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認(rèn)證類型：個(gè)人認(rèn)證

認(rèn)證主體：雷**（實(shí)名認(rèn)證）

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IP屬地：湖北 上傳時(shí)間：2022-03-03 格式：DOC 頁(yè)數(shù)：18 大小：1.73MB 積分：18 舉報(bào) 版權(quán)申訴

1、模糊緊場(chǎng)的拓?fù)涠日Z數(shù)教研室 陳文亞摘要：拓?fù)涠壤碚撌窖芯糠蔷€性問題的有力工具，利用它可以得到許多不動(dòng)點(diǎn)定理。本文的目的是要把拓?fù)涠壤碚撏茝V到模糊數(shù)學(xué)領(lǐng)域，針對(duì)一類模糊映射建立模糊拓?fù)涠取?首先，本文提出模糊緊場(chǎng)和模糊緊映射的概念，討論一個(gè)模糊映射成為模糊緊映射的條件，并舉出模糊緊映射的實(shí)例。其次，給定單值函數(shù)，用水平集方法把模糊緊場(chǎng)轉(zhuǎn)化為集值緊場(chǎng)，用集值緊場(chǎng)的拓?fù)涠葋矶x模糊拓?fù)涠龋C明模糊拓?fù)涠扰c單值函數(shù)的取法無關(guān)，還討論模糊拓?fù)涠鹊恼?guī)性、可加性等性質(zhì)。 最后，本文給出模糊緊映射的不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)定義，并討論它的性質(zhì)，利用模糊拓?fù)涠鹊亩x，證明了模糊不動(dòng)點(diǎn)定理，并且舉例計(jì)算了一個(gè)模糊緊映射的拓?fù)?/p>

2、度。關(guān)鍵詞：模糊集，模糊緊場(chǎng)，拓?fù)涠?1模糊集合定義11設(shè)是線性賦范空間，是的映射，則稱為上的模糊集，上的模糊集全體記為.定義12設(shè)是線性賦范空間，由到的映射稱為模糊映射。如果是模糊映射，則是模糊集，簡(jiǎn)記為，表示的隸屬度。定義13設(shè)是線性賦范空間，模糊映射稱為凸的，如果對(duì)任意的，模糊集是凸的，即對(duì)任意的及，有.設(shè)，集稱為的截集。模糊映射稱為閉的，如果作為上的二元函數(shù)是上半連續(xù)的。12模糊緊場(chǎng)和模糊緊映射的相關(guān)定義121模糊緊場(chǎng)和緊映射的定義定義14設(shè)是線性賦范空間，模糊映射稱為模糊緊的，如果存在單值函數(shù)，使得是集值緊的，稱為關(guān)于單值函數(shù)的對(duì)應(yīng)映射，在不混淆的情況下，簡(jiǎn)記為定義15設(shè)是線性賦范空

3、間，模糊映射稱為模糊緊場(chǎng)，如果存在單值函數(shù)，使得是集值緊場(chǎng)，稱為關(guān)于單值函數(shù)的對(duì)應(yīng)映射，在不混淆的情況下，簡(jiǎn)記為13模糊緊映射131模糊緊映射的充要條件設(shè)是線性賦范空間， 為模糊映射。下面我們來討論當(dāng)滿足什么條件時(shí)，能推導(dǎo)出是模糊緊映射。命題11設(shè)是線性賦范空間，模糊映射是閉的，若存在下半連續(xù)的單值函數(shù)，使得是非空的，則是閉圖象，其中是關(guān)于函數(shù)的對(duì)應(yīng)映射。證明 設(shè)其中是關(guān)于函數(shù)的對(duì)應(yīng)映射，并且當(dāng)，有于是對(duì)任意的整數(shù)，有又因?yàn)樽鳛榈亩瘮?shù)是上半連續(xù)的，且是下半連續(xù)的，所以有此即表明因此是閉圖象。命題12設(shè)是線性賦范空間，模糊映射是凸的，若存在單值函數(shù)，使得是非空的，則是凸的。 證明 任取，則有

4、。因?yàn)槭峭沟模杂袕亩?，此即表明是凸的。定義15設(shè)是線性賦范空間，用來表示在中的閉包。假如，而且是的緊子集，那么記作。如果是定義在上的函數(shù)，我們把定義為的支集。我們說在中具有緊支集，即。命題13設(shè)是線性賦范空間，作為的二元函數(shù)，具有緊支集時(shí)，若存在單值函數(shù)，使得是非空的，則是相對(duì)緊的，其中是關(guān)于函數(shù)的對(duì)應(yīng)映射。證明 設(shè)是二元函數(shù)的緊支集，即是中的緊集，且，其中是在上的投影（即），是中的相對(duì)緊集。這是因?yàn)椋稳?，則存在，使得，即，故，從而，由的任意性，知，所以是相對(duì)緊的。 由以上討論，我們知道，當(dāng)是閉的、凸的，且作為二元函數(shù)具有緊支集，若對(duì)任意給定的單值下半連續(xù)函數(shù),使得非空，故的對(duì)應(yīng)映射是

5、上半連續(xù)的，從而是模糊緊映射。132模糊緊映射的例子設(shè)是定義在上的二元函數(shù)，則是連續(xù)的，當(dāng)把限制在上，還是連續(xù)函數(shù)。令則在上連續(xù)，并且事實(shí)上，任取，當(dāng)時(shí)，在區(qū)域上的最大值為，即此即表明連續(xù)，顯然。接下來，我們利用上述函數(shù)來構(gòu)造模糊緊映射，取，則，其中其中。具有以下性質(zhì)： 1 是上的連續(xù)函數(shù)；2 是凸的；3 具有緊支集； 4 是非空的。 事實(shí)上，性質(zhì)1，性質(zhì)3顯然，我們只需證明性質(zhì)2和性質(zhì)4。要證明模糊映射是凸的，只需證明任意的，有 （1）當(dāng)時(shí)，則，（1）式顯然成立。當(dāng)，有，且的值介于兩者之間，從而（1）式成立。當(dāng)兩者中一個(gè)大于，一個(gè)小于時(shí)，中必有一個(gè)為零，所以（1）式成立。綜上所述，是凸的。

6、接下來，我們證明性質(zhì)4，任取，作為二元函數(shù)在處取得最大值1，所以，此即表明非空。 由上述討論知，映射是模糊緊的。14 模糊緊場(chǎng)的拓?fù)涠?41模糊緊場(chǎng)的拓?fù)涠榷x 討論完模糊緊映射的充要條件，接下來我們定義線性賦范空間中模糊緊場(chǎng)的拓?fù)涠龋懻撃：負(fù)涠鹊男再|(zhì)。定義16設(shè)線性賦范空間，是中的非空開集，模糊緊場(chǎng)屬于，則存在單值函數(shù)，使得是中給出的集值緊場(chǎng)的拓?fù)涠榷x知，的拓?fù)涠却嬖冢洖?。我們把模糊緊場(chǎng)的拓?fù)涠?，記作，定義為定理11定義16中的拓?fù)涠鹊闹蹬c的對(duì)應(yīng)映射的選擇無關(guān)。證明 設(shè)是兩個(gè)單值函數(shù)，使得都是中的集值緊場(chǎng)，則集值緊場(chǎng)在中是同倫的。事實(shí)上，令顯然是集值緊場(chǎng)，且。設(shè)不然，則存在，使得，其

7、中。因?yàn)槎紝儆?，于是?即。又因?yàn)槭峭辜拭?，結(jié)論成立。所以由集值緊場(chǎng)的同倫不變性得，此即表明模糊緊場(chǎng)的拓?fù)涠扰c對(duì)應(yīng)映射的選擇無關(guān)，定義合理。142模糊緊場(chǎng)的拓?fù)涠鹊男再|(zhì) 性質(zhì)11（正規(guī)性）設(shè)是線性賦范空間，是中的非空開集，如果是模糊恒等映射，則。 證明 任取單值函數(shù)，則是普通得恒等映射,由集值緊場(chǎng)的拓?fù)涠榷x，得，又由模糊緊場(chǎng)拓?fù)涠鹊亩x，得，聯(lián)立等式即得。性質(zhì)12（同倫不變性）設(shè)是線性賦范空間，是中的非空開集，模糊緊場(chǎng)在中同倫，則 。 證明 因?yàn)橥瑐?，故存在中得模糊緊場(chǎng)，使得，其中。從而存在單值函數(shù)使得 是集值緊場(chǎng)，且，記，則都是中的集值緊場(chǎng)，且使得在中同倫。 由集值緊場(chǎng)的同倫不變性得

8、又由模糊緊場(chǎng)拓?fù)涠榷x知把所有等式聯(lián)立即得性質(zhì)13（區(qū)域可加性）設(shè)是線性賦范空間，是中的非空開集，是中互不相交得開集族， 是中的模糊緊場(chǎng)，則 ，其中等式右邊僅有有限項(xiàng)不為零。 證明 因?yàn)槭悄：o場(chǎng)，故存在單值函數(shù)，使得的對(duì)應(yīng)映射是集值緊場(chǎng)，關(guān)于的限制的對(duì)應(yīng)映射為，且屬于，由集值緊場(chǎng)得區(qū)域可加性，得，其中等式右邊僅有有限項(xiàng)不為零。又由模糊緊場(chǎng)得拓?fù)涠榷x知把所有等式聯(lián)立即得。推論11（切除性）設(shè)是線性賦范空間，是中的非空開集，開集是中的模糊緊場(chǎng)，則性質(zhì)14（平移不變性）設(shè)是線性賦范空間，是中的非空開集，是中的模糊緊場(chǎng)，如果把看作是模糊點(diǎn)，可以定義模糊映射，其中，則是中的模糊緊場(chǎng)，且，其中是中的零

9、元。 證明 由模糊集的加法運(yùn)算，得 （2）任意給定單值函數(shù)，設(shè)分別是模糊映射關(guān)于函數(shù)的對(duì)應(yīng)映射。 當(dāng)是空集時(shí)，即對(duì)任意的，都有，由（2）式，得，此即表明是空集。同理可證，當(dāng)是空集時(shí)，也是空集。當(dāng)是非空時(shí)，任取，有此即表明，非空，且，由的任意性，得。同理可證，當(dāng)是非空時(shí)，非空，且。綜上所述，或者同為空集，或者同時(shí)非空；并且當(dāng)非空時(shí)，有 因此映射是中得模糊緊場(chǎng)。由集值緊場(chǎng)得平移不變性得又由模糊緊場(chǎng)的拓?fù)涠榷x有，。把所有等式聯(lián)立即得。性質(zhì)15（可解性）設(shè)是線性賦范空間，是中的非空開集，是中的模糊緊場(chǎng)，若，則存在單值函數(shù)及，使得。證明 因是模糊緊場(chǎng)，則存在，使得是的對(duì)應(yīng)映射，且屬于，由模糊緊場(chǎng)的拓?fù)?/p>

10、度定義得由集值緊場(chǎng)得可解性，知存在使得所以。第二章 模糊映射得不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)21 模糊不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)的定義定義21設(shè)是線性賦范空間，若存在連續(xù)算子，使得當(dāng)時(shí)，恒有，則稱是的一個(gè)收縮核，算子稱為是一個(gè)保核收縮。引理21 實(shí)空間中任何非空凸閉集都是的收縮核，并且，存在保核收縮，使，其中表示點(diǎn)到集的距離。定義22設(shè)是實(shí)空間，是中的閉凸集，是中的開集，表示中的模糊集，是模糊緊映射，且屬于，是一個(gè)保核收縮。定義在上關(guān)于的不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)為， （3）其中為模糊恒等映射，表示模糊映射與保核收縮的復(fù)合映射，（3）式右端為模糊拓?fù)涠取６ɡ?1 定義22中的模糊映射不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)定義合理。證明 要證明模糊映射不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)定義合理性，

11、也就是要證明（3）式右端有意義，且其值與保核收縮的選取無關(guān)。因?yàn)槭悄：o映射，故存在單值函數(shù)，使得關(guān)于函數(shù)的對(duì)應(yīng)映射是集值緊的。對(duì)于單值函數(shù)，記的對(duì)應(yīng)映射為，則有 即有，易知是集值緊的，故也是集值緊的，從而是模糊緊的。接下來證明屬于。事實(shí)上，任意給定單值函數(shù)，使得關(guān)于函數(shù)的對(duì)應(yīng)映射為集值緊的，由于，所以關(guān)于函數(shù)在上的限制的對(duì)應(yīng)映射為集值緊的，并且在上，事實(shí)上，有，又，故，從而，由的任意性，得。同理可證，從而結(jié)論得證。接下來，我們項(xiàng)證明一個(gè)有用得命題。命題21的不動(dòng)點(diǎn)均屬于，且為的不動(dòng)點(diǎn)，其中，分別是，關(guān)于函數(shù)和它的限制的對(duì)應(yīng)映射。證明 設(shè)并且。因?yàn)樗詮亩?，且。由于屬于，由假設(shè)，知在上沒有不動(dòng)

12、點(diǎn)，故，命題得證。接下來我們繼續(xù)證明上述定理。由連續(xù)，知是中的開集。易知在上沒有不動(dòng)點(diǎn)。事實(shí)上，設(shè)存在，使得，由上述命題2.1，知。由于，故是開集的內(nèi)點(diǎn)，與矛盾。因此屬于，由的任意性，得屬于，綜上所述，知（3）式右端的模糊拓?fù)涠扔幸饬x。 我們接著證明（3）式右端的值不隨保核收縮的選取而改變。設(shè)是另一個(gè)保核收縮，要證 （4）令，則，且，由命題2.1，知屬于，屬于，由模糊拓?fù)涠鹊那谐?，得令其中是?duì)應(yīng)于函數(shù)的緊映射。 則是模糊緊的，且屬于。事實(shí)上，令于是，則 （5）事實(shí)上，當(dāng)或時(shí)，（5）式顯然成立；當(dāng)時(shí)，任取于是有，由定義，知存在，使得此即表明。由的任意性，得任取，于是存在，使得從而即由的任意性，

13、得。下證且屬于。任取單值函數(shù)，使得關(guān)于函數(shù)的對(duì)應(yīng)映射是集值緊的。設(shè)存在，使得，于是。由于，都屬于，故，從而存在，使得即故，從而，由假定，知在上沒有不動(dòng)點(diǎn)，故，這與矛盾，結(jié)論得證。 綜上所述，可得是中的模糊同倫映射。由模糊同倫不變性，得從而按（3）式定義得不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)是由唯一確定，不隨保核收縮的選取改變。22 模糊映射不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)的性質(zhì)現(xiàn)在，我們討論模糊緊映射的不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)的性質(zhì)。性質(zhì)21（正規(guī)性）設(shè)是實(shí)空間，是中的閉凸集，是中的開集是模糊緊映射，且，其中是以為承點(diǎn)，1為高度的模糊點(diǎn)，則證明 因?yàn)閷?duì)任意給定的，都有，所以。任取單值函數(shù)，則關(guān)于的對(duì)應(yīng)映射是集值緊的，且屬于，從而也屬于，由模糊拓?fù)涠鹊恼?guī)

14、性，得性質(zhì)22（區(qū)域可加性）設(shè)是實(shí)空間，是中的閉凸集，是中的開集，是中互不相交的兩開子集，是模糊緊映射，且屬于，則證明 任取單值函數(shù)，使得關(guān)于的對(duì)應(yīng)映射是集值緊的。設(shè)，且，由命題2.1，知，且（其中是關(guān)于的限制的對(duì)應(yīng)集值緊映射）。因?yàn)閷儆?，故，從而由此可知由的任意性，知屬于，由模糊拓?fù)涠鹊膮^(qū)域可加性，得即性質(zhì)23（同倫不變性）設(shè)是實(shí)空間，是中的閉凸集，是中的開集，是模糊緊映射，且屬于，則證明 考察模糊映射，因?yàn)槭悄：o的，故存在單值函數(shù)，使得關(guān)于的對(duì)應(yīng)映射是集值緊的。對(duì)于，記的對(duì)應(yīng)映射為，則有從而是模糊緊的。下證屬于，任意給定單值函數(shù)，則關(guān)于的對(duì)應(yīng)映射是集值緊的。對(duì)于的限制，記的對(duì)應(yīng)映射為，則

15、有其中表示在上的限制，從而是集值緊的。設(shè)存在，使得由于，故且從而，由假定，知矛盾，結(jié)論成立。從而是模糊緊的，且屬于，由模糊拓?fù)涠鹊耐瑐惒蛔冃?，得性質(zhì)24（可解性）設(shè)是實(shí)空間，是中的閉凸集，是中的開集，是模糊緊映射，且，則存在單值函數(shù)及，使得證明 由于，由模糊拓?fù)涠鹊每山庑?，存在單值函?shù)及使得是集值緊，且由于即，由命題2.1，知，且，即取，即得結(jié)論。性質(zhì)25（保持性）設(shè)是實(shí)空間，是中的閉凸集，是中的開集，是中的非空閉凸集，是模糊緊映射，則其中證明 設(shè)是保核收縮，則是保核收縮。令，則是開集。由命題2.1，知屬于，由模糊拓?fù)涠鹊那谐?，可得同理可知屬于，故下證，在中模糊同倫。令其中是關(guān)于的緊映射。易

16、知是模糊緊的。 現(xiàn)在證明屬于，設(shè)是任一使得的對(duì)應(yīng)映射是集值緊的單值函數(shù)。若存在，使得，即由假定，知且，故從而所以。由假定，知矛盾，結(jié)論成立。由模糊拓?fù)涠鹊耐瑐惒蛔冃?，得從而第三?應(yīng) 用第一章、第二章分別討論了模糊緊場(chǎng)的拓?fù)涠群湍：o映射的不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)。現(xiàn)在，我們運(yùn)用模糊拓?fù)涠榷x，證明一個(gè)模糊不動(dòng)點(diǎn)定理，并且計(jì)算第二章給出的模糊緊映射的模糊拓?fù)涠?。定義31 設(shè)是實(shí)空間，是模糊映射，若對(duì)任意的，總有，則稱是的不動(dòng)點(diǎn)。設(shè)是完備的線性賦范空間，表示中的非空閉凸集，表示中這樣的模糊子集族，對(duì)每一，由下式定義的集合，其中定理31設(shè)是模糊映射，存在，使得對(duì)任意的，有，且是相對(duì)緊的，其中，是度量，即對(duì)任意的非空有界閉集，定義其中是由的范數(shù)導(dǎo)出的距離，則在中有不動(dòng)點(diǎn)。證明 令，則?，F(xiàn)證明是集值緊的，因是相對(duì)緊的，故只需證明是上半連續(xù)。，設(shè)是包含的開鄰域，因令有即，此即表明在點(diǎn)上半連續(xù)，由的任意性，得是上半連續(xù)的。令其中則與模糊同倫，從而有由模糊拓?fù)涠鹊目山庑?，得?duì)于，存在，使得故，此即表明是的不動(dòng)點(diǎn)。注 當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立?，F(xiàn)在我們計(jì)算例1中模糊緊映射的拓?fù)涠取Ｓ缮鲜鲇懻?，知是模糊緊映射，接下來證明屬于。任取單值函數(shù)，使得的對(duì)應(yīng)映射是集值緊的，因?yàn)椋?，從而屬于。由模糊拓?fù)涠鹊亩x，知的模糊拓?fù)涠却嬖?。由于的拓?fù)涠扰c單值函數(shù)的選擇無關(guān)，我們?nèi)?，則模糊映射關(guān)于的對(duì)應(yīng)映射，由定義，知