勾股定理的歷史

1、勾股定理的歷史勾股定理是“人類最偉大的十個科學發(fā)現(xiàn)之一”，是初等幾何中的一個基本定理。那么大家知道多少勾股定理的別稱呢？我可以告訴大家，有：畢達哥拉斯定理，商高定理，百牛定理，驢橋定理和埃及三角形等。所謂勾股定理，就是指“在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方?！边@個定理有十分悠久的歷史，幾乎所有文明古國（希臘、中國、埃及、巴比倫、印度等）對此定理都有所研究。勾股定理在西方被稱為畢達哥拉斯定理，相傳是古希臘數(shù)學家兼哲學家畢達哥拉斯（Pythagoras，公元前572?公元前497?）于公元前550年首先發(fā)現(xiàn)的。但畢達哥拉斯對勾股定理的證明方法已經(jīng)失傳。著名的希臘數(shù)學家歐幾里得（Euc

2、lid，公元前330公元前275）在巨著幾何原本（第卷，命題47）中給出一個很好的證明。（右圖為歐幾里得和他的證明圖）中國古代對這一數(shù)學定理的發(fā)現(xiàn)和應用，遠比畢達哥拉斯早得多。中國最早的一部數(shù)學著作周髀算經(jīng)的開頭，記載著一段周公向商高請教數(shù)學知識的對話：周公問：“我聽說您對數(shù)學非常精通，我想請教一下：天沒有梯子可以上去，地也沒法用尺子去一段一段丈量，那么怎樣才能得到關于天地得到數(shù)據(jù)呢？” 商高回答說：“ 數(shù)的產(chǎn)生來源于對方和圓這些形體的認識。其中有一條原理：當直角三角形矩'得到的一條直角邊勾'等于3，另一條直角邊股'等于4的時候，那么它的斜邊'弦'就必定

3、是5。這個原理是大禹在治水的時候就總結出來的呵?！?#160;如果說大禹治水因年代久遠而無法確切考證的話，那么周公與商高的對話則可以確定在公元前1100年左右的西周時期，比畢達哥拉斯要早了五百多年。其中所說的勾3股4弦5，正是勾股定理的一個應用特例。所以現(xiàn)在數(shù)學界把它稱為“勾股定理”是非常恰當?shù)?。在稍后一點的九章算術一書中（約在公元50至100年間）（右圖），勾股定理得到了更加規(guī)范的一般性表達。書中的勾股章說；“把勾和股分別自乘，然后把它們的積加起來，再進行開方，便可以得到弦”。 中國古代的數(shù)學家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應用勾股定理，而且很早就嘗試對勾股定理作理論的證明。最早對勾股定理進行證明的，是

4、三國時期吳國的數(shù)學家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結合得到方法，給出了勾股定理的詳細證明（右圖）。趙爽的這個證明可謂別具匠心，極富創(chuàng)新意識。他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數(shù)式之間的恒等關系，既具嚴密性，又具直觀性，為中國古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結合、互不可分的獨特風格樹立了一個典范。以后的數(shù)學家大多繼承了這一風格并且有發(fā)展，只是具體圖形的分合移補略有不同而已。例如稍后一點的劉徽在證明勾股定理時也是用以形證數(shù)的方法，中國古代數(shù)學家們對于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學史上具有獨特的貢獻和地位。尤其是其中體現(xiàn)出來的“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法，更具有科學創(chuàng)新的重大意義。勾

5、股定理的證明據(jù)不完全統(tǒng)計，勾股定理的證明方法已經(jīng)多達400多種了。下面我便向大家介紹幾種十分著名的證明方法。【證法1】（趙爽證明）以a、b 為直角邊（b>a）， 以c為斜邊作四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于. 把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀. RtDAH RtABE, HDA = EAB. HAD + HAD = 90º， EAB + HAD = 90º， ABCD是一個邊長為c的正方形，它的面積等于c2. EF = FG =GH =HE = ba ,HEF = 90º. EFGH是一個邊長為ba的正方形，它的面積等于. .【證法2】（課

6、本的證明） 做8個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形.從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a + b，所以面積相等. 即， 整理得 .【證法3】（1876年美國總統(tǒng)Garfield證明）以a、b 為直角邊，以c為斜邊作兩個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于. 把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上. RtEAD RtCBE, ADE = BEC. AED + ADE = 90º, AED + BEC = 90º. DEC = 18

7、0º90º= 90º. DEC是一個等腰直角三角形，它的面積等于.又 DAE = 90º, EBC = 90º, ADBC. ABCD是一個直角梯形，它的面積等于 .【趣聞】：在1876年一個周末的傍晚，在美國華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當時美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德。他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個小石凳上，有兩個小孩正在聚精會神地談論著什么，時而大聲爭論，時而小聲探討。由于好奇心驅使伽菲爾德循聲向兩個小孩走去，想搞清楚兩個小孩到底在干什么。只見一個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個直角三角形。于是伽菲爾德便

8、問他們在干什么？只見那個小男孩頭也不抬地說：“請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那么斜邊長為多少呢？”伽菲爾德答到：“是5呀?！毙∧泻⒂謫柕溃骸叭绻麅蓷l直角邊分別為5和7，那么這個直角三角形的斜邊長又是多少？”伽菲爾德不加思索地回答到：“那斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方?！毙∧泻⒂终f道：“先生，你能說出其中的道理嗎？”伽菲爾德一時語塞，無法解釋了，心理很不是滋味。于是伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題。他經(jīng)過反復的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡潔的證明方法。1876年4月1日，伽菲爾德在新英格蘭教育日志上發(fā)表了他對勾股定理的這一證法

9、。1881年，伽菲爾德就任美國第二十任總統(tǒng)后來，人們?yōu)榱思o念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)?！弊C法。【證法4】（歐幾里得證明）做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點在一條直線上，連結BF、CD. 過C作CLDE，交AB于點M，交DE于點L. AF = AC，AB = AD，F(xiàn)AB = GAD， FAB GAD， FAB的面積等于，GAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半， 矩形ADLM的面積 =.同理可證，矩形MLEB的面積 =. 正方形ADEB的面積 = 矩形ADLM的面積 + 矩形MLEB的面積 ，即 .【證法5】（利

10、用相似三角形性質證明）如圖，在RtABC中，設直角邊AC、BC的長度分別為a、b，斜邊AB的長為c，過點C作CDAB，垂足是D. 在ADC和ACB中， ADC = ACB = 90º，CAD = BAC， ADC ACB. ADAC = AC AB，即 .同理可證，CDB ACB，從而有 . ，即 【證法6】（鄒元治證明）以a、b 為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于. 把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上，B、F、C三點在一條直線上，C、G、D三點在一條直線上. RtHAE RtEBF, AHE = BEF. AEH +

11、 AHE = 90º, AEH + BEF = 90º. HEF = 180º90º= 90º. 四邊形EFGH是一個邊長為c的正方形. 它的面積等于c2. RtGDH RtHAE, HGD = EHA. HGD + GHD = 90º, EHA + GHD = 90º.又 GHE = 90º, DHA = 90º+ 90º= 180º. ABCD是一個邊長為a + b的正方形，它的面積等于. . .【證法7】（利用切割線定理證明）在RtABC中，設直角邊BC = a，AC = b，斜

12、邊AB = c. 如圖，以B為圓心a為半徑作圓，交AB及AB的延長線分別于D、E，則BD = BE = BC = a. 因為BCA = 90º，點C在B上，所以AC是B 的切線. 由切割線定理，得= ，即， .【證法8】（作直角三角形的內切圓證明）在RtABC中，設直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c. 作RtABC的內切圓O，切點分別為D、E、F（如圖），設O的半徑為r. AE = AF，BF = BD，CD = CE， = = r + r = 2r,即 ， . ，即 ， ， ，又 = = = = ， ， ， ， .勾股定理的應用一、填空題1在RtABC中，C=90&

13、#176;，若a=5，b=12，則c=_；若a=8，c=10，則b=_；若c=61，b=60，則a=_；若ab=34，c=10則SABC=_。2如圖，某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實際上岸地點C偏離欲到達點B200m，結果他在水中實際游了520m，求該河流的寬度為_。3如圖，OAB=OBC=OCD=90°， AB=BC=CD=1，OA=2，則OD2=_.4已知直角三角形兩直角邊的長分別為3cm,4cm,第三邊上的高為_.5等腰ABC中，AB=AC=17cm，BC=16cm，則BC邊上的高AD=_。6在平靜的湖面上，有一支紅蓮，高出水面1米，陣風吹來，紅蓮被吹到一邊，花朵齊及水面，

14、已知紅蓮移動的水平距離為2米，問這里水深是_m。ABCD7cm在ABC中,若AB2 + BC2 = AC2,則A + C °。.如圖，直角三角形的兩直角邊長分別是6cm和8cm，則帶陰影的正方形面積是 。如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm,則正方形A，B，C，D的面積之和為_cm2。DBCA在一棵樹的10米高處有兩只猴子，一只猴子爬下樹走到離樹20米處的池塘的A處。另一只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離以直線計算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，則這棵樹高_米。二選擇題已知一個Rt的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是（） A、25

15、B、14C、7D、7或25在直角三角形中，斜邊與較小直角邊的和、差分別為8、2，則較長直角邊長為（ ）A.5 B .4 C.3 D.2 如圖，在水塔O的東北方向32m處有一抽水站A,在水塔的東南方向24m處有一建筑工地B，在AB間建一條直水管，則水管的長為（ ） A45cm B40cm C50cm D56cm小豐媽媽買了一部29英寸(74cm)電視機,下列對29英寸的說法中正確的是ABEFDCA. 小豐認為指的是屏幕的長度; B. 小豐的媽媽認為指的是屏幕的寬度;C. 小豐的爸爸認為指的是屏幕的周長; D. 售貨員認為指的是屏幕對角線的長度已知，如圖長方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm

16、，將此長方形折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，則ABE的面積為（） A、6cm2B、8cm2C、10cm2D、12cm2北南A東已知，如圖，一輪船以16海里/時的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12海里/時的速度同時從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口2小時后，則兩船相距（） A、25海里B、30海里C、35海里D、40海里如圖，正方形網(wǎng)格中的ABC，若小方格邊長為1，則ABC是（ ）（A）直角三角形 (B)銳角三角形 (C)鈍角三角形 (D)以上答案都不對男孩戴維是城里的飛盤冠軍，戈里是城里最可惡的踩高蹺的人，兩人約定一比高低戴維直立肩高1.5米，他投飛盤很有力，但需在13米內才

17、有威力；戈里踩高蹺時鼻子離地6.5米，他的鼻子是他惟一的弱點戴維需離戈里( )遠時才能剛好擊中對方的鼻子而獲勝A. 13米 B12米 C. 8米 D5米三解答題在某一平地上，有一棵樹高8米的大樹，一棵樹高3米的小樹，兩樹之間相距12米。今一只小鳥在其中一棵樹的樹梢上，要飛到另一棵樹的樹梢上，問它飛行的最短距離是多少？（畫出草圖然后解答）如圖，A城氣象臺測得臺風中心在A城正西方向320km的B處，以每小時40km的速度向北偏東60°的BF方向移動，距離臺風中心200km的范圍內是受臺風影響的區(qū)域。（1） A城是否受到這次臺風的影響？為什么？（2） 若A城受到這次臺風影響，那么A城遭受這次臺風影響有多長時間？ABCD已知，如圖，四邊形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且A=90°，求四邊形ABCD的面積。ADEBC如圖，鐵路上A，B兩