數(shù)學(xué)歸納法說(shuō)課稿（鄒安宇）

1、數(shù)學(xué)歸納法說(shuō)課稿一、教材分析（1）歸納法是重要的思想方法。它所蘊(yùn)含的“觀察、猜想、歸納、證明”的思想不僅在數(shù)學(xué)各個(gè)分支廣泛應(yīng)用，而且也廣泛應(yīng)用于其它科學(xué)研究。 （2）數(shù)學(xué)歸納法是溝通有限與無(wú)限的橋梁，從而決定了它是一個(gè)重要的證明方法。它所包含的邏輯推理不是簡(jiǎn)單的三段論，而是一個(gè)無(wú)窮遞推，從而具有很強(qiáng)的邏輯性與抽象性。 （3）本節(jié)內(nèi)容安排在數(shù)列之后，極限之前，是學(xué)生從有限想象發(fā)展到無(wú)限想象的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。 （4）該法的實(shí)質(zhì)在于：將一個(gè)無(wú)法（或很難）窮盡驗(yàn)證的命題轉(zhuǎn)化為證明兩個(gè)普通命題“P（1）為真”和“P（K）為真則P（K1）為真”，從而達(dá)到證明目的。二、教學(xué)目標(biāo) （1）知識(shí)目標(biāo)：了解歸納法原理

2、，實(shí)質(zhì)上理解數(shù)學(xué)歸納法操作步驟。掌握運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)命題。 （2）能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的能力。培養(yǎng)學(xué)生探索問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力。促進(jìn)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯推理能力。 （3）情感目標(biāo)：創(chuàng)設(shè)思維情景，激發(fā)學(xué)生求知欲，激發(fā)學(xué)生探索問(wèn)題歸納結(jié)論的興趣和潛能。培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。三、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：（1）歸納法意義的認(rèn)識(shí)和數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過(guò)程的分析，這是掌握數(shù)學(xué)歸納法實(shí)質(zhì)的基礎(chǔ)與重要途徑。 （2）數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟和方法。難點(diǎn)：（1）對(duì)象的無(wú)限性。數(shù)學(xué)歸納法所證明的是無(wú)窮個(gè)命題P(1),P(2),P(3),P(4)為真，無(wú)法一一檢驗(yàn)，需要尋找一種好的方法來(lái)解決。

3、 （2）對(duì)數(shù)學(xué)歸納法第二步的真實(shí)作用不夠明確，所需要的邏輯知識(shí)不完全具備。學(xué)生所面臨的心理困難主要是：1.“n=k時(shí)，命題P(K)到底成立還是不成立？怎樣證明？” 2.既然成立，何必用假設(shè)兩個(gè)字呢？用“已知”不就得了。 3.“假設(shè)N=K時(shí)命題成立不就是假設(shè)原命題成立了嗎？” （3）對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的真實(shí)性表示困惑。為什么證明了“兩個(gè)”步驟就可以斷言命題對(duì)一切自然數(shù)都成立呢？ （4）對(duì)第二步不知道如何使用（甚至不使用）歸納假設(shè)，不能自覺(jué)尋找P(K1)與P(K)的關(guān)系。四、教法與學(xué)習(xí)方法 （1）教學(xué)中設(shè)計(jì)了從具體到抽象，從特殊到一般，暴露知識(shí)形成的完整過(guò)程，合理的應(yīng)用舉例、對(duì)比、概括、總結(jié)，并輔以現(xiàn)代

4、化的教學(xué)手段提高效率與直觀性。 （2）讓學(xué)生在認(rèn)知過(guò)程中，著重掌握元認(rèn)知過(guò)程。 （3）運(yùn)用對(duì)比，糾錯(cuò)的方法，使學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的理解認(rèn)識(shí)。五、教學(xué)環(huán)節(jié)及設(shè)計(jì)意圖（一）設(shè)置情景 激發(fā)興趣 先請(qǐng)同學(xué)們觀看一則古代笑話“萬(wàn)百千識(shí)字”的故事思考問(wèn)題1。設(shè)計(jì)意圖：（1）使深?yuàn)W、枯燥、抽象的數(shù)學(xué)課變得生動(dòng)有趣，充滿活力。從而培養(yǎng)起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情。（2）通過(guò)比較引出“不完全歸納法”與“完全歸納法”的概念。問(wèn)題1：今天有一個(gè)晚會(huì)，某人知道晚會(huì)的第一個(gè)節(jié)目是唱歌，第二個(gè)節(jié)目是唱歌，第三個(gè)節(jié)目是唱歌，第四個(gè)節(jié)目也是唱歌，那么他能斷定整個(gè)晚會(huì)是唱歌嗎？什么時(shí)候可以斷定呢？“僅考察部分特例而得出的一般

5、結(jié)論的推理方法叫“不完全歸納法”，它不可靠，所得結(jié)論不一定正確。只有對(duì)事物的所有情況加以考察以后，歸納所得的結(jié)論才是正確的，它稱為“完全歸納法”。（二）引導(dǎo)探索 尋找方案 引入數(shù)學(xué)歸納法 提出問(wèn)題：給出“不完全歸納法”與“完全歸納法”的概念后，指出不完全歸納法有的是正確的，有的是不正確的，我們需要逐一進(jìn)行驗(yàn)證。當(dāng)需要驗(yàn)證的對(duì)象有無(wú)限多個(gè)時(shí)，我們?cè)趺崔k呢？并在黑板舉出：例如：等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d那么對(duì)一切正自然數(shù)有，如何論證此結(jié)論呢？ 設(shè)計(jì)意圖：前面等差數(shù)列的通項(xiàng)公式已經(jīng)給出了，現(xiàn)在又重新提出來(lái)，勢(shì)必引起學(xué)生的思考：為什么需要論證，如何論證呢？從而引入這節(jié)課重點(diǎn)要解決的問(wèn)題。 為了引導(dǎo)學(xué)生

6、尋求解決問(wèn)題的方法，先請(qǐng)同學(xué)看下列兩個(gè)問(wèn)題，看是否能從中找到啟發(fā)。問(wèn)題2：今天有一個(gè)晚會(huì)，某人知道唱歌的節(jié)目后面是唱歌，那么他能判斷整個(gè)晚會(huì)是唱歌嗎？問(wèn)題3：今天有一個(gè)晚會(huì)，某人知道第一個(gè)節(jié)目是唱歌，并知道如果一個(gè)節(jié)目是唱歌那么它后面的節(jié)目也是唱歌，那么他能否判斷整個(gè)晚會(huì)的節(jié)目都是唱歌呢？通過(guò)上面兩個(gè)問(wèn)題的思考，請(qǐng)學(xué)生們用類似的思想設(shè)計(jì)一個(gè)方法證明等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，在老師的引導(dǎo)下，得到數(shù)學(xué)歸納法的初步輪廓。然后總結(jié)出數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟。設(shè)計(jì)意圖：（1）使抽象的原理寓于簡(jiǎn)單的事例當(dāng)中，通俗易懂。為深刻理解數(shù)學(xué)歸納法原理打好基礎(chǔ)。 （2）使學(xué)生自悟道理自尋方法，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神 （3）突破難

7、點(diǎn)1數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題P（n）的步驟是：（1）驗(yàn)證N取初始值時(shí)，命題成立，即成立 （2）假設(shè)N=K時(shí)命題成立，在這個(gè)基礎(chǔ)上，推證N=K+1時(shí)命題也成立，即P(K)正確P(K+1)正確給出數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟后，請(qǐng)同學(xué)回答為什么有這兩步成立就得出原命題成立？逐一和同學(xué)們一起分析在這兩步的基礎(chǔ)上為什么成立，成立，成立，成立設(shè)計(jì)意圖：（1）著重學(xué)生的元認(rèn)知過(guò)程，使有限的兩步在學(xué)生的腦海里形成無(wú)限的遞推，從而理解數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)。 （2）發(fā)展學(xué)生從有限到無(wú)限的思想，促進(jìn)學(xué)生邏輯思維與抽象思維的提高。 （3）突破難點(diǎn)2和難點(diǎn)3數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題P（n）的步驟是：（1）驗(yàn)證N取

8、初始值時(shí)，命題成立，即成立 （2）假設(shè)N=K時(shí)命題成立，在這個(gè)基礎(chǔ)上，推證N=K+1時(shí)命題也成立，即P(K)正確P(K+1)正確，從而有：正確正確正確（三）應(yīng)用舉例 率先垂范（在黑板上演示） 例1： 對(duì)這個(gè)例題著重講解第二步如何利用P(K)成立推證P(K+1)成立。向?qū)W生分析清楚為什么要利用歸納假設(shè)，如何利用歸納假設(shè)，為什么非用歸納假設(shè)不可。在推證P（K1）成立時(shí)，著重兩種方法：“拼湊法”與“分析法”設(shè)計(jì)意圖：發(fā)揮教師示范性的作用，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)歸納證明有關(guān)命題的步驟，并深刻理解重要環(huán)節(jié)。 突破難點(diǎn)4接下來(lái)再舉出例2（糾錯(cuò)題），設(shè)計(jì)成三個(gè)錯(cuò)誤的地方。（1）沒(méi)證明初始值 （2）在推證P(K+1)

9、成立時(shí)直接將歸納假設(shè)中的K換成K1就完了 （3）沒(méi)有用歸納假設(shè)例2 小明用數(shù)學(xué)歸納法證明了幾個(gè)命題（n為正自然數(shù)），請(qǐng)同學(xué)看看他證得是否正確： 證明：1）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，即有：; 那么n=k+1時(shí) 左邊= = = 所以n=k+1時(shí)也成立，故原命題成立。： 證明：1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1=右邊 2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，即有; 那么n=k+1時(shí) 左邊= = 所以n=k+1時(shí)也成立，故原命題成立。： 證明：1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1=右邊 2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，即有; 那么n=k=1時(shí)， 左邊= 所以n=k+1時(shí)也成立，故原命題成立。錯(cuò)誤點(diǎn)： （1）沒(méi)有第一步，第二步就成了空中樓閣，即使遞推關(guān)系

10、成立也沒(méi)用。 （2）”k”是具體的第k項(xiàng)，是實(shí)指，而第k+1項(xiàng)是緊跟它后面的項(xiàng)，第二步就是要證明一個(gè)事實(shí)：前面一項(xiàng)成立的基礎(chǔ)上可以推證出跟著它的一項(xiàng)成立。 （3）如果沒(méi)用到歸納假設(shè)，就沒(méi)有象多米若骨牌那樣的邏輯鏈接了，就不是教學(xué)歸納法了。 （四）反饋練習(xí)接下來(lái)給出一個(gè)練習(xí)題，請(qǐng)兩名同學(xué)上臺(tái)演板。設(shè)計(jì)意圖：講練結(jié)合，訓(xùn)練學(xué)生實(shí)際操作能力，反饋學(xué)生的掌握情況。在實(shí)際中找出學(xué)生易出錯(cuò)的問(wèn)題析錯(cuò)糾錯(cuò)。練習(xí)：用數(shù)學(xué)歸納法證明 （五）總結(jié)結(jié)論 強(qiáng)化認(rèn)識(shí)最后進(jìn)行小結(jié)目的是使知識(shí)在學(xué)生腦海中系統(tǒng)化，條理化，有重點(diǎn)。并培養(yǎng)學(xué)生概括總結(jié)的能力。小結(jié)： （1）歸納法是一種推理方法，數(shù)學(xué)歸納法是一般證明方法，歸納法幫我提出猜想，而數(shù)學(xué)歸納法是幫我們證明猜想 （2）數(shù)學(xué)歸納法的核心就是在驗(yàn)證正確的基礎(chǔ)上證明命題P(n)具有傳遞性，第一步是基礎(chǔ)是起點(diǎn)，第二步是遞推依據(jù)，因此二者缺一不可。 （3）“觀察猜想證明”是解決與自然數(shù)有