上海大學(xué)數(shù)值分析歷屆考題

1、【精品文檔】如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除，僅供學(xué)習(xí)與交流上海大學(xué)數(shù)值分析歷屆考題.精品文檔.數(shù)值分析歷屆考題03-04學(xué)年秋季學(xué)期一 簡答題（每小題5分）1. 數(shù)值計(jì)算中要注意哪些問題。答：第一、兩個(gè)相近的數(shù)應(yīng)避免相減。第二、絕對值很小的數(shù)應(yīng)避免作除數(shù)。第三、注意選取適當(dāng)?shù)乃惴p少運(yùn)算次數(shù)。第四、兩個(gè)絕對值相差很大的數(shù)運(yùn)算時(shí)，注意“機(jī)器零”的問題。第五、注意算法的收斂性和穩(wěn)定性。2. 用迭代法求解非線性方程時(shí)，迭代收斂的條件是什么，可以用什么方法來確定初值。答：對于非線性方程（其迭代格式為），如果滿足：（1） 當(dāng)時(shí)，；（2） 在上連續(xù)，且對任意的都有。則有結(jié)論：對任意給定的，由迭代格式，k=0,1

2、,2,產(chǎn)生的序列收斂于，即迭代收斂?？梢杂枚址▉泶_定初值。3. 用消元法求解線性方程組時(shí)，為什么要選主元。答：因?yàn)橛煤唵胃咚瓜ㄇ蟮玫慕平馀c精確解相差甚遠(yuǎn)，其主要原因是絕對值很小的數(shù)作除數(shù)，導(dǎo)致了誤差的快速增長。為了避免這種情況的發(fā)生，我們可以通過行交換，在需要消元的列中，取絕對值最大者作為主對角線元素（即主元），計(jì)算效果將得到改善。4. 矩陣的條件數(shù)是什么，它對求解線性方程組有什么影響。答：對于n階可逆方陣A，正實(shí)數(shù)|稱為A的條件數(shù)，記為cond(A)。條件數(shù)對于線性方程組Ax=b的影響如下：，其中為A精確時(shí)b產(chǎn)生的誤差；，其中為b精確時(shí)A產(chǎn)生的誤差。5. 把下列二階常微分方程的初值問

3、題化為一階常微分方程組，并寫出求解該方程的改進(jìn)Euler方法。答：令則，其中。所以用改進(jìn)的Euler方法表示為：二 （20分）給出數(shù)據(jù)表x012f(x)212f(x)-1求一個(gè)滿足插值條件的三次插值多項(xiàng)式，并寫出余項(xiàng)公式。解：先求出滿足函數(shù)值插值條件，i=0，1，2的二次插值多項(xiàng)式。ixf(x)一階差商二階差商102211-132211由牛頓插值公式：令，其中A是待定常數(shù)，則，由已知條件，代入可得：所以。其插值余項(xiàng)為，其中。三 （20分）給出數(shù)據(jù)表x0.10.20.40.5y10.80240.61740.53023用最小二乘法求擬合曲線（保留3位小數(shù)）。解：對于曲線，令，得。把x，y的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換

4、為t，z的數(shù)據(jù)（取3位有效數(shù)字）：t=1/x2.002.505.0010.0z=1/y1.891.621.251.00對于，其法方程組為：其中：數(shù)據(jù)代入后得法方程組為；解得。所以擬合曲線為。四 （15分）確定下列求積公式的系數(shù)，使公式成為Guass型求積公式解：通過待定系數(shù)法：當(dāng)時(shí)，有（1）當(dāng)時(shí)，有（2）當(dāng)時(shí)，有（3）由此得到一個(gè)關(guān)于未知數(shù)，的線性方程組：；解得。五 （20分）證明：對任意參數(shù)t（）下列求解常微分方程初值問題的算法，其局部截?cái)嗾`差都是c：證：令，則（1）對作泰勒展開得：代入到（1）式中：由于在的條件下。即對任意參數(shù)t，上述求解微分方程初值問題的算法其局部截?cái)嗾`差都是。六 （16

5、分）證明：下列求解常微分方程初值問題的數(shù)值方法，其局部截?cái)嗾`差為。證：在的條件下將上述兩式代入中，可得：由于在的條件下。所以上述求解微分方程初值問題的算法其局部截?cái)嗾`差都是。05-06學(xué)年秋季學(xué)期一 簡答題（每小題4分，共20分）1. 設(shè)x=0.06020，y=0.0418是按四舍五入得到的近似值，則x+y，xy的絕對誤差限，相對誤差限，有效數(shù)字各是多少。答：，；所以x+y三位有效，；所以x/y三位有效，2. 同03-04學(xué)年秋季學(xué)期第一題33. 在解線性方程組時(shí)，原始數(shù)據(jù)的誤差對解的影響如何；對病態(tài)方程組可以采用什么方法處理。答：原始數(shù)據(jù)的誤差對于線性方程組Ax=b的影響如下：，其中為A精確

6、時(shí)b產(chǎn)生的誤差；，其中為b精確時(shí)A產(chǎn)生的誤差；其中cond(A)=|為條件數(shù)。對于病態(tài)方程組，可以使用迭代改善的方法處理。4. 給出三個(gè)等距節(jié)點(diǎn)，及其相應(yīng)的函數(shù)值，試導(dǎo)出二階數(shù)值導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式。答：以這三個(gè)點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)的基本插值多項(xiàng)式為：求二階導(dǎo)得：，設(shè)，i=0，1，2。則。5. 用數(shù)值方法求解常微分方程時(shí)，怎樣選擇合適的步長。答：先選取一個(gè)步長h，計(jì)算和，如果，則將步長逐次減半，直到為止。如果對于初始步長h，就有，則嘗試將步長逐次加倍，知道滿足的最大步長。二 （16分）給出數(shù)據(jù)表x123f(x)2412f(x)3求一個(gè)3次插值多項(xiàng)式；并證明其余項(xiàng)公式為解：先求出滿足函數(shù)值插值條件，i=0，1，2

7、的二次插值多項(xiàng)式。ixf(x)一階差商二階差商1122242331283由牛頓插值公式：令，其中A是待定常數(shù)，則，由已知條件，代入可得：所以。由插值條件可知，是R(x)的二重零點(diǎn)，和是R(x)的單重零點(diǎn)，所以，其中K(x)是待定函數(shù)。令，當(dāng)?shù)?階導(dǎo)數(shù)連續(xù)時(shí)，反復(fù)用羅爾定理，可得，所以。三 （16分）給出一組數(shù)據(jù)X1.001.251.501.752.00Y8.467.456.535.795.10用最小二乘法求擬合曲線。解：對于曲線，兩邊取對數(shù)得：令，則可得到：把x，y的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為t，z的數(shù)據(jù)（取3位有效數(shù)字）：t=1/x0.5000.5710.6670.8001.00z=lny1.631.761

8、.882.012.14對于，其法方程組為：其中：數(shù)據(jù)代入后得法方程組為；解得。所以擬合曲線為。四 （16分）用龍貝格方法求下列積分，要求5位有效數(shù)字。解：；五 （16分）對于非線性方程f(x)=0，求證：改進(jìn)的牛頓迭代格式：，k=0，1，在單根附近是至少三階收斂的。并判別該方法對重根是幾階收斂。解：（1）在單根的情況下，設(shè)是的單重根。所以是的二重零點(diǎn)，即該迭代格式是三階收斂的。（2）在重根的情況下，設(shè)是的m重根。（m1）則，且，同理：這時(shí)：由于m為大于1的整數(shù)，所以顯然，所以在重根情況下題設(shè)迭代法線性收斂。（一階收斂）06-07學(xué)年冬季學(xué)期一、 簡答題(每小題4分，共20分)1. 設(shè)x=-0.

9、0307，y=1.230是按四舍五入得到的近似值，則x-y，x/y的絕對誤差限，相對誤差限，有效數(shù)字各是多少。答：，；所以x-y三位有效，；所以x/y三位有效，2. 插值型數(shù)值積分方法的基本原理是什么，其截?cái)嗾`差是什么。答：基本原理：，其中是的n次插值多項(xiàng)式。截?cái)嗾`差：3. 寫出求解非線性方程組，i=1,2,n一般迭代法的迭代格式和收斂條件。答：一般迭代法的格式：，i=1,2,n，其中：是的等價(jià)方程。當(dāng)，時(shí)收斂。4. 同03-04秋季學(xué)期第一題45. 把下列二階常微分方程的初值問題化為一階常微分方程組的初值問題，并寫出數(shù)值求解的歐拉格式。答：令則，其中。所以用歐拉形式表示為：，i=0,1,2,

10、n-1。二、 （16分）給出數(shù)據(jù)表x012f(x)129f(x)3用3次插值多項(xiàng)式求f(1.5)的近似值，并估計(jì)誤差：解：先求出滿足函數(shù)值插值條件，i=0，1，2的二次插值多項(xiàng)式。ixf(x)一階差商二階差商101212132973由牛頓插值公式：令，其中A是待定常數(shù)，則，由已知條件，代入可得：所以。三、 （16分）給出一組數(shù)據(jù)x1.001.251.501.752.00y5.105.796.537.458.46用最小二乘法求擬合曲線。解：對于曲線，兩邊取對數(shù)得：令，則可得到：把x，y的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為t，z的數(shù)據(jù)（取3位有效數(shù)字）：x1.001.251.501.752.00z=lny1.631.761.882.012.14對于，其法方程組為：其中：數(shù)據(jù)代入后得法方程組為；解得。所以擬合曲線為。