梯形中位線與面積

1、天材教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義講義編號(hào)： 學(xué)員編號(hào)： 年 級(jí)：初二 課時(shí)數(shù)： 3學(xué)員姓名： 輔導(dǎo)科目：數(shù) 學(xué) 學(xué)科教師：課 題梯形中位線與面積授課時(shí)間：備課時(shí)間：教學(xué)目標(biāo)1、掌握平行線等分線段定理，三角形、梯形中位線定理，三角形一邊中點(diǎn) 且平行另一邊的直線平分第三邊，過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)且平行底的直線平分另一腰的定理；2、 使學(xué)生了解面積的概念，掌握三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形的面積公式，等底等高的三角形面積相等的性質(zhì)，會(huì)用面積公式解決一些幾何中的簡(jiǎn)單問題；3、使學(xué)生掌握幾何證題中的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折三種變換。重點(diǎn)、難點(diǎn)三角形，梯形中位線定理的應(yīng)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線來(lái)解有關(guān)梯形的幾何題考點(diǎn)

2、及考試要求三角形，梯形中位線定理的應(yīng)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線來(lái)解有關(guān)梯形的幾何題教學(xué)內(nèi)容第一部分 梯形中位線與面積考查重點(diǎn)與常見題型1 考查中位線、等分線段的性質(zhì)，常見的以選擇題或填空題形式，也作為基礎(chǔ)知識(shí)應(yīng)用，如：一個(gè)等腰梯形的周長(zhǎng)是100cm，已知它的中位線與腰長(zhǎng)相等，則這個(gè)題型的中位線是 2 考查幾何圖形面積的計(jì)算能力，多種題型出現(xiàn)，如：三角形三條中位線的長(zhǎng)分別為5厘米，12厘米，13厘米，則原三角形的面積是 厘米23 考查形式幾何變換能力，多以 中檔解答題形式出現(xiàn)預(yù)習(xí)練習(xí)1順次連結(jié)對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是（ ）（A） 矩形 （B）等腰梯形 （C）菱形 （D）正方形2在四邊形

3、ABCD中，ACBD，厘米順次連結(jié)四邊形ABCD各邊中點(diǎn)所得的四邊形一定是（ ）（A）平行四邊形 （B）矩形 （C）正方形 （D）菱形3正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)為6cm，則正方形的面積是 cm24菱形的兩條對(duì)角線之比是2：3，面積是15厘米2，則兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別是 厘米和 厘米5一個(gè)三角形和一個(gè)梯形的面積相等，它們的高也相等，已知三角形德國(guó)底邊為18厘米，厘米梯形的中位線的長(zhǎng)等于 厘米6ABC中，若D是BC邊的中點(diǎn)，則SACD ；若BD：DC3：2，則SABD：SACD 考點(diǎn)訓(xùn)練：1等腰三角形腰長(zhǎng)為2，面積為1，則頂角大小是（ ） (A) 90° (B) 30° (C) 60&

4、#176; (D) 45°2如圖，G是ABC的重心（三角形中線的交點(diǎn)），若SABC6，則的面積是（ ） (A) (B) 1 (C) 2 (D) 3如圖，ABDC,EDBC,AEBD,則圖中和ABD面積相等的三角形個(gè)數(shù)（不包括ABD）為（ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 44. 矩形兩鄰邊的長(zhǎng)是4cm，6cm，順次連結(jié)它的四邊中點(diǎn)所得的四邊形面積是_cm2 5若等邊三角形的邊長(zhǎng)為a，則它的面積為_. 6菱形的邊長(zhǎng)為5cm，一條對(duì)角線長(zhǎng)為8cm，則它的面積是_.7等腰梯形的中位線長(zhǎng)為m，且對(duì)角線互相垂直，則此梯形的面積為_.8四邊形ABCD為平行四邊形，P,Q分別是AD,

5、AB上的任意點(diǎn)，則SPBC與SQCD有什么關(guān)系？它們與原平行四邊形的面積之間有什么關(guān)系？9在ABC中，AB10，BC5，AC5，求A的平分線的長(zhǎng)。10如圖,在ABC中，AD為角平分線，CEAD，F(xiàn)為BC中點(diǎn)， 求證：EF(AB AC).解題指導(dǎo)： 1已知：如圖，ABC中，AD是BC上的中線，E是AD中點(diǎn)，BE的延長(zhǎng)線交AC于F。求證：EFBE. 2已知：如圖，ABC中，BD,CE分別平分B和C，P是DE中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作BC,CA,AB的垂線，垂足分別為L(zhǎng),M,N，求證：PLPM+PN. 3證明以梯形一腰的中點(diǎn)及另一腰的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積等于原梯形面積的一半。 4. 如圖，在ABC中，D是

6、BC中點(diǎn)，N是AD中點(diǎn)，M是BN中點(diǎn)，P是MC的中點(diǎn)。求證：SMNPSABC.獨(dú)立訓(xùn)練： 1 如圖，ABC中，DEBC,且SADESABC12， 則ADDB等于（ ）。 (A) (B) (C) 1 (D) + 12已知三角形的一邊長(zhǎng)為2，這邊上的中線長(zhǎng)為1，另外兩邊和為1，則此三角形面積為（ ）。 (A) (B) (C) (D) 3矩形ABCD中，AD5，AB12，O為對(duì)角線AC,BD的交點(diǎn)，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CEAC，則SOCE_. 4. 已知POQ內(nèi)有一點(diǎn)A，求作ABC，使ABC的周長(zhǎng)最小，且頂點(diǎn)B,C分別在OP,OQ上。 5.如圖，ABDE，直線AE,BD相交于點(diǎn)O，B與D相等，求

7、證：AOEO. 6如圖，ABCD為正方形，E為CD的中點(diǎn)，過(guò)E作EF，使AEFBAE，EF交BC于，求證：CF2BF.7如圖，在平行四邊形ABCD中,E是BC的中點(diǎn)，DE,AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，求證：SABESEFC.第二部分 梯形中位線的推廣一、梯形中位線的性質(zhì)定理：梯形的中位線平行于兩底且等于兩底和的一半。二、梯形中位線性質(zhì)定理的推廣公式：如圖在梯形ABCD中，ABCD，AB=a,CD=b(ab).若EFAB,EF到CD與AB的距離之比為mn，則可證明出：。三、推廣公式的證明過(guò)程： 證明：過(guò)O作OHAB于H，分別交CD、EF于M、N點(diǎn)。設(shè)OM=x，由已知,設(shè)MN=my， NH=ny在OAB

8、中：ABCD, AB=a,CD=b, ，又EFAB， 由得：，代入式化簡(jiǎn)得： 由此可以看出，梯形中位線的性質(zhì)定理：梯形的中位線平行于兩底且等于兩底和的一半。它是mn=11時(shí)，代入=的情況。四、推廣公式的應(yīng)用：例1、如上圖所示，設(shè)OAB、OCD的面積分別S1、S2，EFAB且EF到CD與AB的距離之比為mn，求OEF的面積S0與S1、S2的關(guān)系式。 解析：由三的證明過(guò)程知道了梯形中位線定理的推廣公式，利用此公式來(lái)尋找三面積之間所蘊(yùn)含的關(guān)系式。由CDEFAB，易知：，代入中，可得例2、如圖，在梯形ABCD中,ABCD，AB=3,CD=1,則梯形的中位線長(zhǎng)為_，若EFAB，且，則EF的長(zhǎng)為_.簡(jiǎn)答：

9、由ABCD，EFAB，易知時(shí)，EF到CD與AB的距離之比為mn = ，代入，得，故答案為2，。第三部分 梯形綜合復(fù)習(xí)提高1梯形的運(yùn)用例1 如圖,在梯形ABCD中,已知ABCD,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn), 設(shè)DEA的面積為,梯形ABCD的面積為,則與的關(guān)系為_.分析:由E點(diǎn)為BC的中點(diǎn),故可聯(lián)想延長(zhǎng)DE與AB的延長(zhǎng)線相交,將梯形的面積轉(zhuǎn)化成三角形的面積.點(diǎn)評(píng):將四邊形轉(zhuǎn)化成三角形是尋求解題思路,探求解題方法的重要途徑, 注意適當(dāng)?shù)刈鞒鲚o助線,學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.2.等腰梯形的有關(guān)計(jì)算例2 已知:如圖,等腰梯形ABCD中,ADBC,AD=3,AB=4, BC=7.求B的度數(shù).解 點(diǎn)評(píng):在梯形中常通過(guò)作腰的

10、平行線,構(gòu)造平行四邊形、三角形, 從而把分散的條件集中到三角形中去,從而為證題創(chuàng)造必要的條件.3. 梯形知識(shí)的綜合運(yùn)用例2 已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，BD是對(duì)角線，AGDB交CB的延長(zhǎng)線于G。（1）求證：ADECBF；（2）若四邊形 BEDF是菱形，則四邊形AGBD是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論。作業(yè)一、選擇題(每小題3分，共30分)1在梯形ABCD中，ADBC，那么ABCD可能為 ( ) A3452 B2345 C5342 D54322正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是 ( ) A對(duì)角線互相平分 B對(duì)角線相等 C對(duì)角線平分一組對(duì)角 D對(duì)角線互相垂直

11、3下列命題中，錯(cuò)誤的是 ( ) A有一個(gè)角是直角的菱形是正方形B三個(gè)角都相等的四邊形是矩形 C矩形的對(duì)角線互相平分且相等D菱形的對(duì)角線互相垂直平分4如果等腰梯形兩底之差等于一腰的長(zhǎng)，那么此梯形的銳角是 ( ) A15° B30° C45° D60°5如圖，順次連結(jié)矩形ABCD各邊中點(diǎn)，得到菱形EFGH，這個(gè)由矩形和菱形所組成的圖形( ) A是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形B是中心對(duì)稱圖形但不是軸對(duì)稱圖形 C既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形D沒有對(duì)稱性 6如圖所示，在正方形ABCD的邊BC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，使CEAC，AE交CD于點(diǎn)F。那么，AFC( ) A

12、112.5° B120° C 135° D150°7菱形相鄰兩角的比為12，那么菱形的對(duì)角線與邊長(zhǎng)的比為 A123 B121 C12D118如圖所示，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，如果ABC的周長(zhǎng)比AOB的周長(zhǎng)長(zhǎng)10厘米，則矩形邊AD的長(zhǎng)是A5厘米 B10厘米 C7.5厘米 D不能確定9等腰梯形的高是4，對(duì)角線與下底的夾角是45°，則該梯形的中位線是 A4 B6 C8 D1010如圖，E是正方形ABCD對(duì)角線AC上一點(diǎn)，EFAB，EGBC，F(xiàn)、G是垂足，若正方形ABCD周長(zhǎng)為a，則EFEG等于 ABCaD2a二、填空題(每小題3分，

13、共30分)11已知菱形的一條對(duì)角線長(zhǎng)等于邊長(zhǎng)，則該菱形的四個(gè)內(nèi)角度數(shù)分別是_12等腰梯形的一個(gè)銳角為80°，則與它相鄰的兩個(gè)角的度數(shù)分別是_。13如圖，在矩形ABCD中，AB2BC，將矩形ABCD沿直線AF對(duì)折，使B點(diǎn)落在CD邊上的E點(diǎn)處，則CFE_。14如圖，在正方形ABCD中，E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，AEAB,則EBC_。15若菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)是方程x28x150的兩個(gè)根，則該菱形的面積等于_。 16如圖，在梯形ABCD中，ADBC，B90°，C45°，若AD4，BC8，則梯形ABCD的面積為_。17如圖，已知方格紙中是4個(gè)相同的正方形，則123_。18工人師

14、傅做鋁合金窗框分下面三個(gè)步驟進(jìn)行：(1)先截出兩對(duì)符合規(guī)格的鋁合金窗料(如圖)，使ABCD，EFGH；(2)擺放成如圖的四邊形，則這時(shí)窗框的形狀是_形，根據(jù)數(shù)學(xué)道理是：_；(3)將直角尺靠緊窗框的一個(gè)角(如圖)，調(diào)整窗框的邊框，當(dāng)直角尺的兩條直角邊與窗框無(wú)縫隙時(shí)(如圖)，說(shuō)明窗框合格，這時(shí)窗框是_形，根據(jù)的數(shù)學(xué)道理是：_。19如圖所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)為7cm，則正方形A、B、C、D的面積的和是_cm2。20如圖，在梯形ABCD中，DCAB，將梯形對(duì)折，使點(diǎn)D、C分別落在AB上的點(diǎn)D'、C'，折痕為EF若CD3c

15、m，EF4cm，則AD'BC'_cm。三、解答題(60分)21如圖所示，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，試說(shuō)明四邊形BFDE是平行四邊形22如圖所示，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AEBD，垂足為E，12，OB6厘米。(1)求BOC的度數(shù)； (2)求DOC的周長(zhǎng)23如圖，在菱形ABCD中，CEAB交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，CFAD交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，請(qǐng)你猜想CE和CF的大小關(guān)系，并證明你的猜想。24如圖，在梯形ABCD中，ADBC，ABCD，延長(zhǎng)CB到E，使EBAD，連結(jié)AE，試說(shuō)明AECA25如圖，在正方形ABCD中，P是CD的中點(diǎn)，連PA并延長(zhǎng)AP交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連結(jié)DE，取DE的中點(diǎn)Q，連結(jié)PQ，求證：PQBE26根據(jù)要求擬編一道新題已知：如圖所示，在矩形ABCD所在平面有一點(diǎn)P，且PAPD，請(qǐng)說(shuō)明：PBPC請(qǐng)你將上述條件中的“矩形ABCD”改為另一種四邊形，其余條件不變，使結(jié)論“PBPC”仍然成立，再根據(jù)改編后的題目畫出圖形，并說(shuō)明理由27把一個(gè)等腰直角三角形ABC沿斜邊上的高線CD(裁剪線)剪一刀，從這個(gè)三角形中裁下一部分，與剩下部分能拼成一