三重積分計算法

1、.第三節(jié)第三節(jié) 三重積分的計算法三重積分的計算法一、利用直角坐標計算三重積分一、利用直角坐標計算三重積分二、利用柱面坐標計算三重積分二、利用柱面坐標計算三重積分三、利用球面坐標計算三重積分三、利用球面坐標計算三重積分.( , , )f x y z dv 其其中中 是是空空間間有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域. . 可以用可以用直角坐標、柱面坐標直角坐標、柱面坐標和和球面球面坐標坐標來計算來計算.計算方法是將計算方法是將三重積分化為三次積分三重積分化為三次積分. 三重積分三重積分 ( , , )GfP dgf x y z dv .一、一、 利用直角坐標計算三重積分利用直角坐標計算三重積分dvdxdydz (

2、 , , )( , , )f x y z dvf x y z dxdydz 即即用平行于坐標面的平面族：用平行于坐標面的平面族：常數(shù)常數(shù)常數(shù)，常數(shù)，常數(shù)，常數(shù)， zyx去分割積分區(qū)域去分割積分區(qū)域, 除邊界外每個小塊都除邊界外每個小塊都是一個長方形，于是得到體積元素是一個長方形，于是得到體積元素. 12,zzx yzzx y 設設 如圖如圖,將將 向向xoy面投影面投影，得得 ,以以 的邊界為準的邊界為準線母線平行于線母線平行于z軸的柱面軸的柱面把把 分為下上兩個邊界：分為下上兩個邊界：xyDxyD( , )x yxyD1z2z1( )yy x2( )yy x ab1S2S1( , )zz x

3、 y 2( , )zz x y 12,xyx yDzzx yzx y 從從變變到到y(tǒng)zxO 12:,xyzx yzzx yx yD 于是于是.21( , )( , )( , , )( , , )xyzx yzx yDf x y z dvf x y z dz dxdy 則則 12:,xyzx yzzx yx yD 積分區(qū)域可表示為積分區(qū)域可表示為(先一后二）先一后二）.根據(jù)根據(jù)D是是X型域或型域或Y型域確定二重積分的型域確定二重積分的積分限，就得到三重積分公式積分限，就得到三重積分公式.2211( )( , )( )( , )( , , )( , , )bxzx yaxzx yf x y z d

4、vdxdyf x y z dz 若若D為為X型域，則有型域，則有這是先對這是先對z，次對，次對y，最后對，最后對x的三次積分的三次積分21( , )( , )( , , )( , , )xyzx yzx yDf x y z dvf x y z dz dxdy .xdv例例1 計算計算 ,其中其中 為三個坐標面為三個坐標面及平面及平面x2yz1所圍成的區(qū)域。所圍成的區(qū)域。 xyzO(0,0,1)C1(0,0)2B(1,0,0)AxyD :012 ,xyzxyx yD :012 ,xyzxyx yD 解解 在在xoy面上的投影為面上的投影為xyD若若 看成看成X型域，則型域，則xyD12xy 12

5、zxy , x y.123011(2)448xxxdx 10:012 ,:201xyxyzxy Dx 120 xyDxdvdxdyxdz 11122000 xxydxdyxdz 11200(12 )xxdxxy dy .例例2 將將 化為直角坐標系下的化為直角坐標系下的三次積分，其中三次積分，其中 是由平面是由平面 xyz1，xy1，x0，y0，z1圍成的區(qū)域。圍成的區(qū)域。 ( , , )f x y zdv 的下底是的下底是xyz1，上底是上底是z1，x0y1xyxyD1解解 的投影的投影 是是x+y=1，x=0，y=0圍成的三角形域圍成的三角形域，xyD.11( , , )( , , )xy

6、xyDf x y z dvdxdyf x y z dz 111001( , , )xxydxdyf x y z dz 01:11,:01xyyxxyzDx x0y1xyxyD1.2）截面法（先二后一）截面法（先二后一）21( , )( , )( , , )( , , )zx yzx yDf x y z dvf x y z dz dxdy 1）投影法（先一后二）投影法（先一后二） 計算三重積分時，先求一個二重積計算三重積分時，先求一個二重積分，再求一個定積分的方法分，再求一個定積分的方法. 設區(qū)域設區(qū)域 的的z值的最大值值的最大值過過 內任一點內任一點z，作水，作水平平面與平平面與 交出截面交出

7、截面 就就是二重積分的積分區(qū)域是二重積分的積分區(qū)域.ZD ，12,c c和最小值為和最小值為 和和 ，1c2cxyzOzDz1c2c 先在先在 上對上對x,y積分然后在積分然后在 上對上對z積分積分.12,c czD2）截面法（先二后一）截面法（先二后一） 12:,Zx yDczc.這樣得到這樣得到21( , , )( , , )zccDf x y z dvdzf x y z dxdy 先求出先求出 上的二重積分再求定積分上的二重積分再求定積分.ZD 12:,Zx yDczc先二后一先二后一此法常用于此法常用于 上的二重積分易求的情形上的二重積分易求的情形zD.例例3 計算計算 ，其中，其中

8、是由橢球是由橢球面面 所圍成的空間閉區(qū)域。所圍成的空間閉區(qū)域。 2222221xyzabc2z dxdydz czc 222222:1-zxyzDczcabc （) )解解 z的最小值和最大值為的最小值和最大值為 和和 ，即，即ccabcxyzO0DzDcz.222zzccccDDz dxdydzdzz dxdyz dzdxdy 的面積為的面積為zzDdxdyD 22222211(1)zzzababccc2222(1)cczz dxdydzzabdzc 42324()15cczabzdzabc .二二 用柱面坐標計算三重積分用柱面坐標計算三重積分zOxy ( , )P z在在xoy面上面上 就

9、是極坐標就是極坐標. , 設設M（x,y,z）為空間）為空間一點，如果將一點，如果將x，y，z改用另外三個數(shù)改用另外三個數(shù)來表示，則稱來表示，則稱為點為點M 的的柱面坐標柱面坐標。z , , ,z （）( , , )M x y z.三組坐標面三組坐標面：柱面與直角坐標的關系是柱面與直角坐標的關系是 ( , )P zOzxy( , , )Mz z常數(shù)常數(shù) （水平平面水平平面）常數(shù)常數(shù) （半平面半平面） 常數(shù)常數(shù) （圓柱面圓柱面）( , , )M x y z由圖可知由圖可知zz cosx siny (0,02 ,)z ),(yxP.三組坐標面族三組坐標面族去分割空間區(qū)域去分割空間區(qū)域 ，其任，其任

10、一小塊的體積一小塊的體積 可以可以近似近似看成以看成以 為底，為底， 為高的柱體體積。為高的柱體體積。vdzd d 體積元素體積元素dvd d dz ( , , )cos ,sin , )f x y z dvzfzd d d （ d xyzodzd d .( , , )( cos , sin , )f x y z dvfzd d dz 21( , )( , )( , , )( cos , sin , )Df x y zdvd dfz dz 因此因此 12:,xyzx yzzx yx yD 設設則積分區(qū)域在柱面坐標系下的表示為：則積分區(qū)域在柱面坐標系下的表示為： 12:,zD 在柱面坐標系下在柱

11、面坐標系下區(qū)域由直角變?yōu)橹孀鴺吮硎緟^(qū)域由直角變?yōu)橹孀鴺吮硎?則三重積分化為柱面坐標的三次積分則三重積分化為柱面坐標的三次積分：若若 12:,D 2211(, )(, )( , , )(cos ,sin , )f x y z dvddfz dz 21( , )( , )( , , )( cos , sin , )Df x y zdvd dfz dz .例例4 計算計算 其中其中 是由上半球面是由上半球面 和旋轉拋物面和旋轉拋物面 ,zdv 2224xyz(0)z 223xyz所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域.解解 將積分區(qū)域將積分區(qū)域 向向xoy面投影，得面投影，得22:3xyDxy .22034-

12、,:,302zD ：2222224,3:3xyxyzxyDxy ：xyD223xyz 224zxy 23z 柱面坐標柱面坐標24z zxyO.zdvz d d dz 224-,03,023z ：4232001(4)29dd 462302454 22234003ddzdz 134 .例例5 計算計算 其中其中 是由曲面是由曲面 與平面與平面 圍成的區(qū)域圍成的區(qū)域.,zdxdydz22zxy4z 解解 在在xoy面上的投影區(qū)域為圓域面上的投影區(qū)域為圓域:22:4xyDxy02,02 2z xzy22zxyD4z 2:4,02,02z .所以所以24Dzdxdydzd dzdz 222400ddzd

13、z 222001(16)2dd 22201642 8263 2:4,02,02z .22()Ixydv 例例6 6 計算計算其中其中 222,0,00 xyzxyza a 由由錐錐面面和和所所圍圍成成第第一一卦卦限限部部分分. .xD yzaza 222zyx ,z :,zaD 0,02a .2200aadddz 30()2aad 45245aaa 5.40a:, 0, 0,2zaa 22()Ixydv .問題問題 2220 xyzza a 由由錐錐面面和和所所圍圍成成. .若例若例6中的積分區(qū)域改為中的積分區(qū)域改為則則22()?xydv 答答 由對稱性，有由對稱性，有2222()4()Ixy

14、dvxydv yza.思考題思考題 在柱面坐標系下求三重積分可以看作在柱面坐標系下求三重積分可以看作在直角坐標系對在直角坐標系對 作單積分，然后在投作單積分，然后在投影區(qū)域影區(qū)域 上用極坐標作二重積分呢？上用極坐標作二重積分呢？zxyD答：可以答：可以.三、用球面坐標計算三重積分 設設M(x,y,z)為空間一點，為空間一點，如果將如果將x, y, z 改用另外改用另外三個數(shù)三個數(shù) r， ， 來表示來表示,則稱則稱 (r， ， )為點為點M 的的球面坐標球面坐標。xyzPxOyzMr常數(shù)（球面族）常數(shù)（球面族） r常數(shù)（圓錐族）常數(shù)（圓錐族） 常數(shù)（半平面）常數(shù)（半平面） (0,0,02 )r

15、.球面坐標與直角坐標的關系是球面坐標與直角坐標的關系是sin cossin sincosxryrzr xOyzxyzrAPMsinOPr (0,0,02 )r .分割空間區(qū)域分割空間區(qū)域 ，其任一小塊的體積，其任一小塊的體積v可以近似地看成是可以近似地看成是長為長為 、寬為寬為 、高為高為 的長方體體積的長方體體積rd sinrd dr drxyzodr dsinr rd d d sinr2sinvdvrdrd d 積分元素積分元素drrdsinrd drrd sinrd .2sindvrdrd d 體體積積元元素素2( , , )( , ,s)inf x y z dvF rrdrd d 其中

16、其中( , , )( sin cos , sin cos , cos )F rf rrr 一般將右端的形式化為先對一般將右端的形式化為先對r、次、次對對 、最后對、最后對 的三次積分來計算。的三次積分來計算。三重積分在球面坐標系下的形式：三重積分在球面坐標系下的形式：. 一般地，空間區(qū)域一般地，空間區(qū)域 包含原點在其內包含原點在其內部，邊界曲面為部，邊界曲面為 則有則有 ,rr (2)2000, ,( , , )sinrfx y z dvddF rrdr 例如例如 當當 為球面為球面 時時2222xyza 22000( , , )sinaddF rrdr ( , , )f x y z dv r

17、a 球球面面方方程程：.例例7 求半徑為求半徑為 的球面與半頂角的球面與半頂角為為 的內接圓錐的內接圓錐面所圍成的立體面所圍成的立體的體積的體積(如圖如圖). aOxyz2arM.解解 根據(jù)積分性質：根據(jù)積分性質： 的度量，的度量，GdgG Vdv 有有 將將 用球面坐標表示用球面坐標表示成不等式：成不等式：02 cos ,002ra Oxyz2arM.2sinVdvrdrd d 22 cos2000sinaddr dr 323008sincos3add 344(1cos)3a 22 cos2000sinaddrdr .思考題：思考題：球面方程球面方程柱面柱面球面球面2222xyza 222z

18、a ra 柱面方程柱面方程222xybsinrb b 直角直角坐坐標標系系1.填寫下表中的空格：填寫下表中的空格：.2. 計算重積分應怎樣選擇合適的坐標系？計算重積分應怎樣選擇合適的坐標系？應考慮哪兩個方面？哪個方面更重要些？應考慮哪兩個方面？哪個方面更重要些？（1）積分區(qū)域）積分區(qū)域（2）被積函數(shù)）被積函數(shù)積分區(qū)域邊界的積分區(qū)域邊界的表達式簡單，便表達式簡單，便于定限于定限被積函數(shù)的表達被積函數(shù)的表達式簡單，便于積式簡單，便于積分分相對而言，便于積分更重要一些相對而言，便于積分更重要一些.小小結結1.柱面坐標系下柱面坐標系下兩種坐標系下三重積分的計算兩種坐標系下三重積分的計算由柱面與直角坐標的關系由柱面與直角坐標的關系cossin(0,02 ,)xyzz z 有有( , )(cos,sin, )f x y z dvzfdzd d 體積元素體積元素. 2211(, )(, )( , , )(cos ,sin , )f x y z d