文獻(xiàn)綜述宋慧麗已修改

1、文 獻(xiàn) 綜 述2011屆行列式的一些計(jì)算方法學(xué)生姓名 宋慧麗 學(xué) 號 07101129 院 系 數(shù)理信息學(xué)院 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 指導(dǎo)教師 吳培炯 完成日期 2010年12月31日 行列式的一些計(jì)算方法的文獻(xiàn)綜述行列式的計(jì)算是學(xué)習(xí)高等代數(shù)的基石,它是求解線性方程組,求逆矩陣及求矩陣特征值的基礎(chǔ),但行列式的計(jì)算方法很多,綜合性較強(qiáng),在行列式計(jì)算中需要我們多觀察總結(jié),便于能熟練的計(jì)算行列式的值。目前我們常用的計(jì)算行列式的方法有三角化法,拆項(xiàng)法,降階法，升階法，待定系數(shù)法和數(shù)學(xué)歸納法。同時，我還總結(jié)了幾種尚未被大家廣為使用的方法。目前常用的幾種方法1. 三角化法即把行列式轉(zhuǎn)換成上三角行列式（主對

2、角線下方的元素全為零的行列式）或下三角行列式（主對角線上方的元素全為零的行列式）。2. 拆項(xiàng)法把某一行(或列)的元素寫成兩數(shù)和的形式,再利用行列式性質(zhì)將原行列式寫成二個行列式的和,使問題簡化以利于計(jì)算。3. 降階法(包括遞推降階法和依據(jù)定理展開)遞推降階法：遞推法可分為直接遞推和間接遞推。用直接遞推法計(jì)算行列式的關(guān)鍵是找出一個關(guān)于的代數(shù)式來表示，依次從逐級遞推便可以求出的值；間接遞推的做法是，變換原行列式以構(gòu)造出關(guān)于和的方程組，消去就可以解得。依據(jù)定理展開法：依據(jù)行列式展開定理，可以把所給行列式展開成若干個低一階的行列式的和。如果能把行列式變形，使其某一行（列）的元素只有一個不為零，那么這個行

3、列式就可以變形為一個低一階的行列式來計(jì)算。4. 升階法在計(jì)算行列式時. 我們往往先利用行列式的性質(zhì)變換給定的行列式，再利用展開定理使之降階，從而使問題得到簡化。有時與此相反，即在原行列式的基礎(chǔ)上添行加列使其升階構(gòu)造一個容易計(jì)算的新行列式，進(jìn)而求出原行列式的值。這種計(jì)算行列式的方法稱為升階法。升階時，新行(列)由哪些元素組成? 添加在哪個位置? 這要根據(jù)原行列式的特點(diǎn)作出適當(dāng)?shù)倪x擇。5. 待定系數(shù)法此方法是數(shù)學(xué)中的重要方法，它是對數(shù)學(xué)問題，根據(jù)求解問題的固有特征，可轉(zhuǎn)化為一個含有待定系數(shù)的恒等式，然后利用恒等式性質(zhì)求出未知系數(shù)，從而獲得問題解決的方法，用待定系數(shù)法求行列式的思想:若行列式中含有未

4、定元，則行列式一定是關(guān)于的一個多項(xiàng)式，且當(dāng)取某些值，如能夠使行列式的值為零，根據(jù)多項(xiàng)式整除理論，則行列式一定可以被這個線性因子整除，即行列式的表達(dá)式里應(yīng)該含有該因子，如果可以找出行列式的所有因子，求出待定常數(shù)即可得到行列式的值。6. 數(shù)學(xué)歸納法即利用不完全歸納法尋找出行列式的猜想值，再用數(shù)學(xué)歸納法給出猜想值的嚴(yán)格證明。這里采用第二型數(shù)學(xué)歸納法較多。幾種尚未被廣泛使用的方法1. 析因子法如果行列式中有一些元素是變數(shù)（或某個參變數(shù)）的多項(xiàng)式，那么可以將行列式當(dāng)作一個多項(xiàng)式，然后對行列式施行某些變換，求出的互素的一次因式，使與這些因式的乘積只相差一個常數(shù)因子，根據(jù)多項(xiàng)式相等的定義，比較與的某一項(xiàng)的系

5、數(shù)，求出的值，便可求得。2. 超范德蒙行列式法超范德蒙行列式法就是考慮階范德蒙行列式，利用行列式與某元素余子式的關(guān)系計(jì)算行列式的方法。該方法適用于具有范德蒙行列式的題型。3. 微積分法若行列式含有未知量，可將行列式看成關(guān)于這個未知量的多項(xiàng)式，若易于求出某個初始值，再對進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算，求出，最后根據(jù)微積分知識求出在初始值處的解析表達(dá)式。記，則。同上可得。從而，接下來解決的問題是已知，求的表達(dá)式。由知而，得依次類推可計(jì)算出4. 軟件法對于階數(shù)已知的行列式的計(jì)算或一些稍復(fù)雜的行列式的計(jì)算，我們還可借助于一些數(shù)學(xué)軟件來進(jìn)行求解。一是借助于EXCEL進(jìn)行行列式計(jì)算：如計(jì)算行列式的值，可按下列步驟進(jìn)行求解：

6、第一步：打開一個EXCEL文檔，選擇相鄰的兩行兩列的四個空單元格，在其中分別依次輸入行列式的四個元素-1，-2，2，3;第二步：選定存放結(jié)果的單元格，點(diǎn)擊“插入”菜單中的“函數(shù)”，打開粘貼函數(shù)的窗口，在窗口中選擇“數(shù)學(xué)與三角函數(shù)”中的MDETERM函數(shù)，單擊確定；第三步：在編輯欄內(nèi)函數(shù)的括號內(nèi)輸入要計(jì)算的單元格，按下Enter鍵即可得到所求行列式的值。二是使用數(shù)學(xué)軟件Matlab進(jìn)行行列式的計(jì)算，如可按下列步驟計(jì)算行列式的值。第一步：打開Matlab，在其命令窗口輸入以下命令：第二步：按下Enter鍵即可得到行列式的值。研究的方向?qū)τ谛辛惺降挠?jì)算，往往由于方法的不同，難易繁簡差別程度甚大，欲使

7、計(jì)算過程簡單明了，要善于選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，掌握一定的技巧。對這些技巧進(jìn)行探討歸納，不僅有課程建設(shè)的現(xiàn)實(shí)意義，而且有深刻的理論意義。因此，我將著力于研究各種方法的使用領(lǐng)域，各種類型的題目最適合于何種方法。就目前而言，大家用的最多的還是一些比較常規(guī)的方法，但是往往這些方法的計(jì)算量較大，因此就面臨了如何推廣大家尚未頻繁使用的技巧這個問題。參考文獻(xiàn)1趙樹嫄.線性代數(shù)M.中國人民大學(xué)出版社,2001年2同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.線性代數(shù)M.高等教育出版社,(第四版）19953王萼芳.高等代數(shù)教程習(xí)題集M.北京 清華大學(xué)出版社,20014李師正.高等代數(shù)解題方法與技巧M.北京 高等教育出版社,20015張賢科,許浦華 高等代數(shù)學(xué)M.北京 清華大學(xué)出版社,20006楊聞起.計(jì)算行列式的三種技巧M.通化師范學(xué)院學(xué)報,2003（3） 12-167李永樂.研究生入學(xué)考試線性代數(shù)M.北京 北京大學(xué)出版社,20008蘇N.B.普羅斯庫烈柯夫,周曉鐘.線性代數(shù)習(xí)題集M.北京 人民教育出版社,19819王開帥. 用待定系數(shù)法計(jì)算行列式J.河北理科教學(xué)研究,2001年