西安交大西工大 考研備考期末復(fù)習(xí)工程數(shù)學(xué)復(fù)變函數(shù)共形映射

1、復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）工程數(shù)學(xué)（二）第六章第六章 共共 形形 映映 射射1 1 共形映射概念共形映射概念2 2 分式線性映射分式線性映射復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）工程數(shù)學(xué)（二）G G* *復(fù)變函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的概念復(fù)變函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的概念1.1.復(fù)變函數(shù)的定義：復(fù)變函數(shù)的定義：2.2.復(fù)變函數(shù)的幾何意義復(fù)變函數(shù)的幾何意義映射映射f:Gf:GG G* *定義定義若對若對z平面上點集平面上點集D內(nèi)每一點內(nèi)每一點z,按照某一法則按照某一法則,有有w平面上確定的復(fù)數(shù)平面上確定的復(fù)數(shù)w與之對應(yīng)與之對應(yīng),則稱這種對應(yīng)關(guān)系是則稱這種對應(yīng)關(guān)系是z的的復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)，記作，記作w=f (z)；稱；稱w是

2、是z在函數(shù)在函數(shù)f 下的像。下的像。ox xy y( (z z) )G Gouv(w)G Gw=fw=f( (z z) )z zw=fw=f( (z z) )w w復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）工程數(shù)學(xué)（二）3.復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)w=f(z)在在z0點處的導(dǎo)數(shù)：點處的導(dǎo)數(shù)：000000)()(lim)()(lim)(00zzzfzfzzfzzfdzdzfzzzzz,)()(00zfArgzf問題問題：解析函數(shù)：解析函數(shù)w=f(z)構(gòu)成的映射有何特性？重要性及構(gòu)成的映射有何特性？重要性及應(yīng)用如何？應(yīng)用如何？結(jié)論結(jié)論：解析函數(shù)：解析函數(shù)w=f(z)構(gòu)成的映射具有共形性（即共形映構(gòu)成的映射具有共形性（

3、即共形映射）；應(yīng)用共形映射成功地解決了流體力學(xué)、彈性力學(xué)、射）；應(yīng)用共形映射成功地解決了流體力學(xué)、彈性力學(xué)、電學(xué)理論、同軸測量線的設(shè)計問題、電學(xué)理論、同軸測量線的設(shè)計問題、3D模型變形、腦體模型變形、腦體映射以及其他方面的許多實際問題。映射以及其他方面的許多實際問題。復(fù)變函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的概念復(fù)變函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的概念復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）工程數(shù)學(xué)（二）,)(: ttzzC.移移動動的的方方向向增增大大時時點點它它的的正正向向取取zt1. 1. 曲線的切線曲線的切線.)()(000方方向向相相同同與與向向量量則則割割線線的的方方向向向向量量ttzttzpp ，的的參參數(shù)數(shù)分分別別為為對對應(yīng)應(yīng)取

4、取若若ttPPCPPttz,),(, 0)( 00000 設(shè)連續(xù)曲線設(shè)連續(xù)曲線)(tzz :C oxy(z)0PP方方向向。增增大大的的對對應(yīng)應(yīng)于于參參數(shù)數(shù)割割線線tpp01 1 共形映射概念共形映射概念復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）工程數(shù)學(xué)（二） T)(tzz :C oxy(z)0PP的的極極限限位位置置：割割線線方方向向pp0ttzttztzt )()(lim)( 0000.0正正向向一一致致處處的的切切向向量量且且方方向向與與在在曲曲線線CpC.)( ,),(, 0)( 0000就就是是切切向向量量有有切切線線在在則則曲曲線線若若tzzCttz復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）工程數(shù)學(xué)（二）

5、A .)( )1(00方向之間的夾角方向之間的夾角軸軸正向與正向與處切線的處切線的點點曲線曲線正正在在xzCtArgz 之間的夾角.之間的夾角.就是它們的兩條切線就是它們的兩條切線兩曲線正向之間的夾角兩曲線正向之間的夾角交點處交點處若曲線若曲線向向正正在在,)2(021zCC相交于點相交于點與曲線與曲線:2C)(2tzz )(1tzz :1Coxy(z)0z 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）工程數(shù)學(xué)（二）2. 2. 解析函數(shù)解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義( (輻角和模輻角和模) ), 0)( ,)(00 zfDzDzfw且且內(nèi)內(nèi)解解析析在在區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè),)(:0 ttzzCzD引引一一條條

6、有有向向光光滑滑曲曲線線內(nèi)內(nèi)過過在在.)(00增增大大方方向向的的曲曲線線，正正向向取取過過點點tzfw )(),(000tzzt 取取0)( 0 tz則則)(:)(:)(tzfwwtzzCzzfw 平平面面上上平平面面上上復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）工程數(shù)學(xué)（二）)(tzz :Co(z)xyov(w)u)(tzfw : )(zfw T T0z0w復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）工程數(shù)學(xué)（二）.,)(,0 記記作作的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動角角在在點點經(jīng)經(jīng)映映射射原原曲曲線線間間的的夾夾角角為為正正向向之之線線的的切切線線正正向向與與映映射射后后曲曲稱稱曲曲線線軸軸的的正正向向相相同同軸軸與與軸軸和和軸軸與

7、與若若視視zzfwCCvyux )( )( )( 000tArgztArgwzArgf 即即 Tu xT 0z0w 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）工程數(shù)學(xué)（二）則則有有關(guān)關(guān)及及點點僅僅與與映映射射式式由由,)()1(0zzfw 的的幾幾何何意意義義( (1 1) )導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)幅幅角角Argf(z).)()0)( )( 000的轉(zhuǎn)動角的轉(zhuǎn)動角映射后在點映射后在點經(jīng)過經(jīng)過是曲線是曲線zzfwCzfzArgf .,動角的不變性動角的不變性轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)這種性質(zhì)稱為映射具有這種性質(zhì)稱為映射具有與方向無關(guān)與方向無關(guān)的形狀的形狀的大小及方向與曲線的大小及方向與曲線轉(zhuǎn)動角轉(zhuǎn)動角C 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）工程數(shù)學(xué)

8、（二）2 .,),2 , 1()()()2 , 1(,)2 , 1(21000 的的夾夾角角為為的的曲曲線線下下映映射射為為相相交交于于點點在在變變換換的的夾夾角角為為在在點點設(shè)設(shè)izfwzfwiCziCiii oxy(z)1C2C1 0z)(zfw 12 2 1 1 2 ovu(w)0w1212)2 , 1()1( iii有有，由由式式 保角性保角性12 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）工程數(shù)學(xué)（二）由上述討論我們有由上述討論我們有 不不變變的的性性質(zhì)質(zhì)線線間間夾夾角角的的大大小小與與方方向向這這種種映映射射具具有有保保持持兩兩曲曲保角性保角性),(),(,2121210)(210 CCwCC

9、zzfw的的過過的的過過的的幾幾何何意意義義( (2 2) )模模f(z).;,0000之之間間的的弧弧長長與與上上的的對對應(yīng)應(yīng)點點表表示示之之間間的的一一段段弧弧長長與與上上的的點點表表示示用用且且設(shè)設(shè)wwzzCsewwwrezzzii 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）工程數(shù)學(xué)（二）的的在在稱稱之之為為曲曲線線00)( zCzf .伸縮率伸縮率Co(z)xyov(w)u )(zfw 0z0wzz ww s iiierreezz00iersssersszfzzizz00limlim0復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）工程數(shù)學(xué)（二） 均均不不變變處處點點在在同同一一時時沿沿任任何何曲曲線線作作映映射射

10、的的形形狀狀方方向向無無關(guān)關(guān)而而與與曲曲線線有有關(guān)關(guān)及及與與映映射射易易見見)( ,)()( ,0000zfAzfzzfwzf.伸伸縮縮率率不不變變性性結(jié)論：結(jié)論：一個解析函數(shù)當(dāng)其導(dǎo)數(shù)不為一個解析函數(shù)當(dāng)其導(dǎo)數(shù)不為0時時,具有轉(zhuǎn)動角不變具有轉(zhuǎn)動角不變性和伸縮率不變性。例如性和伸縮率不變性。例如w=z2在在z=0處不具有上述特性處不具有上述特性.復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）工程數(shù)學(xué)（二）解解iifzfzzf4)221()(12)(0 2)4()(0 iArgzfArg轉(zhuǎn)動角轉(zhuǎn)動角伸縮率伸縮率44)(0 izf417221)221(202 iiwzzw映射后切線方程為映射后切線方程為iuuw)16

11、1741(iz2210 zzwoz200正正向向切切線線方方向向平平行行于于過過z z例例1 1 求函數(shù)求函數(shù)w=f(z)=zw=f(z)=z2 2+z+z對應(yīng)的映射在點對應(yīng)的映射在點iz2210動角和伸縮率。此映射將過點動角和伸縮率。此映射將過點z z0 0的平行于向量的平行于向量 正方正方向的切線方向變成向的切線方向變成w w平面上那一條切線方向？平面上那一條切線方向？0oz處的轉(zhuǎn)處的轉(zhuǎn)后后的的切切線線方方向向正正向向逆逆時時針針旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)并并由由過過200 ozw w)417(41uv zzwozTzkk2004410Twk2x xy yu uv vz z0 0w w0 0T TT T1

12、1(z)(z) (w)(w)復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）工程數(shù)學(xué)（二）解解11)(sincos11cieceeeeewttictticiiz 例例2 2 試證明試證明w=ew=eiziz將互相正交的直線族將互相正交的直線族Rez=cRez=c1 1與與Imz=cImz=c2 2依依次變?yōu)榛ハ嗾坏闹本€族次變?yōu)榛ハ嗾坏闹本€族v=utancv=utanc1 1和圓周族和圓周族2222cevuictzcz22Im ticzcz 11Re1tancuv )sin(cos222)(titeeeeewcitcictiiz 2222cevu 而而w=ew=eiziz在復(fù)平面解析，且在復(fù)平面解析，且0 i

13、ziedzdw故故w=ew=eiziz具有保角性，具有保角性， 互相正交的直線族互相正交的直線族Rez=cRez=c1 1與與Imz=cImz=c2 2互相正交的直線族互相正交的直線族v=utancv=utanc1 1和圓周族和圓周族2222cevu 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）工程數(shù)學(xué)（二）3. 3. 共形映射的概念共形映射的概念.)()(內(nèi)內(nèi)是是共共形形映映射射在在區(qū)區(qū)域域則則稱稱內(nèi)內(nèi)每每一一點點都都是是共共形形的的，在在若若DzfwDzfw 定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)w=f(z)w=f(z)構(gòu)成的在構(gòu)成的在z z0 0的鄰域內(nèi)是的鄰域內(nèi)是一一映射一一映射，在在z z0 0具有具有保角性保角

14、性和和伸縮率不變性伸縮率不變性，則稱映射，則稱映射w=f(z)w=f(z)在在z z0 0是是共形映射共形映射。為為伸伸縮縮率率。為為轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動角角且且映映射射，保保角角是是共共形形點點解解析析且且在在若若)( ,)( )()(,0)( )(0000zfzArgfzfwzfzzfw 定理定理復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）工程數(shù)學(xué)（二）解解例例3 3 討論解析函數(shù)討論解析函數(shù)f(z)=z,f(z)=az+b,f(z)=z,f(z)=az+b,和和f(z)=ef(z)=ez z的共形性。的共形性。01)()() 1 ( zfzzff(z)=ef(z)=ez z是周期函數(shù)，在是周期函數(shù)，在y y 00

15、，2 2 ）的帶形域內(nèi)是一）的帶形域內(nèi)是一一的，因而是共形的。一的，因而是共形的。且且f(z)=zf(z)=z是一一的，故是一一的，故f(z)=zf(z)=z在在z z平面上是共形的。平面上是共形的。azfbazzf )()()2(當(dāng)當(dāng)a a 0 0時時, ,f(z)=az+bf(z)=az+b是一一的是一一的, ,在在z z平面上是共形的。平面上是共形的。0)()() 3(zzezfezf處的轉(zhuǎn)動角與伸縮率處的轉(zhuǎn)動角與伸縮率在在求求練習(xí)：練習(xí)：izz3.性性與與伸伸縮縮率率不不變變性性嗎嗎？在在平平面面上上處處處處具具有有保保角角3z復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）工程數(shù)學(xué)（二） 注：共形映射

16、的分類注：共形映射的分類 （1 1）第一共形映射：要求映射保持伸縮率不變，且）第一共形映射：要求映射保持伸縮率不變，且曲線間夾角的大小和方向都不變，曲線間夾角的大小和方向都不變，z z0 0 l l1 1l l2 2w w0 0 1l2l )(zfw （2 2）第二共形映射：要求映射保持伸縮率不變，曲）第二共形映射：要求映射保持伸縮率不變，曲線間夾角的大小不變，但方向相反。線間夾角的大小不變，但方向相反。 ,2211llllzw 是關(guān)于實軸的對是關(guān)于實軸的對稱映射，它把從稱映射，它把從z z出發(fā)夾角為出發(fā)夾角為 兩兩條曲線映射成夾條曲線映射成夾角為角為- - 的兩條曲的兩條曲線，是線，是第二共

17、形第二共形映射映射是是第二共形映射第二共形映射復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）工程數(shù)學(xué)（二）2 2 分式線性映射分式線性映射1. 1. 分式線性映射的定義分式線性映射的定義定義定義.,是是復(fù)復(fù)常常數(shù)數(shù)其其中中稱稱為為分分式式線線性性映映射射dcba)1()0( bcaddczbazw映射映射A 。是是必必要要的的0 bcad).(0常數(shù)常數(shù)復(fù)復(fù)否則否則cww 2)()1(dczbcadw (2)分式線性映射又稱為雙線性映射（也稱為莫比烏斯分式線性映射又稱為雙線性映射（也稱為莫比烏斯（德國，（德國，1790-1868）映射）；）映射）； 事實上，對固定事實上，對固定w,上式關(guān)于上式關(guān)于z是線性的，

18、對固定是線性的，對固定z，上式關(guān)于上式關(guān)于w也是線性的；也是線性的； 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）工程數(shù)學(xué)（二）為雙線性映射.為雙線性映射.故又稱故又稱, ,逆映射仍為分式線性的逆映射仍為分式線性的則,則,dczbazwbcadacwbdwzdczbazw 0)()3(4)兩個分式線性映射的復(fù)合仍是一個分式線性映射：兩個分式線性映射的復(fù)合仍是一個分式線性映射：dczbazwzzw 1111, )0)(1111 bcad復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）工程數(shù)學(xué)（二）分式線性映射分式線性映射(1)總可以分解成下述三種特殊總可以分解成下述三種特殊映射的復(fù)合：映射的復(fù)合：zwiiiaazwiibzwi

19、1)()0()()( 稱為：稱為：平移整線性反演平移整線性反演復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）工程數(shù)學(xué)（二）bzwi )(.21是是一一個個平平移移映映射射故故bzwbyvbxu azwii )(.,)(射射是是旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)和和伸伸縮縮合合成成的的映映倍倍后后就就得得或或縮縮短短伸伸長長再再將將先先轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一個個角角度度把把azwwazz 21ibbbiyxzivuw 設(shè)設(shè))(, iiierwearez則則設(shè)設(shè)o o(z)(z) (w)(w)z zw wb bo o(z)(z) (w)(w)z zw wrr 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）工程數(shù)學(xué)（二）見見圖圖）關(guān)關(guān)于于圓圓的的對對稱稱點點名名詞詞介介

20、紹紹(:.,2對對稱稱于于圓圓周周關(guān)關(guān)與與則則稱稱滿滿足足若若在在半半直直線線上上有有兩兩點點rzppropoppp定義定義roxyPPA 規(guī)定無窮遠點的對稱點為圓心規(guī)定無窮遠點的對稱點為圓心o?呢呢的的對對稱稱點點找找到到關(guān)關(guān)于于圓圓周周如如何何由由przp ., , ,即即互互為為對對稱稱點點與與那那么么交交于于與與的的垂垂線線作作由由連連接接切切線線作作圓圓周周的的從從在在圓圓外外設(shè)設(shè)pppopTpopToppTppoPTP復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）工程數(shù)學(xué)（二）zwiii1)( 11,1wwzw 令令;, 1111在在同同一一射射線線上上與與wzrrwz ).()2.1)111見圖

21、見圖關(guān)于實軸對稱的點即得關(guān)于實軸對稱的點即得作出點作出點的對稱點的對稱點關(guān)于圓周關(guān)于圓周作出點作出點wwwzz 1ox,uy,v1wzw的幾何作圖的幾何作圖zw1 .1,1對稱對稱關(guān)于關(guān)于 zwz復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）工程數(shù)學(xué)（二）1. 1. 分式線性映射的性質(zhì)分式線性映射的性質(zhì).,性性質(zhì)質(zhì)出出一一般般分分式式線線性性映映射射的的從從而而得得射射的的性性質(zhì)質(zhì)先先討討論論以以上上三三種種特特殊殊映映保角性保角性)1(定理定理1.,且具有保角性且具有保角性對應(yīng)的對應(yīng)的平面上是一一平面上是一一分式線性映射在擴充復(fù)分式線性映射在擴充復(fù)復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）工程數(shù)學(xué)（二）保保圓圓性性)2

22、(LwlzwCzbazwbazwbazw平平面面上上的的直直線線平平面面上上的的直直線線平平面面上上的的圓圓周周平平面面上上的的圓圓周周伸伸縮縮的的合合成成映映射射旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)是是平平移移 .,.,即即具具有有保保圓圓性性圓圓周周映映射射成成在在擴擴充充復(fù)復(fù)平平面面上上把把圓圓周周那那么么窮窮大大的的圓圓周周若若把把直直線線看看作作是是半半徑徑無無bazw 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）工程數(shù)學(xué)（二）0,0,1)(/1/1 zwzwzzzwiii對對于于0)(:0)(:22221 acvbuvuddcybxyxaCzw 直直線線直直線線圓圓周周直直線線直直線線圓圓周周圓圓周周圓圓周周 CdaCdaCdaCda0, 0