高中數(shù)學(xué)公式平面向量

1、平面向量1.兩個向量平行的充要條件,設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),為實數(shù)。（1）向量式：ab(b0)a=b;（2）坐標(biāo)式：ab(b0)x1y2x2y1=0;2.兩個向量垂直的充要條件, 設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2), （1）向量式：ab(b0)ab=0; （2）坐標(biāo)式：abx1x2+y1y2=0;3.設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=x1x2+y1y2;其幾何意義是ab等于a的長度與b在a的方向上的投影的乘積；4.設(shè)A（x1,x2）、B(x2,y2)，則SAOB；5.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示：（1）若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=x1x

2、2+y1y2;（2）若a=(x,y),則a2=aa=x2+y2,;十、向量法1、設(shè)直線的方向向量分別是，平面的法向量分別是，則：（1）線線平行：（2）線面平行：（3）面面平行：注意：這里的線線平行包括線線重合，線面平行包括線在面內(nèi)，面面平行包括面面重合.2、設(shè)直線的方向向量分別是，平面的法向量分別是，則：（1）線線垂直：（2）線面垂直：（3）面面垂直：3、設(shè)直線的方向向量分別是，平面的法向量分別是，則：（1）直線所成的角， （2）直線與平面所成的角，（3）平面與平面所成的二面角的平面角，教學(xué)過程：二、新課講授1. 定義：我們把空間中具有大小和方向的量叫做空間向量向量的大小叫做向量的長度或模.3

3、. 空間向量的加法與數(shù)乘向量的運算律加法交換律： + = + ；加法結(jié)合律：( + ) + =+ ( + )；數(shù)乘分配律：( + ) = +；數(shù)乘結(jié)合律：(u) =(u) 4. 推廣：； 方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量由于任何一組平行向量都可以平移到同一條直線上，所以平行向量也叫做共線向量向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)，使.稱平面向量共線定理，二、新課講授1.定義：與平面向量一樣，如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量平行于記作/2關(guān)于空間共線向量的結(jié)論有共線向量定理及其推論： 共線向量定理：空間任意兩個向量、（0），/的充

4、要條件是存在實數(shù)，使.理解：上述定理包含兩個方面：性質(zhì)定理：若（0），則有，其中是唯一確定的實數(shù)。判斷定理：若存在唯一實數(shù)，使（0），則有（若用此結(jié)論判斷、所在直線平行，還需（或）上有一點不在（或）上）.對于確定的和，表示空間與平行或共線，長度為 |，當(dāng)>0時與同向，當(dāng)<0時與反向的所有向量.3. 推論：如果l為經(jīng)過已知點A且平行于已知非零向量的直線，那么對于任意一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t滿足等式 平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對這一平面內(nèi)的任意一個向量a，有且只有一對實數(shù)1、2，使a1e12e2.其中不共線向量e1、e2叫做表

5、示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底1. 定義：如果表示空間向量a的有向線段所在直線與已知平面平行或在平面內(nèi)，則稱向量a平行于平面，記作a/向量與平面平行，向量所在的直線可以在平面內(nèi)，而直線與平面平行時兩者是沒有公共點的2. 定義：平行于同一平面的向量叫做共面向量共面向量不一定是在同一平面內(nèi)的，但可以平移到同一平面內(nèi)5. 得出共面向量定理：如果兩個向量a、b不共線，則向量p與向量a、b共面的充要條件是存在實數(shù)對x，y，使得 p= xa+yb 證明：必要性：由已知，兩個向量a、b不共線 向量p與向量a、b共面 由平面向量基本定理得：存在一對有序?qū)崝?shù)對x，y，使得 p= xa+yb充分性：如圖，xa，y

6、b分別與a、b共線， xa，yb都在a、b確定的平面內(nèi)又xa+yb是以xa、yb為鄰邊的平行四邊形的一條對角線所表示的向量，并且此平行四邊形在a、b確定的平面內(nèi)， p= xa+yb在a、b確定的平面內(nèi)，即向量p與向量a、b共面說明：當(dāng)p、a、b都是非零向量時，共面向量定理實際上也是p、a、b所在的三條直線共面的充要條件，但用于判定時，還需要證明其中一條直線上有一點在另兩條直線所確定的平面內(nèi)6. 共面向量定理的推論是：空間一點P在平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x，y，使得， 或?qū)τ诳臻g任意一定點O，有 分析：推論中的x、y是唯一的一對有序?qū)崝?shù)； 由得：， 1. 兩個非零向量夾角的概念：已

7、知兩個非零向量a與b，在空間中任取一點O，作a，b，則AOB叫做向量a與b的夾角，記作a,b說明：規(guī)定：a，b當(dāng)a、b時，a與b同向；當(dāng)a、b時，a與b反向；當(dāng)a、b時，稱a與b垂直，記ab 兩個向量的夾角唯一確定且a,bb,a 注意：在兩向量的夾角定義中，兩向量必須是同起點的a,b(a,b)2. 兩個向量的數(shù)量積：已知空間兩個向量a與b，|a|b|cosa、b叫做向量a、b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b|a|b|cosa,b.說明：零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0·a；符號“· ”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替.幾何意

8、義：已知向量a和軸l，e是l上和l同方向的單位向量作點A在l上的射影A，點B在l上的射影B，則叫做向量在軸l上或在e方向上的正射影，簡稱射影可以證明：cosa,ea·e說明：一個向量在軸上的投影的概念，就是a·e的幾何意義3. 空間數(shù)量積的性質(zhì)：根據(jù)定義，空間向量的數(shù)量積和平面向量的數(shù)量積一樣，具有以下性質(zhì)：a·ea·cosa,e；aba·b當(dāng)a與b同向時，a·ba·b；當(dāng)a與b反向時，a·ba·b.特別地，a·aa2或a.cosa,b;a·ba·b.4. 空間向量數(shù)量積的運

9、算律：與平面向量的數(shù)量積一樣，空間向量的數(shù)量積有如下運算律：(a)·b(a·b)a·(b) (數(shù)乘結(jié)合律)； a·bb·a (交換律)；a·(bc)a·ba·c (分配律)說明：(a·b)ca（b·）；有如下常用性質(zhì)：a2a2，(ab)2a2a·bb23. 空間向量的坐標(biāo)表示：給定一個空間直角坐標(biāo)系和向量a，且設(shè)i、j、k為坐標(biāo)向量，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使aijk空間中相等的向量其坐標(biāo)是相同的討論：向量坐標(biāo)與點的坐標(biāo)的關(guān)系？向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)的求法：設(shè)A，B，則5. 兩個向量共線或垂直的判定：設(shè)a，b，則a/bab，；aba·b=0 向量的模：設(shè)a，b，求這兩個向量的模.a，b這兩個式子我們稱為向量的長度公式這個公式的幾何意義是表示長方體的對角線的長度2. 夾角公式推導(dǎo)：a·b|a|b|cosa,b··cosa,b由此可以得出：cosa,b這個公式成為兩個向量的夾角公式利用這個共識，我們可以求出兩個向量的夾角，并可以進一步得出兩個向量的某些