談談不等式恒成立問題的幾種常見解法

1、 談談不等式恒成立問題的幾種常見解法 寧鄉(xiāng)四中 吳業(yè)分 長郡中學 連成珺恒成立問題是歷年來高考考查的重點內容.近年來，在各省的高考命題中，恒成立問題經(jīng)常與導數(shù)、不等式相結合出現(xiàn)，難度較大。下面我們來談談不等式的恒成立問題的幾種常見解法.一分離變量法若所給的不等式能通過恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端，從而問題轉化為求主元函數(shù)的最值，進而求出參數(shù)范圍.這種方法本質也還是求最值，但它思路更清晰，操作性更強.一般地有：1）恒成立2）恒成立例題1已知當xR時，不等式a+cos2x<5-4sinx+恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.分析：在不等式中含有兩個變量a及x，其中x的范圍已知（xR），另一變

2、量a的范圍即為所求，故可考慮將a及x分離.解：原不等式即：要使上式恒成立，只需大于的最大值，故上述問題轉化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值問題.f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx-1)2+33,即上式等價于或解得.二構造函數(shù)法給定一次函數(shù)y=f(x)=ax+b(a0),若y=f(x)在m,n內恒有f(x)>0，則根據(jù)函數(shù)的圖象（直線）可得上述結論等價于）或）亦可合并定成同理，若在m,n內恒有f(x)<0，則有處理含參不等式恒成立的某些問題時，若能適時的把主元變量和參數(shù)變量進行“換位”思考，往往會使問題降次、簡化.例題2 設不

3、等式對滿足的一切m都成立，求x的取值范圍.解：將x的不等式整理成關于m的不等式把m看成主元，構造函數(shù)上述函數(shù)圖像表示的是一條線段，從而要即解得.三、判別式法若所求問題可轉化為二次不等式，則可考慮應用判別式法解題。一般地，對于二次函數(shù),有1）對恒成立; 2）對恒成立 .例題3 不等式，對恒成立，求的取值范圍.解：當時，命題成立.當時，要使對恒成立，只須拋物線圖像在x軸上方.所以即解得所以m的取值范圍是. 四，利用導數(shù)法 分離變量法雖然比較簡結，但有一定的局限性，當分離變量法受阻時，只能轉為直接求最值，此時求函數(shù)最值最為有效的方法就是導數(shù)法. 函數(shù) 在 內可導， 在 任意子區(qū)間內都不恒等于0. 函

4、數(shù) 在 上單調遞增； 函數(shù) 在 上單調遞減. 例題4：己知函數(shù)為常數(shù)）.若存在 ,使得 成立，求實數(shù)a取值范圍. 解：不等式,可化為 . , 且等號不能同時取,所以 即 因而 )令 )又 當時， 從而 （僅當 時取等號）， 在 上為增函數(shù)， 的最小值為 的取值范圍是 .五、數(shù)形結合法 如果不等式中涉及的函數(shù)、代數(shù)式對應的圖象、圖形較易畫出時，可通過圖象、圖形的位置關系建立不等式求得參數(shù)范圍. 例題5已知函數(shù)若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍是. 解：在同一個平面直角坐標系中分別作出函數(shù)及的圖象，由于不等式恒成立，所以函數(shù)的圖象應總在函數(shù)的圖象下方，因此，當時，所以故的取值范圍是 .由上可見，含參的不等式恒成立問題因其覆蓋知識點多，方法也多種多樣，但其核心思想還是等價轉化，所以我們在解決問題的過程中，根據(jù)題型的特點，選取不等同的方法，只有抓住了這點，才能以“不變應萬變