第1章應(yīng)用時間序列分析—差分方程(東北財經(jīng)大學(xué))

1、應(yīng)用時間序列分析-現(xiàn)代時間序列分析的最新方法王雪標東北財經(jīng)大學(xué) 數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟學(xué)院第一章 差分方程 統(tǒng)計程序主要是用來處理從獨立試驗或調(diào)查而得到的數(shù)據(jù)：。與順序無關(guān)。一個時間序列是按照時間參數(shù)而排列的數(shù)值序列。如，每月失業(yè)人數(shù)，每年GDP，等等。 對一些序列來說，在每時刻都可做觀測，并得到一列數(shù)據(jù)。這時稱為連續(xù)時間序列，記。然而，在經(jīng)濟學(xué)中，大多數(shù)數(shù)據(jù)都是經(jīng)過等時間長度做觀測而得到的。如，每小時，每天，每周，每月，每季度，每年。這樣形成離散時間序列，記。一個觀測到的序列可看作是一個隨機過程的實現(xiàn)。在統(tǒng)計學(xué)中我們主要分析來自總體的樣本，而在時間序列分析中我們主要分析來自隨機過程的觀測序列（實現(xiàn)）

2、。時間序列分析的基本目的是對隨機過程的基本特征、性質(zhì)做推斷。因而，時間序列經(jīng)濟學(xué)家的主要任務(wù)是利用經(jīng)濟數(shù)據(jù)，建立相對簡單的模型，對經(jīng)濟現(xiàn)象進行解釋、假設(shè)檢驗和預(yù)測。在分析中的第一步通常是形成一個統(tǒng)計量。最終目的是利用數(shù)據(jù)構(gòu)造模型，這個模型與隨機過程的生成機制有類似的性質(zhì)。因此他們建立了一系列分析方法，將序列分解為趨勢性部分、季節(jié)性部分、周期性部分和不規(guī)則性部分。 趨勢性方程： 季節(jié)性方程： 無規(guī)則性方程：為期隨機擾動項。這三個方程是典型的差分方程。一般來說，差分方程是指一個變量的值表示成這個變量滯后值、時間和其它變量的函數(shù)。趨勢和季節(jié)項是時間的函數(shù)，不規(guī)則項是它本身滯后項和隨機變量的函數(shù)。時間

3、序列分析主要處理、估計含有隨機元素的差分方程。估計單個序列或向量（包含許多相關(guān)的序列）的一些性質(zhì)。含有隨機元素的差分方程通常假設(shè)有下面形式：處值=處值的期望+誤差項誤差項通常取為白噪聲序列。如果將處值的期望取為期值的固定比例，這時就是一階自回歸。如果將處值的期望取為過去值的加權(quán)平均，這時就是高階自回歸。 線性差分方程（p階）這個差分方程的一般解是 這里是齊次方程的解，是特解。這里的滯后算子表示為：，對于一階齊次方程則，解為， 是依賴于初值的常量。 對于二階齊次方程則，可能的解的形式為 代回方程得 ，如果是方程的根，則確實是方程的解?？衫贸踔档臈l件，確定。 對于一般的p階方程有解 這里是方程的

4、根（假設(shè)沒有重根）。如果是復(fù)根，則有共軛對應(yīng)，形為，對于充分大的，解的形式將由所控制，。 如果，解是平穩(wěn)的。如果，解是爆炸性的。 解是平穩(wěn)的充分必要條件是：的根在單位園之外，把它稱為平穩(wěn)性條件。本課程將介紹一維和多維時間序列的預(yù)測方法；介紹如何估計時間序列的不規(guī)則部分；當(dāng)數(shù)據(jù)顯示波動和相對平滑時，方差如何估計；趨勢的估計（趨勢是確定性的還是隨機性的）；隨機向量差分方程的特征性質(zhì)；多維模型中趨勢的估計。 雖然時間序列分析的主要內(nèi)容是預(yù)測，經(jīng)濟學(xué)的動態(tài)變化使時間序列分析又有新的應(yīng)用。許多經(jīng)濟理論有隨機差分方程表示。而且，許多重要經(jīng)濟變量的時間路徑都具有可檢驗性。 看下面三個例子：1 隨機游動假說：

5、隨機游動模型解釋了股票每天價格的變化應(yīng)該有零均值。如果已知在t天買一份股票，在下一天賣掉可以得到預(yù)期的利潤的話，那么大量投機就會驅(qū)使現(xiàn)價上漲。同樣，如果一份股票預(yù)期要貶值，沒人會想持有這個股票。這個模型認為：股票價格應(yīng)當(dāng)滿足隨機差分方程 或 這里 在t天一份股票的價格 有零均值的隨機擾動項。 現(xiàn)在考慮更一般的隨機差分方程 檢驗隨機游動假設(shè)就是檢驗限制條件，拒絕這個限制等價于拒絕隨機游動假說。2 導(dǎo)出（reduced）型方程和結(jié)構(gòu)方程：將一個差分方程組分解成幾個單方程模型是有用的。為了說明這個重要問題，考慮Samuelson (1939)的經(jīng)典模型： （1.1） (1.2) (1.3)這里和表示

6、在t期實際GDP、消費和投資。在這個Keynesian模型中，和是內(nèi)生變量。前一期GDP 和前一期消費被稱為前定的或滯后的內(nèi)生變量。稱為消費和投資的零均值擾動項，是要估計的參數(shù)。第一個方程說明：總產(chǎn)出（GDP）等于消費與投資之和。第二個方程說明：消費等于前一期的GDP的比例加上隨機擾動項。第三個方程是加速原理：投資和消費變化成比例，消費的增長促使了新的投資。誤差項代表了這個方程不能解釋的消費和投資部分。方程（1.1）是結(jié)構(gòu)方程（內(nèi)生變量與其它內(nèi)生變量當(dāng)期之間的關(guān)系），內(nèi)生變量依賴于其它內(nèi)生變量、的現(xiàn)期實現(xiàn)。導(dǎo)出型方程是將一個內(nèi)生變量表示成它的滯后值、其它內(nèi)生變量的滯后值、外生變量的現(xiàn)值和滯后值

7、及擾動項的方程。按此說法，消費函數(shù)（1.2）是導(dǎo)出型：現(xiàn)期消費只依賴于滯后收入和隨機擾動項的現(xiàn)期值。投資方程（1.3）不是導(dǎo)出型，因為它依賴于現(xiàn)期消費。 為了得到投資的導(dǎo)出型方程，將（1.2）代人投資方程中，得 注意，上方投資的導(dǎo)出型方程不是唯一的?？梢詫ⅲ?.2）滯后一期獲得，利用這個表達式，導(dǎo)出型投資方程可寫成 （1.4）同樣，對于GDP的導(dǎo)出型方程可通過將（1.2），（1.4）代人（1.1）中，得 （1.5）方程（1.5）是一維導(dǎo)出型方程；可表示成本身的滯后項和擾動項的函數(shù)。一維模型對于預(yù)測是非常有用的，因為，你可以用現(xiàn)值和過去值進行預(yù)測。利用一維時間序列的技術(shù)可以估計（1.5）。一旦你

8、獲得了和的估計，利用到的觀測值，可以預(yù)測序列的所有將來值（第5章考慮多維模型（所有變量被認為是聯(lián)合內(nèi)生的），也討論由導(dǎo)出模型推出結(jié)構(gòu)型模型的限制條件。3、誤差修正：遠期和現(xiàn)金交易價格某種商品和金融工具在現(xiàn)期市場中或?qū)淼哪骋粫r刻能被買和賣，例如，假設(shè)在現(xiàn)期市場某種外匯的價格是美元，遠期價格是美元。到t+1期，投機者得到外匯，并付美元。因為現(xiàn)期匯率可以的價格賣，投機者能掙的利潤是 無偏的遠期利率(UFR)假設(shè)認為這種投機行為的預(yù)期利潤為零。遠期、現(xiàn)期匯率有下面關(guān)系： (1.6)這里有零均值。在（1.6）中，t期的遠期匯率是t+1期現(xiàn)期匯率的無偏估計。因此，假如你收集到了這兩種數(shù)據(jù)，并估計了回歸方

9、程 如果你能斷定，回歸殘差有零均值，則UFR假設(shè)成立。 當(dāng)=0時，遠期和現(xiàn)期市場被說成是長期均衡。只要偏離時，在下一期將會有一些必要的調(diào)整，以恢復(fù)均衡?？紤]調(diào)整過程： （1.7） （1.8）這里，均值都為零。 方程（1.7），（1.8）說明了聯(lián)立調(diào)整機制，這個動態(tài)模型被稱為誤差修正模型。因為，變量與前一期偏離長期均衡的偏差有關(guān)。如果現(xiàn)期匯率等于遠期匯率，（1.7），（1.8）說明：現(xiàn)期匯率與遠期匯率預(yù)期不變。如果現(xiàn)期匯率與遠期匯率之間有正偏差，則（1.7），（1.8）說明：現(xiàn)期匯率將下降，遠期匯率將上升。4 蛛網(wǎng)模型 為了說明差分方程，我們舉一個傳統(tǒng)的蛛網(wǎng)模型的一種隨機形式來說明農(nóng)產(chǎn)品價格的波

10、動性。如小麥價格由下面供需決定：這里t期小麥的需求t期小麥的供給t期小麥的市場價格農(nóng)民對t期小麥的預(yù)期價格零均值的隨機供給沖擊。參數(shù)保證均衡價格為正）假設(shè)消費者可按市場價任意購買小麥。在種植期，農(nóng)民不知道小麥在收割時的價格，他們的供給依賴于預(yù)期價格，與實際小麥市場不同，這里不允許有囤積。蛛網(wǎng)模型的關(guān)鍵是農(nóng)民使用上期價格作為市場價格的預(yù)期 點E代表長期均衡價格和消費量。在這個隨機模型中的均衡概念不同于傳統(tǒng)的蛛網(wǎng)模型。如果這個系統(tǒng)是穩(wěn)定的，價格會趨于E點。但隨機均衡是指供給沖擊使系統(tǒng)偏離E點。但解出長期均衡價格是有用的。如果令都為0，供給=需求，長期均衡價格為 同樣，均衡量（供給，需求）為 為了分

11、析這個系統(tǒng)的動態(tài)，我們假設(shè)農(nóng)民在t期生產(chǎn)均衡數(shù)量s。但是，有一個負的供給沖擊，使實際生產(chǎn)量為，點1，為了簡單，假設(shè)這供給沖擊的后續(xù)值都為零。（。在t+1期時，。他們生產(chǎn)，點2。但，當(dāng)價格降到時，消費者愿意買，點3。重復(fù)這個過程，直到達點E。 價格數(shù)量sd 但這個均衡不一定對所有供給、需求曲線都能達到。為了求出穩(wěn)定條件，我們有 或 這是一階線性差分方程。為了得到一般解：1、 解齊次方程 A是任意常數(shù)。2、 如果，則由迭代，有 如果，上式不收斂。3、 一般解為: 4、 如果我們知道在某個初始期的價格，則我們可確定A。因為一般解對每期都成立，所以 因而可求出A，可得 （）我們可用圖形解釋上式。為了考

12、慮系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可以暫時假設(shè)都為零，然后再考慮供給沖擊的效應(yīng)。如果系統(tǒng)從長期均衡開始，初始條件是，則考察上式，有。因此，過程從E點開始，則保持在均衡點。如果過程從低于長期均衡價格開始，則（）說明 在第2期 因此，。類似地，將振蕩在長期均衡價格上下。如果收斂到零。如果將發(fā)散。這個穩(wěn)定條件的經(jīng)濟解釋是：供給曲線的斜率（，需求曲線斜率的絕對值。如果供給曲線比需求曲線更陡峭，即時， 系統(tǒng)是穩(wěn)定的。現(xiàn)在考慮供給沖擊效應(yīng)。供給沖擊對小麥價格的當(dāng)期影響效應(yīng)是的偏導(dǎo)數(shù)： （）這個方程被稱為影響乘數(shù)，它反映了在t期的變化對的影響。的負值意味著價格高于均衡價格，供給每下降一個單位，價格上升1/單位。供給沖擊效應(yīng)可持續(xù)到將來。由（）可知 類似地，這些乘數(shù)的時間路徑被稱為脈沖反應(yīng)函數(shù)