對坐標的曲線積分

1、10.2 對坐標的曲線積分一、概念的引入設一質(zhì)點在面內(nèi)從點沿光滑曲線弧移動到點,在移動過程中,該質(zhì)點受到變力的作用,其中函數(shù),在上連續(xù),現(xiàn)計算變力所作的功。在上任意地插入個點將劃分成個小弧段,且點的坐標為 。由于光滑且很短,可用有向線段來近似地代替它,其中,分別是在坐標軸上的投影。又因為函數(shù), 在上連續(xù),可用上任意一點處的力來近似地代替該小弧段上的變力。質(zhì)點沿有向小弧段移動時,變力所作功可近似地取為 從而 為得到的精確值,只需令,(是這個小弧段長度的最大者),對上述和式取極限。即 (1)(1)式右端和式的極限是又一類新的和式極限, 為此, 我們引入對坐標的曲線積分概念?！径x】設為面內(nèi)從點到點

2、的一條有向光滑曲線弧, 函數(shù),在上有界,用上的個點將分成個有向小弧段,設,是這個小弧段長度的最大者任取點如果極限 存在, 則此極限值就叫做函數(shù)在有向曲線弧上對坐標的曲線積分，記作 。類似地,如果極限存在,則此極限值就叫做函數(shù)在有向曲線弧上對坐標的曲線積分,并記作。即 其中:,叫做被積函數(shù),叫做積分弧段。注記:1、對坐標的曲線積分中的是有向弧段在軸上的投影, 它的值可正也可負。這與對弧長的曲線積分中的恒為正值是有區(qū)別的。2、應用中經(jīng)常出現(xiàn)這種形式,今后,可將之簡記成從而,變力沿有向曲線所作功可表成3、上述定義可推廣到積分曲線弧為空間有向曲線弧的情形并且 可簡記成形式4、對坐標的曲線積分存在定理若

3、,在有向光滑曲線弧上連續(xù),則 , 都存在。這一定理可類似地推廣到空間曲線的情形。二、對坐標曲線積分的性質(zhì)1、若將分成與, 且,的方向由的方向所決定的,則2、設是有向曲線弧,而是與方向相反的有向曲線弧,則這一性質(zhì)表明:對坐標的曲線積分應特別注意積分曲線弧的方向。3、若,是常數(shù),則三、對坐標曲線積分計算法【定理】設 ,在有向曲線弧上有定義且連續(xù)；曲線的參數(shù)方程為當參數(shù)單調(diào)地由變到時,點從的起點沿運動到終點；函數(shù),在以,為端點的區(qū)間上具有一階連續(xù)導數(shù),且則曲線積分存在,并且 (4)證明:在上任意地插入一系列點( 依從至的方向 )它們對應于參數(shù)值為這一列參數(shù)值是單調(diào)變化的。據(jù)對坐標的曲線積分定義有若設

4、點對應于參數(shù)值,那么應在與之間,且又 這里, 而在與之間。于是 因為函數(shù)在閉區(qū)間( 或)上連續(xù), 那么可將上式中的換成,從而而等價于,因此上式右端的和式極限就是定積分 。由于連續(xù),這個定積分存在,因此上式左端的曲線積分 也就存在,且有同理可證將兩式相加便得到了(4)式。幾種特殊情形的對坐標曲線積分1、如果由方程給出時,(4)式成為這里: 下限對應于的起點, 上限對應于的終點。2、如果由方程給出時,(4)式成為這里: 下限對應于的起點, 上限對應于的終點。3、公式(4)可方便地推廣到空間曲線由參數(shù)方程給出的情形這里:下限對應于的起點, 上限對應于的終點。【例1】計算, 其中為(1)、半徑為, 圓

5、心在原點依逆時針繞行的上半圓周；(2)、從點沿軸到點的直線段。解1:的參數(shù)方程為 時,對應于的起點,時,對應于的終點,解2:的方程為,時,對應于的起點；時,對應于的終點,此例表明: 兩個對坐標的曲線積分盡管被積函數(shù)相同, 積分曲線的起點與終點也相同,而積分曲線不同時,其值并不相同?！纠?】計算, 其中為(1)、拋物線上從到的一段弧；(2)、拋物線上從到的一段弧；(3)、有向折線,這里依次是, , 。解1、解2:解3:此例表明: 雖然沿不同的曲線弧,但第二類曲線積分的值可以是相同的。換句話說,計算曲線積分時, 積分值僅與起點, 終點的坐標有關, 而與連接這兩點的曲線形式無關。 四、兩類曲線積分的關系設有向曲線弧的起點為,終點為,取弧長為曲線弧的參數(shù),曲線的全長,這里。設曲線弧由參數(shù)方程給出,函數(shù) ,在 上具有一階連續(xù)的導數(shù),又函數(shù),在上連續(xù)。對坐標的曲線積分其中: 由萊布尼茲微分三角形可知: 與是有向曲線弧在點的切線向量