函數(shù)與不等式專題

1、第一章函數(shù)與不等式專題講座一、知識(shí)梳理函數(shù)中的根底知識(shí)1、函數(shù)的概念、定義域、值域、解析式、圖像；2、函數(shù)的性質(zhì)：奇偶性、單調(diào)性、周期性、最值；3、反函數(shù)的概念；4、幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)；5、三角函數(shù)和反三角函數(shù)；不等式中的根底知識(shí)1、不等式的根本性質(zhì)；2、根本不等式。二、根本解題方法梳理1、“根本性質(zhì)法：即利用“常用函數(shù)的根本性質(zhì)解決有關(guān)函數(shù)問題的方法。 適用情境：與“常用函數(shù)直接或間接相關(guān)的問題這里所說“常用函數(shù)是指：(1) 常數(shù)函數(shù)y=c；(2) 一次函數(shù) y=ax+b(a 0)；(3) 二次函數(shù) y=ax2+bx+c(a 0)；(4) y ax b ；x(5) 幕函數(shù)y=xa；(

2、6) 指數(shù)函數(shù) y=ax(a> 0,a 工 1)；(7) 對(duì)數(shù)函數(shù) y=logax(a>0,a 工 1)；(8) 三角函數(shù) y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx ；(9) 反三角函數(shù) y=arcsinx, y=arccosx, y=arctanx, y=arccotx；*注：必須十分熟悉“常用函數(shù)在給定區(qū)間上的圖像和性質(zhì) .常見題型與解法(1) 函數(shù)是“常用函數(shù)，那么直接可以利用“常用函數(shù)的性質(zhì)來解；女口：假設(shè)函數(shù)y (a2 4a 5)x24(a 1)x 3的函數(shù)值恒為正，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.可直接利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決這個(gè)問題(2) 函數(shù)不是“常用函數(shù)，

3、通過換元法將變量代換，使其轉(zhuǎn)換為“常用函 數(shù)的問題，再用“常用函數(shù)的性質(zhì)來解.如：假設(shè)函數(shù)y (2x a)2 (2 x a)2的最小值為8,求實(shí)數(shù)a的值.只要令t 2x 2 x，問題即可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的性 質(zhì)問題了 (3) 函數(shù)不是“常用函數(shù)，通過公式變形轉(zhuǎn)換為“常用函數(shù)，再用“常 用函數(shù)的性質(zhì)來解.如：求函數(shù)y 2sin xcosx 2sin2 x 1的最小正周期 利用三角比公式可將問題轉(zhuǎn)化為某個(gè)三角函數(shù)的最小正周期問題了.2、定義法：即利用函數(shù)、反函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性的定義來解 決有關(guān)問題的方法適用情境：當(dāng)遇到一些不能化為“常用函數(shù)的問題時(shí)，特別是討論一些較復(fù)雜 的函數(shù)或抽象

4、函數(shù)性質(zhì)的問題，我們常常直接運(yùn)用函數(shù)和反函數(shù)的定義、函數(shù)的 有關(guān)性質(zhì)單調(diào)性、奇偶性、周期性的定義來解 .常見題型與解法1要證明某一函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性，或證明某一函數(shù)是另一函數(shù) 的反函數(shù)等；2某一函數(shù)的單調(diào)性、或奇偶性、或周期性等，要得出一些新的結(jié)論或 解決一些新的問題.3、圖像法：即利用函數(shù)的圖像來解決有關(guān)問題的方法適用情境：當(dāng)有些函數(shù)從解析式角度進(jìn)行分析有困難時(shí)，可以畫出函數(shù)圖像，通過觀察圖像尋求解決問題的思路或直觀的解決問題，其本質(zhì)是數(shù)形結(jié)合.常見題型與解法1通過函數(shù)的圖像討論函數(shù)的定義域、值域、最值；2通過函數(shù)的圖像的對(duì)稱性討論函數(shù)的奇偶性；3通過函數(shù)的圖像從左至右的上升或下降

5、討論函數(shù)的單調(diào)性；4通過函數(shù)的圖像關(guān)于y x對(duì)稱的圖形討論函數(shù)與它的反函數(shù)；5通過函數(shù)y fx的圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，討論方程 fx 0的解；6通過y f x和y gx的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，討論方程f x gx的解.解題的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，而實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化是否順利取決于學(xué)生對(duì)根底知識(shí)與根本方法 的掌握程度因此，學(xué)生對(duì)根底知識(shí)與根本方法的掌握程度是提高學(xué)生分析問題 與解決問題能力的前提或條件思路分析此題要利用函數(shù)的奇偶性先畫出函數(shù)在區(qū)間-5,5上的圖像，然后根據(jù)圖像找到使得函數(shù)值小于0的自變量x的取值范圍.試題解析解：由于函數(shù)為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可知函數(shù)在-5, 0上的圖像，由圖像可得不等式的解是

6、 x (-2,0)U (2,5.ifX_3試題2 2004( 19)記函數(shù)f x 2 的定義域?yàn)锳 , g x lg x a 1 2a x , x 1(a <1)的定義域?yàn)锽 .(1)求 A ；假設(shè)B A，求實(shí)數(shù)a的求值范圍.思路分析根據(jù)幕函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域可解出集合 A與B ,再利用條件B A , 可找出a的不等關(guān)系，通過解不等式得出結(jié)果.試題解析(1)2 x 30，得x 10,所以x1或x1，x 1x 1即A,11,(2)由xa 1 2ax 0，得，x a 1x2a0，因?yàn)閍 1所以a12a，得 B2a, a1 ,因?yàn)锽A，所以2a1或a1 1，即a-或a2，而a 1，2故當(dāng)BA

7、時(shí)，a,2丄,12試題3 2004 (18)某單位用木料制作如下圖的框架，框架下 部是邊長分別為x，y (單位：m)的矩形，上部是等腰直角三 角形.要求框架圍成的總面積為8m2，問x、y分別為多少(精 確到0.001m)時(shí)用料最?。克悸贩治鼋?shù)學(xué)模型的關(guān)鍵是將框架用料的長度用 x與y 表示出來，再利用條件“框架圍成的總面積為 8m2可將問題 轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.士0 x 42 .于是，框架用料試題解析由題意得x y丄x 8,得y2 2長度為72:16 xl 2x 2y 2 x 22 x2x 232 x2 16 322x24、64 2,當(dāng)32 x 16,即x 8 4、2時(shí)等號(hào)成立.2x此時(shí)

8、 x 2.343, y 2.2 2.828 .故當(dāng) x 為 2.343m,y 為 2.828m 時(shí)，用料最省.試題4 2006 ( 12)三個(gè)同學(xué)對(duì)問題“關(guān)于x的不等式x2 + 25+ |x3 -5x2|> ax在 1 , 12上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍提出各自的解題思路.甲說：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值乙說：“把不等式變形為左邊含變量x的函數(shù)，右邊僅含常數(shù)，求函數(shù)的最值. 丙說：“把不等式兩邊看成關(guān)于x的函數(shù)，作出函數(shù)圖像.參考上述解題思路，你認(rèn)為他們所討論的問題的正確結(jié)論，即a的取值范圍是.思路分析三位同學(xué)雖然都對(duì)此問題作進(jìn)行了轉(zhuǎn)化，但是甲同學(xué)的轉(zhuǎn)化是不等價(jià) 的，丙

9、同學(xué)的轉(zhuǎn)化難以實(shí)施，所以只有選擇乙同學(xué)的轉(zhuǎn)化方法可化繁為 簡準(zhǔn)確做出判斷，然后根據(jù)分式函數(shù)和絕對(duì)值、二次函數(shù)知識(shí)求解.試題解析由 x2 + 25+ |x3 5 x21> ax,1 x 12 ax25 |x2 5x |，x25:25而x2iX 10,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x 5 1,12時(shí)成立；x V x且|x2 5x| 0,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x 5 1,12時(shí)成立，可知兩個(gè)函數(shù)在 x=5時(shí)同時(shí)取到最小值；所以，a x 25 |x2 5x|min 10，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x 5 1,12時(shí)成立；x故 a (,10.試題5 2004理(20)二次函數(shù)yfjx)的圖像以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且過點(diǎn)(1,1)，反比例函數(shù)y f2

10、(x)的圖像與直線y x的兩個(gè)交點(diǎn)間距離為8，f (x) f1(x) f2(x).(1)求函數(shù)f (x)的表達(dá)式； 證明:當(dāng)a 3時(shí)，關(guān)于x的方程f (x) f (a)有三個(gè)實(shí)數(shù)解.思路分析根據(jù)題意先要確定二次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，然后可利用兩 個(gè)不同形式函數(shù)的圖像的相交情況對(duì)實(shí)數(shù)解進(jìn)行分析討論，也可以用解方程得辦 法把高次方程轉(zhuǎn)化為我們熟悉的二次方程對(duì)實(shí)數(shù)解進(jìn)行個(gè)數(shù)的討論.試題解析(1 )由二次函數(shù)y h(x)的圖像以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，2 2設(shè) f,x) ax，由 f1 (1) 1，得 a 1， f'x) x .kx的交點(diǎn)分別為設(shè)f2(x)(k>0)，它的圖像與直線yx由AB=8

11、,得 k=8，/ f2(x)8一.故 f (x)x(2)【證法一】f(x)f (a)，得28 28x-axa即82 x28axaA( . k , . k )、B( . k , . k ),8228在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出f2(x)和f3(x) x axa，且位于第一、三象限的雙曲線,的大致圖像，其中f2(X)的圖像是以坐標(biāo)軸為漸近線2 8f3(x)與的圖像是以(0, a2-)為頂點(diǎn)，開口向下的拋物線.a因此，f2(X)與f3(X)的圖像在第三象限有一個(gè)交點(diǎn)，即f (x) f (a)有一個(gè)負(fù)數(shù)解.又 f2(2) 4, f3(2)4 a2 -a- 當(dāng) a>3 時(shí)，f3(2) f2 (2) a28

12、0,a當(dāng)a >3時(shí)，在第一象限f3(x)的圖像上存在一點(diǎn)(2, f (2)在f2(x)圖像的上方.- f2(x)與f3(x)的圖像在第一象限有兩個(gè)交點(diǎn)，即f(x) f(a)有兩個(gè)正數(shù)解.【證法二】由f (x) f (a)，得 x2828axa即(xa)(xa8)0，得方程的一個(gè)解& a.8ax方程xa0可化為ax22小a x 80，ax由a3，a432 a 0，得X2-2 a.a432a，X3a2. a432a因此，方程f (a)有三個(gè)實(shí)數(shù)解.f(x)2a2a右Xix 3，即a. a432a2a，那么 3a2a432a, a44a ,得a 0或a V4，這與a 3矛盾，二XiX3

13、.故原方程f(X)f(a)有三個(gè)實(shí)數(shù)解.| lg | x 1| x 1試題6 2005 (16)設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)，那么關(guān)于x的方程0, x 1f 2(x) bf (x) c 0有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解的充要條件是()A. b 0 且 c 0 b . b 0 且 c 0 c . b 0 且 c 0 d . b 0 且 c 0.思路分析此題入手可分兩步：首先從方程的角度進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)，再進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，畫出函數(shù)y=f(x)的圖像；然后尋找函數(shù)y f (x)與方程f2 (x) bf (x) c 0的解即函數(shù)f (x) a兩圖像之間的交點(diǎn)個(gè)數(shù).試題解析:設(shè)f (x) a,(1) a 0,不

14、同實(shí)數(shù)解有4個(gè)；(2) a 0,不同實(shí)數(shù)解有3個(gè)；(3) a 0,沒有實(shí)數(shù)解.f 2(x) bf (x) c 0有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解的充要條件是方程x2 bx c 0有兩個(gè)根，一個(gè)等于0, 一個(gè)大于o此時(shí)據(jù)韋達(dá)定理可知 b 0且c 0 .選C 試題7 2006(22)函數(shù)y = x + a有如下性質(zhì)：如果常數(shù) a > 0,那么該函數(shù)在x(0， a 上是減函數(shù)，在a，+ )上是增函數(shù).2b(1) 如果函數(shù)y = x +( x >0)的值域?yàn)?，+ )，求b的值；x(2) 研究函數(shù)y = x2 +弓(常數(shù)c > 0)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并說明理由；x(3) 對(duì)函數(shù)y = x + -和

15、y = x2 +尋(常數(shù)a > 0)作出推廣，使它們都是你所推xx廣的函數(shù)的特例.研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性(只須寫出結(jié)論，不必證明)，并求函數(shù)F(x)111=(x2)n + (2 x)n ( n是正整數(shù))在區(qū)間，2上的最大值和最小值(可利用你的xX2研究結(jié)論).)設(shè)0捲2X2,y2 y1 X2c22X1X2c2X1(X；X12)(1Jp).X1 X2當(dāng) 4 cx1x2 時(shí)，y y1,函數(shù)y2 Xc7在切C, +0上是增函數(shù)；當(dāng)o X1X24 c 時(shí)，yy1，函數(shù)2y xc4 2在(0, c 上是減函數(shù).X又yx2弓是偶函數(shù)，于是X，該函數(shù)在(004 c 上是減函數(shù)，在4 c , 0上是增

16、函數(shù)；(3)可以把函數(shù)推廣為yn思路分析試題解析a此題從y x的性質(zhì)出發(fā)，即可順利解決第一個(gè)問題；用單調(diào)函數(shù)以及函x數(shù)的奇偶性來研究第二個(gè)問題；由第一和第二個(gè)問題的解決抽象出一般規(guī)律加 以推廣，從而解決第三個(gè)問題 .2b(x>0)的最小值是x(1)函數(shù)y x2 . 2b，那么 2 2b 6,二 b=log29.冷(常數(shù)a>0),其中n是正整數(shù).x弓在(0, 2n a 上是減函數(shù)，在2na , +m)上是增函數(shù),x當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，函數(shù)y在(豐2na上是增函數(shù)，在2na , 0)上是減函數(shù);當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)屈數(shù)y=xn冷在(0, 2na上是減函數(shù)，在2na , +m)上是增函數(shù),x在(一3

17、2na上是減函數(shù)，在2na , 0)上是增函數(shù);F(x) (x2 丄八(2 x)n= Cn(x2nu(x2n3x丄)x2n3)cn (x2n 3r丄) x2n 3r)C；(xn4)xx x1因此F(x)在一，1上是減函數(shù)，在1,2 上是增函數(shù).2199所以，當(dāng)x -或x 2時(shí)，F(xiàn)(x)取得最大值(-)n+(4)n；當(dāng)x 1時(shí)F(x)取得最小值2n 1四、綜合練習(xí)一、填空題1、方程3x1 -的解是92、 函數(shù)y lg(4 X的定義域是x 33、函數(shù)f(x)是定義在(,)上的偶函數(shù).當(dāng)x (, 0)時(shí)，f(x) x x4 ,那么當(dāng) x (0,)時(shí)，f (x) .4、假設(shè)函數(shù)f (x) = ax (

18、a>0,且a工1)的反函數(shù)的圖像過點(diǎn)(2, - 1),那么a5、函數(shù)f(x) 的反函數(shù)f 1(x).x 16 方程 Iog3(x 10)1 log3 x 的解是.7、 假設(shè)函數(shù)f(x)=a x b 2在0,+ p)為增函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a、b的取值范圍 是.8、 函數(shù)f (x) si nx 21 s in x |,x0,2 的圖象與直線y k有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，那么k的取值范圍是9、 假設(shè)曲線y 2x 1與直線y b沒有公共點(diǎn)，那么b的取值范圍是.、選擇題1 110、在 P (1,1)、Q (1, 2)、M (2, 3)和 N(,)四點(diǎn)中，函數(shù) y ax 的圖象與其反函數(shù)的圖象的公共點(diǎn)只

19、可能是點(diǎn)(A. P.B . Q.C.111、假設(shè)函數(shù)f(x) 廠，那么該函數(shù)在2x 1A .單調(diào)遞減無最小值C.單調(diào)遞增無最大值2 4M.上是()B .單調(diào)遞減有最小值D .單調(diào)遞增有最大值12、設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：“當(dāng)f(k) > k2成立時(shí)，總可推出f(k 1) > (k 1)2成立那么，以下命題總成立的是()A .假設(shè)f(3) > 9成立，那么當(dāng)k > 1時(shí)，均有f(k) > k2成立B. 假設(shè)f(5) > 25成立，那么當(dāng)k < 5時(shí)，均有f(k) > k2成立C. 假設(shè)f(7)49成立，那么當(dāng)k >

20、 8時(shí)，均有f(k) k2成立D. 假設(shè)f(4)25成立，那么當(dāng)k > 4時(shí)，均有f(k) > k2成立.三、解答題13、函數(shù)f x x a , g x x2 2ax 1 ( a為正常數(shù))，且函數(shù)f x與g x的圖像在y軸上的截距相等.(1) 求a的值；(2) 求函數(shù)f x g x的單調(diào)遞增區(qū)間；14、函數(shù)f (x) - log2 -一X，求函數(shù)f (x)的定義域，并討論它的奇偶性X1 x和單調(diào)性.15現(xiàn)有一批貨物從上海洋山深港運(yùn)往青島，該船的最大航行速度為35海里/小時(shí)，上海至青島的航行距離約為500海里，每小時(shí)的運(yùn)輸本錢由燃料費(fèi)用和其余費(fèi)用組成.輪船每小時(shí)使用的燃料費(fèi)用與輪船速

21、度的平方成正比 (比例系數(shù)為0.6),其余費(fèi)用為每小時(shí)960元.(1) 把全程運(yùn)輸本錢y (元)表示為速度x (海里/小時(shí))的函數(shù)；(2) 為了使全程運(yùn)輸本錢最小，輪船應(yīng)以多大速度行駛？16、函數(shù)f(x) x2- (x 0，常數(shù)a R).x(1)當(dāng) a 2 時(shí)，解不等式 f (x) f(x 1) 2x 1 ;(2)討論函數(shù)f(x)的奇偶性，并說明理由.17、函數(shù)yx a有如下性質(zhì)：如果常數(shù)a 0,那么該函數(shù)在0a上是x減函數(shù)，在、a,上是增函數(shù).(1)如果函數(shù)y上是增函數(shù)，求b2(x 0)在0,4上是減函數(shù)，在4,x的值.(2)設(shè)常數(shù)c1,4，求函數(shù)f (x)x C (1 x 2)的最大值和最

22、小值;x18、對(duì)定義域分別是Dg 的函數(shù) y f(x)、y g(x)，規(guī)定：函數(shù)h(x)f (x) g(x)當(dāng)x Df且x Dg f (x)當(dāng)x Df且x Dg .g(x)當(dāng) x Df 且x Dg1(1)假設(shè)函數(shù)f(x) ，g(x) x2，寫出函數(shù)h(x)的解析式;x 1(2)求問題(1)中函數(shù)h(x)的值域.五、綜合練習(xí)參考答案、填空題1、x 1 ; 2、 x x 4 且 x3 ; 3、f (x) x x44、解：由互為反函數(shù)關(guān)系知,f (x)過點(diǎn)(1,2)，代入得:a 1 2 a 15、；6 5;7、a>0且 b<08、解：f(x)3si n x,xsinx, x0,2從圖像可

23、以看出直線k有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，9、解：作出函數(shù)y2|x| 1x 1,x 0 ,的圖像,x 1,x 0如右圖所示:二、選擇題10、 D ; 11、 A; 12、三、解答題13、解：(1)由題意，所以,D.(2)當(dāng)x 1時(shí),|x1|0x2x20,b ( 1,1).，|a| 1 又 a2x 13x，它在1,當(dāng)x 1時(shí)，fx 2，它在i'10，所以a 1；上單調(diào)遞增;上單調(diào)遞增。1,所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?一1, 0)U(0，1).因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且對(duì)定義域內(nèi)的任意x,有f ( x) -log2 -一x(丄log2 -一 )f (x)，所以 f (x)是奇函數(shù).x 1 xx 1 x研究f (x)在(0, 1 )內(nèi)的單調(diào)性，任