誘導公式教案

1、誘導公式教案 教學目標1通過本節(jié)課的教學，使學生掌握誘導公式的推導方法和記憶方法2會運用這些公式求解任意角的三角函數(shù)的值，并會進行一般的三角關系式的化簡和證明3培養(yǎng)學生觀察問題、解決問題、抽象概括問題的能力，并注意完善學生的基本數(shù)學思想和數(shù)學意識教學重點與難點誘導公式的推導教學過程設計師：我們前面學習過誘導公式一，請說出誘導公式一及其文字敘述它在轉化任意角的三角函數(shù)中所起的作用是什么？生：(學生口述的同時，教師板書誘導公式一)sin(k·360°)=sin，cos(k·360°)=cos，tan(k·360°)=tan，cot(k&#

2、183;360°)=cot(kZ)文字敘述：終邊相同的角的同一個三角函數(shù)的值相等它在轉化任意角的三角函數(shù)中所起的作用是：把求任意角的三角函數(shù)值的問題，轉化為求0°360°(或02)之間角的三角函數(shù)值的問題師：(副板書)試求出sin 2016°的值生：由公式一，sin 2016°=sin(5×360°×216°)sin 216°(至此，絕大多數(shù)同學已無法再演算下去了)(以舊知識的復習，導出新的問題，使學生新的求知欲得到激發(fā)，渴望得到回答，以達到以舊帶新，以舊拓新的目的)師：能否導出一些新的公式來解

3、決這類問題？可先看這道具體問題如何求解我們知道0°90°之間的角的三角函數(shù)值可以通過查表求得那么，能否借助一個工具，在0°90°之間找到一個角，把求sin 216°的值的問題轉化為求角的三角函數(shù)值問題？(進一步誘導，使學生進入憤悱狀態(tài))師：(投影圖1)216°角的終邊OP在第三象限內，將OP反向延長，與單位圓交于P點，則在0°90°之間找到一個角=216°180°=36°由于OPMOPM，所以有MP=MP又因為sin 216°=MP，sin 36°=MP，而MP與M

4、P的長度相同、方向相反，所以有sin 216°=sin 36°這樣便把求sin 216°的值的問題，轉化為可查表的36°角的三角函數(shù)求值問題你能把以上幾何變換的過程，用三角關系式表示出來嗎？(向“公式化”過渡實際上我們先經過了一次將三角問題幾何化利用正弦線)生：sin 216°=sin(180°36°)=sin36°師：180°270°之間角的余弦函數(shù)問題，是否也可以通過這種變換，轉化為求角在0°90°之間的三角函數(shù)問題？(遷移作用)(師適當提示：觀察余弦線的數(shù)量關系)生：師

5、：180°270°之間角的正切、余切函數(shù)的求值問題，是否也可以通過這樣的變換轉化求值？生：師：可見180°270°之間角的三角函數(shù)求值問題都可以通過類似的變換求出三角函數(shù)的值能否把這種變換求值的方法，總結成公式形式？(從具體問題的求解，到公式的形成是一種質的飛躍)師：(適當提示：先把180°270°之間的角用(是0°90°之間的角)表示出來)生：(板書)sin(180°)=sin， cos(180°)=cos，tan(180°)=tan， cot(180°)=cot 師：這組

6、公式通常稱為誘導公式二觀察其結構特征：同名函數(shù)關系；符號規(guī)律：右邊符號與180°角所在象限(第三象限)角的原三角函數(shù)值的符號相同(為總結公式的記憶方法打基礎)師：任意角的三角函數(shù)值問題，可以由公式一化為0°360°之間角的三角函數(shù)值問題；180°270°之間角的三角函數(shù)值，又可通過誘導公式二化為0°90°之間角的三角函數(shù)值，從而得出函數(shù)值；那么90°180°、270°360°之間的角的三角函數(shù)值問題，能否轉化為0°90°之間角的三角函數(shù)值來求出解答？(橫向聯(lián)想，公式

7、二的歸納過程，會對學生的思維產生正向的影響)(師提示：由對稱性找出角的終邊間的關系，再證出三角函數(shù)線的數(shù)量關系，正切、余切函數(shù)的誘導公式可由同角三角函數(shù)的基本關系式推出)生：(討論的同時，完成圖2)師：(板書)生：(板書完成)sin()sin，cos()cos，tan()tan， cot()cot(及時評價、反饋)師：這組公式通常稱為誘導公式三觀察其結構特征：同名函數(shù)關系；符號規(guī)律是：右邊符號與所在的第四象限角的原三角函數(shù)值的符號相同生：(完成板書)sin(180°)=sin， cos(180°)=cos，tan(180°)tan，cot(180°)co

8、t(師及時評價、反饋)師：這組公式通常稱為誘導公式四觀察其結構特征：同名函數(shù)關系；符號規(guī)律：右邊符號與180°所在的第二象限角的原三角函數(shù)值的符號相同師：由于360°角與角的終邊相同，它們的同一三角函數(shù)值相等，所以有(板書)sin(360°)=sin， cos(360°)=cos，tan(360°)tan， cot(360°)cot師：目前，連同公式一，我們一共得到了五組誘導公式，利用它們，可以求出任意角的三角函數(shù)值為使公式更具一般性，不妨大膽猜測：若公式中的角為任意角，公式是否仍能成立？(推廣到一般性)生：師：大膽猜測，還要小心求證

9、沒有大膽猜測，就沒有事物的發(fā)展和進步；(鼓勵猜想)，沒有經過證明的結論總是危險的我們可先以公式二為例，證明究竟誰猜的對(要證明猜測的結論，學生情緒進一步高漲)師：(投影圖3)生：(師提示：可先由三角函數(shù)線或由三角函數(shù)定義，推出sin(180°)與sin，cos(180°)與cos的數(shù)量關系，再用同角三角函數(shù)的基本關系式推出。師：由此可見，為任意角時，公式二仍然成立類似于公式二的推證方法，可以證明公式三也成立而180°可以寫成180°()，360°又與角終邊相同，容易推出，對任意角，公式三、四、五也都成立驗證過程由同學們在課下完成(給學生留有細心

10、體驗發(fā)現(xiàn)的空間)(到此完成了又一次的升華)師：本節(jié)課推得的公式較多，如何記憶這些公式呢？(機械記憶顯然不可行)由推證公式的過程可知，其結構具有一定的規(guī)律性：等號兩邊的函數(shù)名稱相同；符號規(guī)律：把看作銳角時，等號右邊的符號與k·360°(kZ)(第一象限角)、(第四象限角)、180°(第三象限角)、180°(第二象限角)、360°(第四象限角)所在象限的原三角函數(shù)值的符號相同(可回顧圖2)綜上所述，這些公式可以概括如下：k·360°(kZ)，180°±，360°的三角函數(shù)值，等于的同名三角函數(shù)值，前

11、面加上一個把看成銳角時原函數(shù)值的符號師：(投影圖4，用紅色標出x軸)由于把看作銳角時，k·360°，180°±，360°均可看作由x軸出發(fā)加或減得到的，所以這五組誘導公式又可稱為“水平誘導”公式按如下方法記憶：水平誘導名不變；符號看象限師：下面給大家半分鐘，體會上述記憶方法并考慮用弧度制如何表示上述公式？生：(師個別提問及時反饋這樣可提高學生的學習積極性和學習效率)師：用誘導公式都可以解決哪些問題？(自問自答)作用1：求值一般可按如下步驟進行：以上步驟可簡化為：負化正；正化主；主化銳角可查表(0°360°之間的角叫做主值或主

12、角)求下列各三角函數(shù)值例1、tan 2025°=tan(5×360°225°)=tan 225°=tan(180°45°)=tan 45°=1師：新學公式，不得跳步( (各請一位同學板演，同時教師巡視) 例2、cos(519°)=cos 519°=cos(360°159°)=cos 159°=cos(180°21°)=cos 21°=0.933 6師：運用熟練后，還可以總結出簡煉快捷的求值方法(提出更高的目標由公式指導實踐是質的又一次升

13、華)作用：化簡或證明可把復雜問題化簡單，直到解決問題師：(小結)誘導公式(二)(五)的推導方法類似，應抓住角的終邊位置對稱(關于原點、y軸、x軸對稱)的特點及三角函數(shù)的數(shù)量關系、同角三角函數(shù)的關系記憶公式，要把握五組公式的結構特征：(1)函數(shù)名稱關系：函數(shù)名相同；(2)符號規(guī)律：公式右邊的符號為把視為銳角時，角k·360°(kZ)，、180°±，360°所在象限的原三角函數(shù)值的符號(回顧圖27)記憶：水平誘導名不變；符號看象限應用：(1)計算求值步驟可簡單記為：負化正，正化主，主化銳角可查表(2)化簡證明要分析題目的三個結構代數(shù)結構、三角結構和

14、角的結構希望同學們今后在不斷的應用實踐中，總結出更簡捷的方法和解題步驟(鼓勵學生不斷實踐和總結，以達到更好地使公式內化的目的)課堂練習：課本P215練習第3題課外題：課本P215練習1、2、5課堂教學設計說明一、本節(jié)課的教學過程：1復習舊知識，引出新課；2由sin216°的求值過程，引導學生發(fā)現(xiàn)推證公式的方法和途徑；3將解題過程抽象化、概括化，推出公式sin(180°)=sin(其中為0°90°之間的角)4類比推出公式二，從而推出公式三、四、五；5推廣到任意角并加以證明；6找規(guī)律，談記憶；7講應用，說方法；8例題、小結、練習、作業(yè)二、本節(jié)課的指導思想：課本上采用的是直接給出90°180°，180°270°，270°360°之間的角，可以用180°，180°，360°(0°90°)來表示，然后加以證明出結論其簡捷、節(jié)約時間的特點是顯而易見的但總有一種把知識作為“結果”傳授給學生的感覺，學生只要接受、反復練習就算完成了“內化”的過程而利用環(huán)節(jié)15，把從實踐經驗(解題)上升到理論高度(公式)，再由理論(公式)去指導實踐(解題)的過程，展現(xiàn)給學生；也使學生的數(shù)學思想和數(shù)學意識得到了提高；培養(yǎng)了學生“發(fā)現(xiàn)”問題“解決”問題的