點線面的位置關(guān)系與平行關(guān)系---課件

1、精品教學課件設(shè)計| Excellent teaching plan點、線、面位置關(guān)系以及線面平行關(guān)系【知識點梳理】1、公理及推論公理1:如果一條直線的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線是所有的點都在這個平面內(nèi).用符號語言表示公理 1： A l,B l,A ,B l .公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi).公理2：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.符號：平面”和3相交，交線是a,記作 加3= a.符號語言：P AI B AI B l,P l .公理2作用：它是判定兩個平面相交的方法.它說明兩個平面的交線與兩個平面公共點之間的關(guān)系：交線必過公共點.它可以判斷點在直線上

2、，即證若干個點共線的重要依據(jù).公理3:經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面.推論：一直線和直線外一點確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一面.公理3及其推論作用：它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)；它是證明平面重合的依據(jù).公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行.2、空間直線與直線之間的位置關(guān)系(1)異面直線定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線.(2)異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交.(3)異面直線判定：過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不過該店的直線是異面直線.(4)異面直線所成角：作平行，令兩線相交，所得銳角或直角，即所成角.兩條異面直線所成角的范 圍是(0。，90 ,若兩

3、條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直.(5)求異面直線所成角步驟：A、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選在特殊的位置上.B、證明作出的角即為所求角.C、利用三角形來求角.(6)異面直線的距離： 兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段(公垂線段)的長度，叫做 兩條異面直線間的距離.(7)兩條異面直線的公垂線有且只有一條.(8)等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補.3、空間直線與平面之間的位置關(guān)系直線在平面內(nèi) 有無數(shù)個公共點.直線不在平面內(nèi)戶目交一一只有一個公共點.(就直線在平面外平行一一役有

4、公共點.三種位置關(guān)系的符號表不' ：a a； a A a= A; a / a.直線與平面平行、直線與平面相交稱為直線在平面外.4、平面與平面之間的位置關(guān)系：平行一沒有公共點： all 3；相交一有一條公共直線：加3= l.5、直線和平面平行的判定定理: 面平行.（記憶口訣：線線平行符號表示為：a , b如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個平線面平行）,a/ba/ .圖形如右圖所示.6、面面平行判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行.a ,b,a I b P用符號表不為：,/a/ ,b/圖形如右圖所示.7、直線和平面平行的性

5、質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過該直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行.（記憶口訣：線面平行線線平行）a/用符號表示為： aa/b .I b圖形如右圖所示.8、面面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行.用符號語言表示為： ，I a, I b a/b.其它性質(zhì)：，l l / ; ，l l ;夾在平行平面間的平行線段相等.圖形如右圖所示.【典型例題】 題型一、證明點或線共面、三點共線或三線共點問題例題1:如圖，已知空間四邊形 ABCD中，E、F、G、H分別是AB、AD、BC、CD上的點，且 EF交GH于P.求證：P在直線BD上.變式1:如圖，

6、在空間四邊形 ABCD中，點E、H分別是邊AB、AD的中點,點，且CFCBCGCD2,則(3(A) EF與GH互相平行(B) EF與GH異面(C) EF與GH的交點M可能在直線 AC上，也可能不在直線 AC上(D) EF與GH的交點M，定在直線AC上F、G分別是邊BC、CD上的變式2：如圖所示，設(shè) E , F , G , H分別是空間四邊形ABCD的邊AB, BC, CD, DA上的點，且AE AHCFAB ADCB(1) E, F , G ,CGCDH四點共面;(2)當時，四邊形EFGH是平行四邊形;(3)當時，四邊形EFGH是梯形.題型二、異面直線的判定或求異面直線所成的角例題2: A是A

7、BCD平面外的一點，E、F分別是BC、AD的中點,(1)求證：直線 EF與BD是異面直線;(2)若ACBD, AC=BD,求EF與BD所成的角.變式3:給出下列關(guān)于互不相同的直線 l,m,n和平面，的三個命題:若l,m為異面直線，l ,m ，則 / ；若 / , l , m ，則 l / /m;若 I l, I m, I n, l / / ,則 m/n,其中真命題的個數(shù)為（）A. 3B. 2C. 1D. 0題型三、直線與平面、平面與平面平行的判定 例題3:如圖所示，正方體ABCD A1B1C1D1中，側(cè)面對角線AB 1, BCi上分別有兩點E, F,且BiE=CiF.求證：EF/平面 ABCD

8、 .變式4: 一個多向體的直觀圖和二視圖如圖所不，其中M、N分別是 ABFG-GD時，在棱AD上確定一點P,使得GP平面FMC ,并給出證明.主視圖左視圖門-E. a.題型四、證明線面平行與線面平行性質(zhì)的運用例題4:如卜圖，兩個全等的止方形 ABCD和ABEF所在平囿相交于/證：MN /平面BCE.、AC的中點，G是DF上的一動點.當AB3BB , M e AC , N e FB 且 AM=FN ,求A.F11f7Dr /n/M/ B QEc一一A -F d4 ./ m/二葉-7N / B1rzz e 心二二一一一變式5:如下圖，設(shè)a、b是異面直線，AB是a、b的公垂線，過 AB的中點O作平面

9、”與a、b分別平行, M、N分別是a、b上的任意兩點，MN與“交于點P,求證：P是MN的中點.變式6：如圖所示，PA是圓柱的母線， ABCD為矩形，E,F,G分別是線段PA, PD, CD的中點，求證:PB/面 EFG .變式7：如圖，在長方體 ABCD A1B1C1D1中，E, P分別是BC,AQi的中點，M , N分別是AE, DQ的中點，求證：MN /面ADD1A .題型五：證明面面平行與面面平行性質(zhì)的運用例題5:如圖，在四錐P - ABCD中，M,N分別是側(cè)棱PA和底面BC邊的中點，O是底面平行四邊形 ABCD的對角線AC的中點.求證：過 O、M、N三點的平面與側(cè)面 PCD平行.凡變式

10、8:正方體ABCDAiBiCiDi中.(1)求證：平面 AiBD/平面BiDiC; (2)若E、F分別是AAi, CCi 的中點，求證：平面 EBDi/平面FBD.ABFC【方法與技巧總結(jié)】1 .位置關(guān)系：(1)兩條異面直線相互垂直證明方法：證明兩條異面直線所成角為 90o；證明線面垂直，得到線線垂直；(2)直線和平面相互平行證明方法：證明直線和這個平面內(nèi)的一條直線相互平行；利用平行四邊形. 利用三角形中位線.(3)面與面平行證明方法：主要證明線線平行即可.(4)掌握線性平行，線面平行，面面平行三者之間的相互轉(zhuǎn)化.2 .求角：(1)兩條異面直線所成的角求法：先通過其中一條直線或者兩條直線的平移

11、，找出這兩條異面直線所成的角，然后通過解三角形去求得；通過兩條異面直線的方向量所成的角來求得，但是注意到異面直線所成角得范圍是(0,；2(2)直線和平面所成的角：先找射影，構(gòu)造成直角三角形.【鞏固練習】1. A、B、C表示不同的點，a、l表示不同的直線,表示不同的平面，下列推理不正確的是 ()A. A l,A , B l, BC. l ,A l AB. A ,A , B ,BAB直線D. A,B,C , A,B,C 且A,B,C不共線 與重合2.對于直線 m、n和平面 ，下面命題中的真命題是(A .如果m ,n ,m、n是異面直線，那么nB.如果m ,n ,m、n是異面直線，那么 n與 相交C

12、.如果m , n / , m、n共面，那么m/ nD .如果m/ , n/ , m、n共面，那么 m/ n3 .有以下命題，正確命題的序號是 .直線與平面沒有公共點，則直線與平面平行；直線與平面內(nèi)的任何一條直線都不相交，則直線與平面平行;直線上有兩點，它們到平面的距離相等，則直線與平面平行;直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線不相交，則直線與平面平行.4 .在三棱錐P ABC中，O,D分別是AB,PB的中點.求證：OD/平面PAC.5 .如圖，在四B P ABCD中，底面ABCD是矩形，E, F分別是PB,PC的中點，證明：EF/平面PAD.6 .如圖所示，在三棱柱 ABC AB1C1中，D點為棱AB的中

13、點，求證：ACi /平面CDBi .4_7 .如圖，在四錐P ABCD中，底面ABCD為平行四邊形,平面ACM .。為AC中點，M為PD中點.證明：PB/8 .如圖，已知 DE / AB , 2AB=DE ,且F是CD的中點，求證： AF /平面BCE .A l2/ aC l2/ a或 l2 aD l2與a相交2.設(shè)平面 與平面交于直線l,直線a ，直線b,a b M ,則 M l.3.直線 AB、AD ,直線 CB、CD，點E AB,點F BC,點G CD,點H DA,若直線HE直線FG=M ,則點 M必在直線 上.9 .在棱長為a的正方體ABCD AB1C1D1中，E是線段A1C1的中點，

14、底面ABCD的中心是F ,求證：CE /平面AiBD .【課后作業(yè)】1.已知直線l1、l2,平面a, 1i/12, 1i / %則12與a的位置關(guān)系是（）4 .如圖，在棱長為 a的正方體 ABCD-A iBiCiDi中，M、N分別為AAi、C1D1的中點，過 D、M、N三點 的平面與直線 AiBi交于點P,則線段PBi的長為.5 .如圖，正方體 ABCD-A iBiCiDi中，對角線 BD i與過Ai、D、Ci的平面交于點 M,則BM : MDi=.（5題）（6題）6 .直線a、b不在平面 內(nèi)，a、b在平面 內(nèi)的射影是兩條平行直線，則a、b的位置關(guān)系是7 .正方體 ABCD-AiBiCiDi中

15、，E、F、G、H分別為AA i、CCi、CiDi、DiAi的中點，則四邊形EFGH的形狀是8 .空間四邊形ABCD 中，AD=i ,BC= 3 , BD= * , AC=立,且AD 2BC ,則異面直線AC和BD所成的角為,，八_ i _9 .在四麴t P ABCD中，AB/CD, AB DC,E為PD中點，F(xiàn)為PC中點.求證：AE / /平面PBC . 2Di0,如圖，矩形ABCD, AB為圓O的直徑，點F在圓。上，設(shè)FC的中點為M ,求證：OM /平面DAFii. M、N分別是正方體ABCD-A iBiCiDi 的棱 BB i、BiCi 的中點，（求MN與CDi所成的角.12 .如圖，已知

16、空間四邊形 ABCD的對角線AC=i4cm ,BD=i4cm ,M、N分別是AB ,CD的中點，MN= 7V3 cm,求異面直線AC與BD所成的角.13 .已知四面體ABCD中，M, N分別是 ABC和ACD的重心，求證:(1) BD平面 CMN ;(2) MN平面 ABD .EFGH14 .如圖，空間四邊形 ABCD被一平面所截，截面（1）求證：CD/平面 EFGH;（2）求異面直線 AB, CD所成的角.15 . M , N, P分別為空間四邊形 ABCD的邊AB , BC, CD上的點，且 AM : MB=CN : NB=CP : PD.求證:(1) AC平面 MNP , BD平面 MN

17、P;(2)平面 MNP與平面 ACD的交線/AC.【拓展訓練】1 .（四川卷）l1,l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是（）A. l1±l2,l21l3?1i/13B.l1±l2,l2/l3? l1 1 l3C. l1 / l2/l3? l1,l2, l3 共面D.l1, l2,l3 共點？ l1, l2, l3 共面2 .（浙江卷）若直線l不平行于平面”，且l %則（）A . a內(nèi)的所有直線與l異面B . a內(nèi)不存在與l平行的直線C. a內(nèi)存在唯一的直線與l平行D. a內(nèi)的直線與l都相交3 .（四川卷）下列命題正確的是（）A.若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則

18、這兩條直線平行B.若一個平面內(nèi)有三個點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行C.若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行D.若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行5 .（四川卷）如圖，在正方體 ABCD ABCiDi中，M、N分別是CD、CCi的中點，則異面直線 AiM與DN所成角的大小是 6 .如圖，ABCDEF A1B1C1D1E1F1是底面半徑為1的圓柱的內(nèi)接正六棱柱（底面是正六邊形，側(cè)棱垂直于底面），過FB作圓柱的截面交下底面于 C1E1 ,已知FC1 J13,證明：四邊形FBE1cl是平行四邊形.7 .如圖，四棱柱ABCD ABiCiDi的底面ABCD

19、是平行四邊形，E,F分別在棱BBi,DDi上，且AF / ECi ,求證：AE/FCi .【參考答案】i、鞏固練習答案i .【答案】C2 .【答案】C3.【答案】4 .【答案】因為，O,D分別為AB, PB的中點所以，OD/PA又因為，PA 平面PAC , OD 平面PAC所以，OD/平面PAC5 .【答案】因為，E,F分別是PB,PC的中點所有，EF/BC由題可得，AD/BC ,即AD/EF又因為，AD 平面PAD , EF 平面PAD所以，EF/平面PAD6 .【答案】連接CiB交CBi于點E,連接ED在平行四邊形BB1CC1中，E為CiB中點又因為D為AB中點所以，ED/CiA又因為，E

20、D 平面CDBi, CiA 平面CDBi所以，CiA/平面CDBi7 .【答案】證明：連接BD,MO在平行四邊形 ABCD中，因為。為AC的中點，所以。為BD的中點,又M為PD的中點，所以PB/MO因為PB 平面ACM , MO 平面ACM所以PB/平面ACM .8 .【答案】取CE中點P ,連結(jié)FP, BP ,L - , ,一 i _. F 為 CD 的中點，PF/ED,PF ED2pi又 AB/ED, AB -DE2.AB/PF, AB PF，ABFP為平行四邊形， AF/BP.又. AF 平面 BCE , BP 平面 BCE AF/平面 BCE9 .【答案】連接AF因為 AAi / BB

21、i / CCi , AAi BBi CCi,所以ACCiAi為平行四邊形，因此 AC/AiCi, AC ACi在正方形 ABCD中，F(xiàn)為中心，即F為AC中點由于E是線段AiCi的中點，所以FC/AE, FC AE,所以AiEFC為平行四邊形，即 FA1 /CE因為FA 面ABD , CE 平面AiBD ,所以CE /平面ABD2、課后作業(yè)答案1.【答案】C 2.3. BD4. 3a 5. 2:1 6.平行或異面47 .等腰梯形8. 9009 .【答案】證明：連接EF ,1E為PD中點.F為PC中點，則EF/CD,EF -CD21 因為 AB/CD, AB CD,2所以EF/AB,EF AB,則

22、四邊形 ABEF是平行四邊形.所以AE/BF因為AE不在平面PBC內(nèi)，BF在平面PBC內(nèi)，所以AE/平面PBC .10 .【答案】 設(shè)DF的中點為N ,則 MN / 1CD，又 AO / 1CD , 22則MN / AO ,四邊形MNAO為平行四邊形，OM / AN又AN 平面DAF , OM 平面DAF , OM / 平面 DAF .11 .解：（1）在正方體 ABCD-A 1B1C1D1 中，AD/B 1C1 B1C1與MN所成的銳角（或直角）是 AB、CD所成的角.A乙別是8/遇C的中點Z G= 900 n AA弭Af是等腰直角三角形&G =珥JB1NM=45 0MN與AD所成的

23、角為 450.（2）連接A1B,過M在面A1B中作A1B的平行線交 A1B1于點L,連接LN ,可以證明DC | 4月|=：. LM/D 1CLMN （或其補角）即為MN與CD1所成的角.“鬻?點卜尾刖中點3V砧LsJ | J2同理*小,=民LN= ；4G> =>必光是等邊三角形可以求得4月=。聲=4GLMN=60 0 MN與CDi所成的角為60°.12 .解：取BC的中點P,連接PM, PN,可證 MPN （或其補角）是異面直線 AC與BD所成的角,在 PMN 中，由 MP=NP=7 , MN=7j3,可得 cos MPN = 1 MPN =120 0.2，則異面直線A

24、C與BD所成的角為600.13 .連接AM , AN,并延長分別交 BC, CD于點E, F,連接EF,由M, N分別是 ABC和 ACD的重心，得E, F分別是BC, CD的中點,貝U EF/BD ,易證得 BD平面 CMN ;ASJ AV 2由,得 MN/EF ,可證 MN 平面 ABD .AC AF 314 . （1）由四邊形EFGH是矩形可得，EF/GH ,可證得EF平面BCD ,又因CD是過EF的平面ACD與平面BCD的交線，則 EF/CD ,所以CD平面EFGH .(2)由CD平面EFGH ,可證得 CD/GH ;同理可證 AB/GF ;FGH就是異面直線AB , CD所成的角（或補角）因為EFGH是矩形，所以 FGH=90 0,則異面直線ABCD所成的角為900.15.證明：（1）(2)JA/ CV-=A/Ar| JCMB NS