小波分析考試題及答案

1、一、敘述小波分析理論發(fā)展的歷史和研究現(xiàn)狀答：傅立葉變換能夠?qū)⑿盘柕臅r域和特征和頻域特征聯(lián)系起來，能分別從信號的時域和頻域觀察，但不能把二者有機的結(jié)合起來。這是因為信號的時域波形中不包含任何頻域信息，而其傅立葉譜是信號的統(tǒng)計特性，從其表達式中也可以看出，它是整個時間域內(nèi)的積分，沒有局部化分析信號的功能，完全不具備時域信息，也就是說，對于傅立葉譜中的某一頻率，不能夠知道這個頻率是在什么時候產(chǎn)生的。這樣在信號分析中就面臨一對最基本的矛盾時域和頻域的局部化矛盾。在實際的信號處理過程中，尤其是對非常平穩(wěn)信號的處理中，信號在任一時刻附近的頻域特征很重要。如柴油機缸蓋表明的振動信號就是由撞擊或沖擊產(chǎn)生的，是

2、一瞬變信號，單從時域或頻域上來分析是不夠的。這就促使人們?nèi)ふ乙环N新方法，能將時域和頻域結(jié)合起來描述觀察信號的時頻聯(lián)合特征，構(gòu)成信號的時頻譜，這就是所謂的時頻分析，亦稱為時頻局部化方法。為了分析和處理非平穩(wěn)信號，人們對傅立葉分析進行了推廣乃至根本性的革命，提出并開發(fā)了一系列新的信號分析理論：短時傅立葉變換、時頻分析、Gabor變換、小波變換Randon-Wigner變換、分數(shù)階傅立葉變換、線形調(diào)頻小波變換、循環(huán)統(tǒng)計量理論和調(diào)幅調(diào)頻信號分析等。其中，短時傅立葉變換和小波變換也是因傳統(tǒng)的傅立葉變換不能夠滿足信號處理的要求而產(chǎn)生的。短時傅立葉變換分析的基本思想是：假定非平穩(wěn)信號在不同的有限時間寬度內(nèi)

3、是平穩(wěn)信號，從而計算出各個不同時刻的功率譜。但從本質(zhì)上講，短時傅立葉變換是一種單一分辨率的信號分析方法，因為它使用一個固定的短時窗函數(shù)，因而短時傅立葉變換在信號分析上還是存在著不可逾越的缺陷。小波變換是一種信號的時間尺度（時間頻率）分析方法，具有多分辨率分析（Multi-resolution）的特點，而且在時頻兩域都具有表征信號局部特征的能力，使一種窗口大小固定不變，但其形狀可改變，時間窗和頻率窗都可以改變的時頻局部化分析方法。小波變換在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率。在高頻部分具有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率，很適合于探測正常信號中夾帶的瞬態(tài)反?，F(xiàn)象并展示其成分，所以被

4、譽為分析信號的顯微鏡。小波分析最早應用在地震數(shù)據(jù)壓縮中, 以后在圖像處理、故障診斷等方面取得了傳統(tǒng)方法根本無法達到的效果. 現(xiàn)在小波分析已經(jīng)滲透到了自然科學、應用科學等方面, 小波分析已成為國際研究熱點. 無論是傅里葉分析還是小波分析均以線性變換為基礎, 按非線性傅立葉分析提出了非線性小波變換, 這種非線性小波變換處理非線性問題更為有效.二、分析小波的基本定義答：小波(Wavelet)這一術語，顧名思義，“小波”就是小的波形。所謂“小”是指它具有衰減性；而稱之為“波”則是指它的波動性，其振幅正負相間的震蕩形式。與Fourier變換相比，小波變換是時間(空間)頻率的局部化分析，它通過伸縮平移運算

5、對信號(函數(shù))逐步進行多尺度細化，最終達到高頻處時間細分，低頻處頻率細分，能自動適應時頻信號分析的要求，從而可聚焦到信號的任意細節(jié)，解決了Fourier變換的困難問題，成為繼Fourier變換以來在科學方法上的重大突破。有人把小波變換稱為“數(shù)學顯微鏡”。小波分析方法是一種窗口大小（即窗口面積）固定但其形狀可改變，時間窗和頻率窗都可改變的時頻局部化分析方法，即在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率，在高頻部分具有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率。正是這種特性，是小波變換具有對信號的自適應性。小波分析被看成調(diào)和分析這一數(shù)學領域半個世紀以來的工作結(jié)晶，已經(jīng)和必將廣泛地應用于信號處理、圖像

6、處理、量子場論、地震勘探、語音識別與合成、音樂、雷達、CT成像、彩色復印、流體湍流、天體識別、機器視覺、機械故障診斷與監(jiān)控、分形以及數(shù)字電視等科技領域。原則上講，傳統(tǒng)上使用傅立葉分析的地方，都可以用小波分析取代。小波分析優(yōu)于傅立葉變換的地方是，它在時域和頻域同時具有良好的局部化性質(zhì)。設（表示平方可積的實數(shù)空間，即能量有限的信號空間），其傅立葉變換為。滿足允許條件（Admissible Condition）：時，我們稱為一個基本小波或母小波（Mother Wavelet）。將母函數(shù)經(jīng)伸縮和平移后，就可以得到一個小波序列。對于連續(xù)的情況，小波序列為 其中，a為伸縮因子，b為平移因子。對于離散的情況

7、，小波序列為 對于任意的函數(shù)的連續(xù)小波變換為其逆變換為小波變換的時頻窗口特性與短時傅立葉的時頻窗口不一樣。其窗口形狀為兩個矩形，窗口中心為，時窗寬和頻窗寬分別為和。其中僅僅影響窗口在相平面時間軸上的位置，而不僅影響窗口在頻率軸上的位置，也影響窗口的形狀。這樣小波變換對不同的頻率在時域上的取樣步長是調(diào)節(jié)性的：在低頻時小波變換的時間分辨率較差，而頻率分辨率較高；在高頻時小波變換的時間分辨率較高，而頻率分辨率較低，這正符合低頻信號變化緩慢而高頻信號變換迅速的特點。這便是它優(yōu)于經(jīng)典的傅立葉變換與短時傅立葉變換的地方。從總體上來說，小波變換比短時傅立葉變換具有更好的時頻窗口特性。三、小波分析是傅立葉分析

8、思想方法的發(fā)展與延拓，二者相輔相成，試對小波分析和傅立葉變換進行比較答：小波分析是傅立葉分析思想的發(fā)展與延拓，它自產(chǎn)生以來，就一直與傅立葉分析密切相關，他的存在性證明，小波基的構(gòu)造以及結(jié)果分析都依賴于傅立葉分析，二者是相輔相成的，兩者主要的不同點：1、傅立葉變換實質(zhì)是把能量有限信號f(t)分解到以exp(jt)為正交基的空間上去；小波變換的實質(zhì)是把能量有限信號f(t)分解到W-j和V-j所構(gòu)成的空間上去的。2、傅立葉變換用到的基本函數(shù)只有sin(t),cos(t),exp(jt)，具有唯一性；小波分析用到的函數(shù)（即小波函數(shù)）則具有多樣性，同一個工程問題用不同的小波函數(shù)進行分析有時結(jié)果相差甚遠。

9、小波函數(shù)的選用是小波分析運用到實際中的一個難點問題（也是小波分析研究的一個熱點問題），目前往往是通過經(jīng)驗或不斷地試驗（對結(jié)果進行對照分析）來選擇小波函數(shù)。3、在頻域分析中，傅立葉變換具有良好的局部化能力，特別是對于那些頻率成分比較簡單的確定性信號，傅立葉變換很容易把信號表示成各頻率成分的疊加和的形式，如sin(1t)+0.345sin(2t)+4.23cos(3t)，但在時域中傅立葉變換沒有局部化能力，即無法從f(t)的傅立葉變換中看出f(t)在任一時間點附近的性態(tài)。事實上，F(xiàn)(w)dw是關于頻率為w的諧波分量的振幅，在傅立葉展開式中，它是由f(t)的整體性態(tài)所決定的。4、在小波分析中，尺度a

10、的值越大相當于傅立葉變換中w的值越小。5、在短時傅立葉變換中，變換系數(shù)S(，)主要依賴于信號在-，+片段中的情況，時間寬度是2（因為是由窗函數(shù)g(t)唯一確定的，所以2是一個定值）。在小波變換中，變換系數(shù)Wf（a,b）主要依賴于信號在b-a，b+a）片斷中的情況，時-間寬度是2a，該時間的寬度是隨尺度a變化而變化的，所以小波變換具有時間局部分析能力。6、若用信號通過濾波器來解釋，小波變換與短時傅立葉變換不容之處在于：對短時傅立葉變換來說，帶通濾波器的帶寬f與中心頻率f無關；相反小波變換帶通濾波器的帶寬f則正比于中心頻率f。四、闡述多分辨分析的思想并給出MALLAT算法的表達式答：Meyer于1

11、986年創(chuàng)造性地構(gòu)造出具有一定衰減性的光滑函數(shù)，其二進制伸縮與平移構(gòu)成的規(guī)范正交基，才使小波得到真正的發(fā)展。1988年S.Mallat在構(gòu)造正交小波基時提出了多分辨分析（Multi-Resolution Analysis）的概念，從空間的概念上形象地說明了小波的多分辨率特性，將此之前的所有正交小波基的構(gòu)造法統(tǒng)一起來，給出了正交小波的構(gòu)造方法以及正交小波變化的快速算法，即Mallat算法。Mallat算法在小波分析中的地位相當于快速傅立葉變換算法在經(jīng)典傅立葉分析中的地位。定義：空間中的多分辨分析是指滿足如下性質(zhì)的一個空間序列：（1）調(diào)一致性：，對任意（2）漸進完全性：，（3）伸縮完全性：（4）平

12、移不變性：（5）Riesz基存在性：存在，使得構(gòu)成的Risez基。關于Riesz的具體說明如下：若是的Risez基，則存在常數(shù)A，B，且，使得：對所有雙無限可平方和序列，即 成立。滿足上述個條件的函數(shù)空間集合成為一個多分辨分析，如果生成一個多分辨分析，那么稱為一個尺度函數(shù)。關于多分辨分析的理解，我們在這里以一個三層的分解進行說明，其小波分解樹如圖所示。S從圖可以明顯看出，多分辨分析只是對低頻部分進行進一步分解，而高頻部分則不予以考慮。分解的關系為。另外強調(diào)一點這里只是以一個層分解進行說明，如果要進行進一步的分解，則可以把低頻部分分解成低頻部分和高頻部分，以下再分解以此類推。在理解多分解分析時，

13、我們必須牢牢把握一點：其分解的最終目的是力求構(gòu)造一個在頻率上高度逼近空間的正交小波基，這些頻率分辨率不同的正交小波基相當于帶寬各異的帶通濾波器。從上面的多分辨分析樹型結(jié)構(gòu)圖可以看出，多分辨分析只對低頻空間進行進一步的分解，使頻率的分辨率變得越來越高。MALLAT算法中包括兩個主要的過程，這就是分解過程和重構(gòu)過程。對于一個多分辨分析，以及信號，其中1、分解算法n 由于以及，故有：n 信號分析和處理是，常常需要知道它在各個閉子空間的小波系數(shù)。首先由其采樣值，經(jīng)計算得其中的系數(shù)，同時：n 其中和都是使用分解序列在偶整數(shù)點的抽樣，這稱為向下抽樣。小波分解2、重構(gòu)算法n 空間是空間和的值和，故有：則數(shù)列

14、、具有如下公式：小波重構(gòu)五、基于MATLAB，請自行選擇一個一維信號，采用DB3小波函數(shù)，進行3尺度分解與重構(gòu)。要求：（1）附上源程序；（2）繪出原始信號以及分解、重構(gòu)的結(jié)果圖。答：load leleccum; S=leleccum(1:1000);w=db3;Subplot(621);plot(s);Title(原始信號)；Dwtmode;cazpd,cdzpd=dwt(s,w);Lxtzpd=2*length(cazpd)Xzpd=idwt(cazpd,cazpd,w,lx);Subplot(622);plot(xzpd);Title(zpd模式重構(gòu)圖)；Dwtmode（sym）; cas

15、ym,cdsym=dwt(s,w);Lxtzpd=2*length(caspd)Xsym=idwt(casym,cdsym,w,lx);Subplot(625);plot(xsym);Title(sym模式重構(gòu)圖)；Dwtmode（spd）; casym,cdsym=dwt(s,w);Lxtzpd=2*length(caspd)Xsym=idwt(caspd,cdspd,w,lx);Subplot(626);plot(xspd);Title(spd模式重構(gòu)圖)；六、給出一個小波分析的應用實例 對于一給定的信號（信號序列文件名為leleccum.mat），利用小波分析對深夜時段信號分析答：源程序如下：