高中數(shù)學(xué) 正弦定理余弦定理的應(yīng)用 北師大必修

1、正弦定理、余弦定理的應(yīng)用教學(xué)目的：1進(jìn)一步熟悉正、余弦定理內(nèi)容；2能夠應(yīng)用正、余弦定理進(jìn)行邊角關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化；3能夠利用正、余弦定理判斷三角形的形狀；4能夠利用正、余弦定理證明三角形中的三角恒等式教學(xué)重點(diǎn)：利用正、余弦定理進(jìn)行邊角互換時的轉(zhuǎn)化方向教學(xué)難點(diǎn): 三角函數(shù)公式變形與正、余弦定理的聯(lián)系教學(xué)方法：啟發(fā)引導(dǎo)式1啟發(fā)學(xué)生在證明三角形問題或者三角恒等式時，要注意正弦定理、余弦定理的適用題型與所證結(jié)論的聯(lián)系，并注意特殊正、余弦關(guān)系的應(yīng)用，比如互補(bǔ)角的正弦值相等，互補(bǔ)角的余弦值互為相反數(shù)等；2引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)三角恒等式的證明或者三角形形狀的判斷，重在發(fā)揮正、余弦定理的邊角互換作用教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入

2、：正弦定理：余弦定理： ，二、講解范例：例1在任一ABC中求證：證：左邊=0=右邊例2 在ABC中，已知，B=45° 求A、C及c解一：由正弦定理得：B=45°<90° 即b<a A=60°或120°當(dāng)A=60°時C=75° 當(dāng)A=120°時C=15° 解二：設(shè)c=x由余弦定理 將已知條件代入，整理：解之： 當(dāng)時 從而A=60° ，C=75° 當(dāng)時同理可求得：A=120° ，C=15°例3 在ABC中，BC=a, AC=b, a, b是方程的兩個根，且2

3、cos(A+B)=1 求（1）角C的度數(shù) （2）AB的長度 （3）ABC的面積解：（1）cosC=cosp-(A+B)=-cos(A+B)=- C=120°（2）由題設(shè)： AB2=AC2+BC2-2ACBCosC 即AB=（3）SABC=例4 如圖，在四邊形ABCD中，已知ADCD, AD=10, AB=14, ÐBDA=60°, ÐBCD=135° 求BC的長解：在ABD中，設(shè)BD=x則即 整理得： 解之： （舍去）由余弦定理： 例5 ABC中，若已知三邊為連續(xù)正整數(shù)，最大角為鈍角，1°求最大角 ; 2°求以此最大角為內(nèi)角

4、，夾此角兩邊之和為4的平行四邊形的最大面積解：1°設(shè)三邊 且C為鈍角 解得 或3 但時不能構(gòu)成三角形應(yīng)舍去當(dāng)時 2°設(shè)夾C角的兩邊為 S 當(dāng)時S最大=例6 在ABC中，AB5，AC3，D為BC中點(diǎn)，且AD4，求BC邊長分析：此題所給題設(shè)條件只有邊長，應(yīng)考慮在假設(shè)BC為后，建立關(guān)于的方程而正弦定理涉及到兩個角，故不可用此時應(yīng)注意余弦定理在建立方程時所發(fā)揮的作用因為D為BC中點(diǎn)，所以BD、DC可表示為，然用利用互補(bǔ)角的余弦互為相反數(shù)這一性質(zhì)建立方程解：設(shè)BC邊為，則由D為BC中點(diǎn)，可得BDDC，在ADB中，cosADB在ADC中，cosADC又ADBADC180°co

5、sADBcos（180°ADC）cosADC解得，2, 所以，BC邊長為2評述：此題要啟發(fā)學(xué)生注意余弦定理建立方程的功能，體會互補(bǔ)角的余弦值互為相反數(shù)這一性質(zhì)的應(yīng)用，并注意總結(jié)這一性質(zhì)的適用題型另外，對于本節(jié)的例2，也可考慮上述性質(zhì)的應(yīng)用來求解sinA，思路如下：由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)可得，設(shè)BD5，DC3，則由互補(bǔ)角ADC、ADB的余弦值互為相反數(shù)建立方程，求出BC后，再結(jié)合余弦定理求出cosA，再由同角平方關(guān)系求出sinA三、課堂練習(xí)：1半徑為1的圓內(nèi)接三角形的面積為025，求此三角形三邊長的乘積解：設(shè)ABC三邊為a，b，c則ABC又，其中R為三角形外接圓半徑, abc4RSAB

6、C4×1×0251所以三角形三邊長的乘積為1評述：由于題設(shè)條件有三角形外接圓半徑，故聯(lián)想正弦定理：，其中R為三角形外接圓半徑，與含有正弦的三角形面積公式ABC發(fā)生聯(lián)系，對abc進(jìn)行整體求解2在ABC中，已知角B45°，D是BC邊上一點(diǎn)，AD5，AC7，DC3，求AB解：在ADC中，cosC又0C180°，sinC在ABC中， AB評述：此題在求解過程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求邊，要求學(xué)生注意正、余弦定理的綜合運(yùn)用3在ABC中，已知cosA，sinB，求cosC的值解：cosAcos45°，0A 45°A90°, s

7、inAsinBsin30°，0B 0°B30°或150°B180°若B150°，則BA180°與題意不符 0°B30° cosBcos（AB）cosA·cosBsinA·sinB又C180°（AB）cosCcos180°（AB）cos（AB）評述：此題要求學(xué)生在利用同角的正、余弦平方關(guān)系時，應(yīng)根據(jù)已知的三角函數(shù)值具體確定角的范圍，以便對正負(fù)進(jìn)行取舍，在確定角的范圍時，通常是與已知角接近的特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行比較四、小結(jié) 通過本節(jié)學(xué)習(xí)，我們進(jìn)一步熟悉了三角函數(shù)公式及

8、三角形的有關(guān)性質(zhì)，綜合運(yùn)用了正、余弦定理求解三角形的有關(guān)問題，要求大家注意常見解題方法與解題技巧的總結(jié)，不斷提高三角形問題的求解能力五、課后作業(yè)：課后記： 1正、余弦定理的綜合運(yùn)用余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若將正弦定理代入得：sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA這是只含有三角形三個角的一種關(guān)系式，利用這一定理解題，簡捷明快，舉例:例1在ABC中，已知sin2Bsin2Csin2AsinAsinC，求B的度數(shù)解：由定理得sin2Bsin2Asin2C2sinAsinCcosB，2sinAsinCcosBsinAsinCsinAsinC0 cos B150°

9、;例2求sin210°cos240°sin10°cos40°的值解：原式sin210°sin250°sin10°sin50°在sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA，令B10°，C50°，則A120°sin2120°sin210°sin250°2sin10°sin50°cos120°sin210°sin250°sin10°sin50°（）2例3在ABC中，已知2cosBsinCsinA，試判定ABC的形狀解：在原等式兩邊同乘以sinA得：2cosBsinAsinCsin2A，由定理得sin2Asin2Csin2sin2A， sin2Csin2BBC故ABC是等腰三角形2一題多證:例4在ABC中已知a2bcosC，求證：ABC為等腰三角形證法一：欲證ABC為等腰三角形可證明其中有兩角相等，因而在已知條件中化去邊元素，使只剩含角的三角函數(shù)由正弦定理得a2bcosC，即2cosC·sinBsinAsin（BC）sinBcosCcosBsinCsinBcosCcosBsinC0 即