第五章 定積分

1、5考研專題解析第五章 定積分常考題型及其解題方法與技巧(1)定積分的概念及性質(zhì)(2)初等函數(shù)的定積分的計算(3)分段函數(shù)的定積分的計算(4)變限積分的計算及應(yīng)用(5)反常積分的計算專題一 定積分的概念及性質(zhì)思路提示 定積分是一種和式的極限，利用定積分求某些和式的極限是定積分概念的應(yīng)用；定積分的幾何意義是曲邊梯形的面積，熟練定積分的性質(zhì)及幾何意義可以簡化定積分的計算.1.（94年數(shù)二）設(shè)， ,則_A. B. C. D. 解析 由對稱區(qū)間上積分的性質(zhì)得，.故選D.2.（90年數(shù)二）比較下列兩個積分的大小，.解析 由于積分函數(shù)連續(xù)，在區(qū)間上，又因為積分下限小于積分上限，由積分的不等式性質(zhì)得.3.（0

2、3年數(shù)二）設(shè)，則_A. B. C. D. 解析 因為當(dāng)時，（有圖像可知），所以不等式變形，由積分的不等式性質(zhì).故選B.專題二、初等函數(shù)的定積分的計算思路提示 定積分的計算要求熟練運用基本的積分方法：分解法、湊微分法、換元法、分部積分法，這些方法類同于不定積分，不同的是作變量代換時不必變量還原了.同時要用定積分的幾何意義及對稱性簡化運算.1.（00年數(shù)一）解析 由積分的幾何意義可知，積分值是圓面積的，.2.（01年數(shù)二）解析 利用積分函數(shù)的奇偶性及積分區(qū)間的對稱性， .3.（96年數(shù)二）計算解析 換元法，令，則 .4.（99年數(shù)二）函數(shù)在區(qū)間上的平均值為_解析 由積分中值定理可知，在區(qū)間的平均值

3、為，所以平均值為 .5.（07年數(shù)一）解析 分部積分， .6.（08年數(shù)二）計算解析 先湊微分，再三角換元 .專題三、分段函數(shù)的定積分的計算思路提示 分段函數(shù)的積分運算實質(zhì)上求不同區(qū)間的積分，然后利用區(qū)間的可加性求得結(jié)果.1.（92年數(shù)二）設(shè)，求.解析 變量替換，令，則 .2.（92年數(shù)二）求解析 分段函數(shù)的積分 .專題四、變限積分的計算及應(yīng)用思路提示 連續(xù)函數(shù)的變限積分是被積函數(shù)的一個原函數(shù)，可以對這個原函數(shù)進(jìn)行各種計算及各種性質(zhì)的研究；基本的運算就是可導(dǎo)性.（一）變限積分的導(dǎo)數(shù)1.（98年數(shù)二）設(shè)連續(xù)，則解析 通過積分變量替換，把積分函數(shù)中的參變量給“拿”出來，所以.2.（08年數(shù)一）設(shè)函

4、數(shù)，則的零點個數(shù)為_A. B. C. D. 解析 變限積分求導(dǎo)得，因為，所以得，只有一個零點.故選B.（二）、求分段函數(shù)的變限積分1.（91年數(shù)二）設(shè)函數(shù)，記，則.解析 當(dāng)時，當(dāng)時，所以.2.（02年數(shù)二）設(shè)，求函數(shù)的表達(dá)式.解析 當(dāng)時，當(dāng)時， .所以.（三）、與變限積分有關(guān)的極限與無窮小1.（99年數(shù)二）設(shè)則當(dāng)時，是的_A.高階無窮小 B.低階無窮小 C.同階但非等價無窮小 D.等價無窮小解析 .故選C.2.（05年數(shù)二）設(shè)函數(shù)連續(xù)，且，求極限.解析 此極限屬于型，但是不能應(yīng)用洛必達(dá)法則求導(dǎo)，因為不一定可導(dǎo).首先把被積函數(shù)的參變量“拿”出來，令，則，所以由積分中值定理得，當(dāng)時，所以 .（四）

5、、討論變限積分函數(shù)的性質(zhì)1.（05年數(shù)一）設(shè)是連續(xù)函數(shù)的一個原函數(shù)，“”表示的充分必要條件是，則有_A.是偶函數(shù)是奇函數(shù) B.是奇函數(shù)是偶函數(shù)C.是周期函數(shù)是周期函數(shù)D.是單調(diào)函數(shù)是單調(diào)函數(shù).解析 由題意，因為是的一個原函數(shù)，所以有，當(dāng)是奇函數(shù)時，則為偶函數(shù)，即的全體原函數(shù)為偶函數(shù).當(dāng)是偶函數(shù)時，為奇函數(shù).故選A.專題五、反常積分的計算思路提示 反常積分是變限積分的極限，求反常積分就是求定積分加上極限運算，反常積分的運算像普通積分一樣，例如：假設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，則，其它形式的反常積分類同；同時定積分的積分方法對反常積分都適用. 注意：當(dāng)把反常積分分項求解時，分項后的每一項都發(fā)散，不能說明原積分發(fā)散，這時不應(yīng)分項求解，而應(yīng)求解這個原函數(shù)的極限.1.（02年數(shù)一）求解析 湊微分法.2.（97年數(shù)二）求解析 考察積分公式，.3.（00年