北語(yǔ)12春季微積分下導(dǎo)學(xué)資料一

1、第五章 不定積分學(xué)習(xí)基本要求前面幾章我們已經(jīng)研究過(guò)由已知函數(shù)求其導(dǎo)數(shù)或微分等問(wèn)題。但是，在科學(xué)技術(shù)和經(jīng)濟(jì)管理的許多實(shí)際問(wèn)題中，常常需要研究相反的問(wèn)題，就是由已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)去求原來(lái)的函數(shù)，也就是要研究微分運(yùn)算的逆運(yùn)算問(wèn)題，本章將要研究這個(gè)問(wèn)題，并由此引出不定積分的概念，進(jìn)而介紹不定積分的基本性質(zhì)和基本積分方法。本章基本內(nèi)容和基本要求：1正確理解不定積分的概念與性質(zhì)；2熟練運(yùn)用基本積分公式和運(yùn)算法則，特別是不定積分的換元法和分部積分法來(lái)計(jì)算函數(shù)的不定積分。（一）不定積分的概念與性質(zhì)1、 原函數(shù)與不定積分定義1：若，則稱為的原函數(shù)。 連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)； 若為的原函數(shù)，則也為的原函數(shù)；事實(shí)上， 的

2、任意兩個(gè)原函數(shù)僅相差一個(gè)常數(shù)。事實(shí)上，由，得故表示了的全體原函數(shù)，其中為的一個(gè)原函數(shù)。定義2：的全體原函數(shù)稱為的不定積分，記為。其中：積分號(hào)被積函數(shù)積分變量顯然， 例1、 求下列函數(shù)的不定積分2、 基本積分表1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、 3、 不定積分的性質(zhì)例2、 求下列不定積分（二）不定積分的換元法一、 第一類換元法（湊微分法）1、例1、求不定積分2、例2、求不定積分3、常用湊微分法 例3、 求不定積分例4、求不定積分二、 第二類換元法1、三角代換例1、解：令，則原式=例2、解：令原式=例3、解：令，則原式= 例4、解：令，則 原式=例5、解：令，則原式= 例6、解：令，則原式=小結(jié)：中含有可考慮用代換2、無(wú)理代換例7、解：令原式=例8、解：令原式=例9、解：令原式=例10、解：令原式4、 倒代換例11、解：令原式 （三）分部積分法分部積分公式： （前后相乘）（前后交換）例1、例2、例3、或解：令原式例4、或解：令原式例5、故例6、例7、§（四）兩種典型積分一、有理函數(shù)的積分有理函數(shù)可用待定系數(shù)法化為部分分式，然后積分。例1、將化為部分分式，并計(jì)算解：故或解： 例2、例3、例4、二、三角函數(shù)有理式的積分 對(duì)三角函數(shù)有理式積分，令， ，故