ij為正整數(shù)時，表示求重積分的次數(shù)為正整數(shù)時，表示求重積分的次數(shù)2.8.4 卷積積分的性質(zhì)3. 含有沖激函數(shù)的卷積)()()(txttx卷積的重現(xiàn)性質(zhì)卷積的重現(xiàn)性質(zhì)利用微積分性質(zhì)還可以得到利用微積分性質(zhì)還可以得到tdxtutxtxttx)()()()( )( )(推廣到一般情況，有推廣到一般情況，有)()()()()()(1)(1)()()(ttxtttxtxttxiiii2.8.4 卷積積分的性質(zhì))()()(11ttxtttx4. 卷積的時移)()()(thtxty若若)()()()()(000ttythttxtthtx則則)()()()()(211221tttytthttxtthttx2.8.4 卷積積分的性質(zhì))(1tf22tA)(tfT22tTTT2T2A)(tT(1)tTTT2T