20122018全國卷圓錐曲線理科

1、2012-2018全國卷圓錐曲線解答題(理科)1(2012年全國高考新課標(biāo)卷理科第20題）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，已知以為圓心，為半徑的圓交于兩點(diǎn)（）若，的面積為，求的值及圓的方程（）若三點(diǎn)在同一直線上，直線與平行，且與只有一個(gè)公共點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)到距離的比值2(2013全國高考新課標(biāo)卷理科第20題）已知圓，圓，動(dòng)圓與外切并且與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線()求的方程；()是與圓,圓都相切的一條直線，與曲線交于兩點(diǎn)，當(dāng)圓的半徑最長時(shí)，求3(2014年全國高考新課標(biāo)卷理科第20題）已知點(diǎn)，橢圓：的離心率為，是橢圓的焦點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn)()求的方程；（）設(shè)過點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大

2、時(shí)，求的方程4(2015年全國高考新課標(biāo)卷理科第20題）在直角坐標(biāo)系中，曲線與直線交于兩點(diǎn)() 當(dāng)時(shí)，分別求在點(diǎn)和處的切線方程；() 軸上是否存在點(diǎn)，使得當(dāng)變動(dòng)時(shí)，總有？說明理由5(2016年全國高考新課標(biāo)卷理科第20題) (本小題滿分12分)設(shè)圓的圓心為，直線過點(diǎn)且與軸不重合，交圓于兩點(diǎn)，過作的平行線交于點(diǎn)(I)證明為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；(II)設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線交于兩點(diǎn)，過且與垂直的直線與圓交于兩點(diǎn)，求四邊形面積的取值范圍6. (2017年全國高考卷理科第20題) (本小題滿分12分)已知橢圓C：（a>b>0），四點(diǎn)P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4

3、（1，）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.（1）求C的方程；（2）設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn)。若直線P2A與直線P2B的斜率的和為1，證明：l過定點(diǎn).7(2018年全國高考卷理科第19題) (本小題滿分12分)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過的直線與交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)與軸垂直時(shí)，求直線的方程；設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：2012-2018全國卷圓錐曲線解答題(參考答案)1(2012年全國高考新課標(biāo)卷理科第20題）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，已知以為圓心，為半徑的圓交于兩點(diǎn)（）若，的面積為，求的值及圓的方程（）若三點(diǎn)在同一直線上，直線與平行，且與只有一個(gè)公共點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)到距離的比值 【解析】()由對稱性知

4、是等腰直角三角形，斜邊， 點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離， 由得 圓的方程為 （）由對稱性設(shè)，則 由點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱得，從而，所以 因此，直線，即 又，求導(dǎo)得，即，從而切點(diǎn) 又直線，即 故坐標(biāo)原點(diǎn)到直線距離的比值為 【考點(diǎn)分析】本小題主要考查直線、圓、拋物線等基礎(chǔ)知識(shí)，涉及到簡單的面積和點(diǎn)到直線的距離等基本計(jì)算問題，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力2(2013全國高考新課標(biāo)卷理科第20題）已知圓，圓，動(dòng)圓與外切并且與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線()求的方程；()是與圓,圓都相切的一條直線，與曲線交于兩點(diǎn)，當(dāng)圓的半徑最長時(shí)，求 【解析】由已知得圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑 設(shè)動(dòng)圓的圓心為，半徑為()因?yàn)閳A與圓外切且

5、與圓內(nèi)切，所以，且由橢圓的定義可知，曲線是以為左，右焦點(diǎn)，長半軸長為，短半軸長為的橢圓(左頂點(diǎn)除外)，其方程為 ()對于曲線上任意一點(diǎn)，由于，所以 當(dāng)且僅當(dāng)圓的圓心為時(shí)， 當(dāng)圓的半徑最長時(shí)，其方程為 當(dāng)?shù)膬A斜角為時(shí)，與軸重合，可得 當(dāng)?shù)膬A斜角不為時(shí)，由知不平行軸設(shè)與軸的交點(diǎn)為， 則，可求得， 設(shè)，由與圓相切得，解得 當(dāng)時(shí)，將代入 整理得 (*) 設(shè)，則是(*)方程的兩根所以， 當(dāng)時(shí)，由對稱性知 綜上，或 【考點(diǎn)分析】本小題主要考查直線、圓、橢圓等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力和方程思想3(2014年全國高考新課標(biāo)卷理科第20題）已知點(diǎn)，橢圓：的離心率為，是橢圓的焦點(diǎn)，直線的斜率為，為

6、坐標(biāo)原點(diǎn)()求的方程；（）設(shè)過點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的方程 【解析】()設(shè)，由條件知，得 又，所以，故的方程（）由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，方程為， 聯(lián)立直線與橢圓方程：，化簡得： ， 設(shè)，則， ， 且坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為 因此， 令，則 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立， 故當(dāng)，即，時(shí)的面積最大 此時(shí)，直線的方程為 【考點(diǎn)分析】本小題主要考查直線、橢圓、函數(shù)和不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識(shí)和方程思想4(2015年全國高考新課標(biāo)卷理科第20題）在直角坐標(biāo)系中，曲線與直線交于兩點(diǎn)() 當(dāng)時(shí)，分別求在點(diǎn)和處的切線方程；() 軸上是否存在點(diǎn)，使得

7、當(dāng)變動(dòng)時(shí)，總有？說明理由 【解析】（）由題設(shè)可得或 又，故在處的導(dǎo)數(shù)值為 在點(diǎn)處的切線方程為，即 處的導(dǎo)數(shù)值為 在點(diǎn)處的切線方程為，即 故所求切線方程為和 ()存在符合題意的點(diǎn)證明如下： 設(shè)為符合題意的點(diǎn)，直線的斜率分別為 將代入的方程，消去整理得， 則是該方程的兩根 故 從而 當(dāng)時(shí)，有，則直線的傾斜角與直線的傾斜角互補(bǔ)， 故 所以點(diǎn)符合題意 【考點(diǎn)分析】本小題主要考查直線、拋物線和導(dǎo)數(shù)的幾何意義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力和方程思想5(2016年全國高考新課標(biāo)卷理科第20題) (本小題滿分12分)設(shè)圓的圓心為，直線過點(diǎn)且與軸不重合，交圓于兩點(diǎn)，過作的平行線交于點(diǎn)(I)證明為定值

8、，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；(II)設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線交于兩點(diǎn)，過且與垂直的直線與圓交于兩點(diǎn)，求四邊形面積的取值范圍【解析】(I)因?yàn)?，故所以，故又圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，從而，所以由題設(shè)得，由橢圓的定義可得點(diǎn)的軌跡方程為，()；(II)（法一）當(dāng)與x軸不垂直時(shí)，設(shè)，由得則，所以過點(diǎn)且與垂直的直線，到的距離為， 所以 故四邊形的面積為 當(dāng)與x軸不垂直時(shí)，四邊形的面積的取值范圍為 當(dāng)與x軸垂直時(shí)，其方程為，四邊形的面積12 綜上，四邊形的面積的取值范圍為 （法二）；設(shè)， 因?yàn)椋O(shè)，聯(lián)立 得； 則； 圓心到距離， 所以， 【考點(diǎn)分析】主要考查直線與圓的位置關(guān)系、橢圓的定義、韋達(dá)定理、弦長公式等解析幾何常用知

9、識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力和方程思想已知橢圓C：（a>b>0），四點(diǎn)P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4（1，）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.（1）求C的方程；（2）設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn)。若直線P2A與直線P2B的斜率的和為1，證明：l過定點(diǎn).【考點(diǎn)】：圓錐曲線?！舅悸贰浚海?）根據(jù)橢圓的對稱性可以排除P1（1,1）。（2）聯(lián)立方程即可，此時(shí)有兩種方法聯(lián)立，第一種，假設(shè)直線AB的方程，第二種假設(shè)直線P2A和P2B?！窘馕觥浚海?）根據(jù)橢圓對稱性可得，P1（1,1）P4（1，）不可能同時(shí)在橢圓上，P3（1，），P4（1，）一定同時(shí)在橢圓上，因此可得橢圓經(jīng)過P2（0,1），P3（1，），P4（1，），代入橢圓方程可得：，故而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：。（2）由題意可得直線P2A與直線P2B的斜率一定存在，不妨設(shè)直線P2A為：,P2B為：.聯(lián)立，假設(shè)，此時(shí)可得：，此時(shí)可求得直線的