上海大學(xué)數(shù)值分析歷屆考題

1、【精品文檔】如有侵權(quán)，請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除，僅供學(xué)習(xí)與交流上海大學(xué)數(shù)值分析歷屆考題.精品文檔.數(shù)值分析歷屆考題03-04學(xué)年秋季學(xué)期一 簡(jiǎn)答題（每小題5分）1. 數(shù)值計(jì)算中要注意哪些問(wèn)題。答：第一、兩個(gè)相近的數(shù)應(yīng)避免相減。第二、絕對(duì)值很小的數(shù)應(yīng)避免作除數(shù)。第三、注意選取適當(dāng)?shù)乃惴p少運(yùn)算次數(shù)。第四、兩個(gè)絕對(duì)值相差很大的數(shù)運(yùn)算時(shí)，注意“機(jī)器零”的問(wèn)題。第五、注意算法的收斂性和穩(wěn)定性。2. 用迭代法求解非線性方程時(shí)，迭代收斂的條件是什么，可以用什么方法來(lái)確定初值。答：對(duì)于非線性方程（其迭代格式為），如果滿足：（1） 當(dāng)時(shí)，；（2） 在上連續(xù)，且對(duì)任意的都有。則有結(jié)論：對(duì)任意給定的，由迭代格式，k=0,1

2、,2,產(chǎn)生的序列收斂于，即迭代收斂。可以用二分法來(lái)確定初值。3. 用消元法求解線性方程組時(shí)，為什么要選主元。答：因?yàn)橛煤?jiǎn)單高斯消元法求得的近似解與精確解相差甚遠(yuǎn)，其主要原因是絕對(duì)值很小的數(shù)作除數(shù)，導(dǎo)致了誤差的快速增長(zhǎng)。為了避免這種情況的發(fā)生，我們可以通過(guò)行交換，在需要消元的列中，取絕對(duì)值最大者作為主對(duì)角線元素（即主元），計(jì)算效果將得到改善。4. 矩陣的條件數(shù)是什么，它對(duì)求解線性方程組有什么影響。答：對(duì)于n階可逆方陣A，正實(shí)數(shù)|稱為A的條件數(shù)，記為cond(A)。條件數(shù)對(duì)于線性方程組Ax=b的影響如下：，其中為A精確時(shí)b產(chǎn)生的誤差；，其中為b精確時(shí)A產(chǎn)生的誤差。5. 把下列二階常微分方程的初值問(wèn)

3、題化為一階常微分方程組，并寫出求解該方程的改進(jìn)Euler方法。答：令則，其中。所以用改進(jìn)的Euler方法表示為：二 （20分）給出數(shù)據(jù)表x012f(x)212f(x)-1求一個(gè)滿足插值條件的三次插值多項(xiàng)式，并寫出余項(xiàng)公式。解：先求出滿足函數(shù)值插值條件，i=0，1，2的二次插值多項(xiàng)式。ixf(x)一階差商二階差商102211-132211由牛頓插值公式：令，其中A是待定常數(shù)，則，由已知條件，代入可得：所以。其插值余項(xiàng)為，其中。三 （20分）給出數(shù)據(jù)表x0.10.20.40.5y10.80240.61740.53023用最小二乘法求擬合曲線（保留3位小數(shù)）。解：對(duì)于曲線，令，得。把x，y的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換

4、為t，z的數(shù)據(jù)（取3位有效數(shù)字）：t=1/x2.002.505.0010.0z=1/y1.891.621.251.00對(duì)于，其法方程組為：其中：數(shù)據(jù)代入后得法方程組為；解得。所以擬合曲線為。四 （15分）確定下列求積公式的系數(shù)，使公式成為Guass型求積公式解：通過(guò)待定系數(shù)法：當(dāng)時(shí)，有（1）當(dāng)時(shí)，有（2）當(dāng)時(shí)，有（3）由此得到一個(gè)關(guān)于未知數(shù)，的線性方程組：；解得。五 （20分）證明：對(duì)任意參數(shù)t（）下列求解常微分方程初值問(wèn)題的算法，其局部截?cái)嗾`差都是c：證：令，則（1）對(duì)作泰勒展開(kāi)得：代入到（1）式中：由于在的條件下。即對(duì)任意參數(shù)t，上述求解微分方程初值問(wèn)題的算法其局部截?cái)嗾`差都是。六 （16

5、分）證明：下列求解常微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值方法，其局部截?cái)嗾`差為。證：在的條件下將上述兩式代入中，可得：由于在的條件下。所以上述求解微分方程初值問(wèn)題的算法其局部截?cái)嗾`差都是。05-06學(xué)年秋季學(xué)期一 簡(jiǎn)答題（每小題4分，共20分）1. 設(shè)x=0.06020，y=0.0418是按四舍五入得到的近似值，則x+y，xy的絕對(duì)誤差限，相對(duì)誤差限，有效數(shù)字各是多少。答：，；所以x+y三位有效，；所以x/y三位有效，2. 同03-04學(xué)年秋季學(xué)期第一題33. 在解線性方程組時(shí)，原始數(shù)據(jù)的誤差對(duì)解的影響如何；對(duì)病態(tài)方程組可以采用什么方法處理。答：原始數(shù)據(jù)的誤差對(duì)于線性方程組Ax=b的影響如下：，其中為A精確

6、時(shí)b產(chǎn)生的誤差；，其中為b精確時(shí)A產(chǎn)生的誤差；其中cond(A)=|為條件數(shù)。對(duì)于病態(tài)方程組，可以使用迭代改善的方法處理。4. 給出三個(gè)等距節(jié)點(diǎn)，及其相應(yīng)的函數(shù)值，試導(dǎo)出二階數(shù)值導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式。答：以這三個(gè)點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)的基本插值多項(xiàng)式為：求二階導(dǎo)得：，設(shè)，i=0，1，2。則。5. 用數(shù)值方法求解常微分方程時(shí)，怎樣選擇合適的步長(zhǎng)。答：先選取一個(gè)步長(zhǎng)h，計(jì)算和，如果，則將步長(zhǎng)逐次減半，直到為止。如果對(duì)于初始步長(zhǎng)h，就有，則嘗試將步長(zhǎng)逐次加倍，知道滿足的最大步長(zhǎng)。二 （16分）給出數(shù)據(jù)表x123f(x)2412f(x)3求一個(gè)3次插值多項(xiàng)式；并證明其余項(xiàng)公式為解：先求出滿足函數(shù)值插值條件，i=0，1，2

7、的二次插值多項(xiàng)式。ixf(x)一階差商二階差商1122242331283由牛頓插值公式：令，其中A是待定常數(shù)，則，由已知條件，代入可得：所以。由插值條件可知，是R(x)的二重零點(diǎn)，和是R(x)的單重零點(diǎn)，所以，其中K(x)是待定函數(shù)。令，當(dāng)?shù)?階導(dǎo)數(shù)連續(xù)時(shí)，反復(fù)用羅爾定理，可得，所以。三 （16分）給出一組數(shù)據(jù)X1.001.251.501.752.00Y8.467.456.535.795.10用最小二乘法求擬合曲線。解：對(duì)于曲線，兩邊取對(duì)數(shù)得：令，則可得到：把x，y的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為t，z的數(shù)據(jù)（取3位有效數(shù)字）：t=1/x0.5000.5710.6670.8001.00z=lny1.631.761

8、.882.012.14對(duì)于，其法方程組為：其中：數(shù)據(jù)代入后得法方程組為；解得。所以擬合曲線為。四 （16分）用龍貝格方法求下列積分，要求5位有效數(shù)字。解：；五 （16分）對(duì)于非線性方程f(x)=0，求證：改進(jìn)的牛頓迭代格式：，k=0，1，在單根附近是至少三階收斂的。并判別該方法對(duì)重根是幾階收斂。解：（1）在單根的情況下，設(shè)是的單重根。所以是的二重零點(diǎn)，即該迭代格式是三階收斂的。（2）在重根的情況下，設(shè)是的m重根。（m1）則，且，同理：這時(shí)：由于m為大于1的整數(shù)，所以顯然，所以在重根情況下題設(shè)迭代法線性收斂。（一階收斂）06-07學(xué)年冬季學(xué)期一、 簡(jiǎn)答題(每小題4分，共20分)1. 設(shè)x=-0.

9、0307，y=1.230是按四舍五入得到的近似值，則x-y，x/y的絕對(duì)誤差限，相對(duì)誤差限，有效數(shù)字各是多少。答：，；所以x-y三位有效，；所以x/y三位有效，2. 插值型數(shù)值積分方法的基本原理是什么，其截?cái)嗾`差是什么。答：基本原理：，其中是的n次插值多項(xiàng)式。截?cái)嗾`差：3. 寫出求解非線性方程組，i=1,2,n一般迭代法的迭代格式和收斂條件。答：一般迭代法的格式：，i=1,2,n，其中：是的等價(jià)方程。當(dāng)，時(shí)收斂。4. 同03-04秋季學(xué)期第一題45. 把下列二階常微分方程的初值問(wèn)題化為一階常微分方程組的初值問(wèn)題，并寫出數(shù)值求解的歐拉格式。答：令則，其中。所以用歐拉形式表示為：，i=0,1,2,

10、n-1。二、 （16分）給出數(shù)據(jù)表x012f(x)129f(x)3用3次插值多項(xiàng)式求f(1.5)的近似值，并估計(jì)誤差：解：先求出滿足函數(shù)值插值條件，i=0，1，2的二次插值多項(xiàng)式。ixf(x)一階差商二階差商101212132973由牛頓插值公式：令，其中A是待定常數(shù)，則，由已知條件，代入可得：所以。三、 （16分）給出一組數(shù)據(jù)x1.001.251.501.752.00y5.105.796.537.458.46用最小二乘法求擬合曲線。解：對(duì)于曲線，兩邊取對(duì)數(shù)得：令，則可得到：把x，y的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為t，z的數(shù)據(jù)（取3位有效數(shù)字）：x1.001.251.501.752.00z=lny1.631.761.882.012.14對(duì)于，其法方程組為：其中：數(shù)據(jù)代入后得法方程組為；解得。所以擬合曲線為。