第三章離散傅立葉變換

1、第三章 離散傅立葉變換一、離散傅立葉級(jí)數(shù)計(jì)算題：1如果是一個(gè)周期為N的周期序列，那么它也是周期為2N的周期序列。把看作周期為N的周期序列有（周期為N）；把看作周期為2N的周期序列有（周期為2N）；試用表示。二、離散傅立葉變換定義填空題2某DFT的表達(dá)式是，則變換后數(shù)字頻域上相鄰兩個(gè)頻率樣點(diǎn)之間的間隔是（ ）。3某序列DFT的表達(dá)式是，由此可看出，該序列的時(shí)域長(zhǎng)度是（ ），變換后數(shù)字頻域上相鄰兩個(gè)頻率樣點(diǎn)之間隔是（ ）。4如果希望某信號(hào)序列的離散譜是實(shí)偶的，那么該時(shí)域序列應(yīng)滿足條件（ ）。 5采樣頻率為的數(shù)字系統(tǒng)中，系統(tǒng)函數(shù)表達(dá)式中代表的物理意義是 ），其中時(shí)域數(shù)字序列的序號(hào)代表的樣值實(shí)際位置是

2、（ ）；的N點(diǎn)DFT中，序號(hào)代表的樣值實(shí)際位置又是（ ）。6用8kHz的抽樣率對(duì)模擬語(yǔ)音信號(hào)抽樣，為進(jìn)行頻譜分析，計(jì)算了512點(diǎn)的DFT。則頻域抽樣點(diǎn)之間的頻率間隔為_(kāi),數(shù)字角頻率間隔為 _和模擬角頻率間隔 _。判斷說(shuō)明題：7一個(gè)信號(hào)序列，如果能做序列傅氏變換對(duì)它進(jìn)行分析，也就能做DFT對(duì)它進(jìn)行分析。 （ ）計(jì)算題8令表示N點(diǎn)的序列的N點(diǎn)離散傅里葉變換，本身也是一個(gè)N點(diǎn)的序列。如果計(jì)算的離散傅里葉變換得到一序列，試用求。9序列，其4點(diǎn)DFT如下圖所示?，F(xiàn)將按下列（1），（2），（3）的方法擴(kuò)展成8點(diǎn)，求它們8點(diǎn)的DFT？（盡量利用DFT的特性）（1） （2） （3） 10設(shè)是一個(gè)2N點(diǎn)的序列，

3、具有如下性質(zhì)： 另設(shè)，它的N點(diǎn)DFT為，求的2N點(diǎn)DFT和的關(guān)系。11試求以下有限長(zhǎng)序列的N點(diǎn)DFT（閉合形式表達(dá)式）（1） （2） 12計(jì)算下列序列的N點(diǎn)DFT： （1） （2），13已知一個(gè)有限長(zhǎng)序列 （1）求它的10點(diǎn)離散傅里葉變換（2）已知序列的10點(diǎn)離散傅立葉變換為，求序列（3）已知序列的10點(diǎn)離散傅立葉變換為，求序列14（1）已知序列：，求的N點(diǎn)DFT。（2）已知序列：，則的9點(diǎn)DFT是 正確否？用演算來(lái)證明你的結(jié)論。15一個(gè)8點(diǎn)序列的8點(diǎn)離散傅里葉變換如圖5.29所示。在的每?jī)蓚€(gè)取樣值之間插入一個(gè)零值，得到一個(gè)16點(diǎn)序列，即（1）求的16點(diǎn)離散傅里葉變換，并畫(huà)出的圖形。（2）設(shè)的

4、長(zhǎng)度N為偶數(shù)，且有，求。16計(jì)算下列有限長(zhǎng)序列的DFT，假設(shè)長(zhǎng)度為N。 （1） （2）17長(zhǎng)度為8的有限長(zhǎng)序列的8點(diǎn)DFT為，長(zhǎng)度為16的一個(gè)新序列定義為 試用來(lái)表示。18試計(jì)算的離散傅里葉變換的值。證明題：19設(shè)表示長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列的DFT。（1）證明如果滿足關(guān)系式則（2）證明當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，如果 則20令表示N點(diǎn)序列的N點(diǎn)離散傅里葉變換，（1）證明如果滿足關(guān)系式，則。（2）證明當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，如果，則。簡(jiǎn)答題：21在離散傅里葉變換中引起混迭效應(yīng)的原因是什么？怎樣才能減小這種效應(yīng)？22試說(shuō)明離散傅里葉變換與Z變換之間的關(guān)系。三、離散傅立葉變換性質(zhì)填空題：1已知序列，序列長(zhǎng)度，寫(xiě)出序列的值（

5、）。2已知，則和的5點(diǎn)循環(huán)卷積為（ ）。3已知?jiǎng)t的4點(diǎn)循環(huán)卷積為（ ）。證明題：4試證N點(diǎn)序列的離散傅立葉變換滿足Parseval恒等式 5是一個(gè)離散傅里葉變換對(duì)，試證明離散傅里葉變換的對(duì)稱性： 6長(zhǎng)為N的有限長(zhǎng)序列，分別為的圓周共軛偶部及奇部，也即證明：7若8若，求證。9令表示N點(diǎn)序列的N點(diǎn)DFT，試證明：（a）如果滿足關(guān)系式，則。（b）當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，如果，則。10設(shè)，求證。11證明：若為實(shí)偶對(duì)稱，即，則也為實(shí)偶對(duì)稱。計(jì)算題：12已知，用圓周卷積法求和的線性卷積。13序列，序列。（1）求線性卷積（2）若用基2 FFT的循環(huán)卷積法（快速卷積）來(lái)得到兩個(gè)序列的線性卷積運(yùn)算結(jié)果，F(xiàn)FT至少應(yīng)取多少

6、點(diǎn)？14有限長(zhǎng)為N=100的兩序列 做出示意圖，并求圓周卷積及做圖。15已知是長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列，現(xiàn)將的每?jī)牲c(diǎn)之間補(bǔ)進(jìn)個(gè)零值，得到一個(gè)長(zhǎng)為的有限長(zhǎng)序列 求：DFT與的關(guān)系。 16已知是N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列，?，F(xiàn)將長(zhǎng)度變成點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列 試求點(diǎn)DFT與的關(guān)系。17已知是N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列，?，F(xiàn)將的每?jī)牲c(diǎn)之間補(bǔ)進(jìn)個(gè)零值點(diǎn)，得到一個(gè)點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列 試求點(diǎn)DFT與的關(guān)系。18已知序列和它的6點(diǎn)離散傅立葉變換。（1）若有限長(zhǎng)序列的6點(diǎn)離散傅立葉變換為，求。（2）若有限長(zhǎng)序列的6點(diǎn)離散傅立葉變換為的實(shí)部，即，求。（3）若有限長(zhǎng)序列的3點(diǎn)離散傅立葉變換 ，求。19令表示N點(diǎn)序列的N點(diǎn)DFT，本身也是一個(gè)N點(diǎn)序列。如

7、果計(jì)算的DFT得到一序列，試用表示。20為了說(shuō)明循環(huán)卷積計(jì)算（用DFT算法），分別計(jì)算兩矩形序列的卷積，如果，求 （1）兩個(gè)長(zhǎng)度為6點(diǎn)的6點(diǎn)循環(huán)卷積。 （2）兩個(gè)長(zhǎng)度為6點(diǎn)的12點(diǎn)循環(huán)卷積。21設(shè)是一個(gè)2N點(diǎn)序列，具有如下性質(zhì) 另設(shè)，它的N點(diǎn)DFT為。求得2N點(diǎn)DFT和的關(guān)系。22已知某信號(hào)序列，試計(jì)算（2）和的循環(huán)卷積和；（3）和的線性卷積和；（4）寫(xiě)出利用循環(huán)卷積計(jì)算線性卷積的步驟。23如圖表示一個(gè)5點(diǎn)序列。（1）試畫(huà)出（2）試畫(huà)出簡(jiǎn)答題：24試述用DFT計(jì)算離散線性卷積的方法。25已知是兩個(gè)N點(diǎn)實(shí)序列的DFT值，今需要從求的值，為了提高運(yùn)算效率，試用一個(gè)N點(diǎn)IFFT運(yùn)算一次完成。四、頻域

8、取樣填空題：1從滿足采樣定理的樣值信號(hào)中可以不失真地恢復(fù)出原模擬信號(hào)。采用的方法，從時(shí)域角度看是（ ）；從頻域角度看是（ ）。2由頻域采樣恢復(fù)時(shí)可利用內(nèi)插公式，它是用（ ）值對(duì)（ ）函數(shù)加權(quán)后求和。3頻域N點(diǎn)采樣造成時(shí)域的周期延拓，其周期是（ ）。簡(jiǎn)答題：4 已知有限長(zhǎng)序列的變換為，若對(duì)在單位圓上等間隔抽樣點(diǎn)，且，試分析此個(gè)樣點(diǎn)序列對(duì)應(yīng)的IDFT與序列的關(guān)系。5FFT算法的基本思想是什么？6簡(jiǎn)述時(shí)域取樣定理和頻域取樣定理的基本內(nèi)容。計(jì)算題：7設(shè)是長(zhǎng)度為M的有限長(zhǎng)序列，其Z變換為今欲求在單位圓上N個(gè)等距離點(diǎn)上的采樣值，其中解答下列問(wèn)題（用一個(gè)N點(diǎn)的FFT來(lái)算出全部的值）（1）當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出用一個(gè)N點(diǎn)

9、FFT分別算出的過(guò)程； (2) 若求的IDFT，說(shuō)明哪一個(gè)結(jié)果和等效，為什么?8已知，今對(duì)其z變換在單位圓上等分采樣，采樣值為，求有限長(zhǎng)序列IDFT9研究一個(gè)長(zhǎng)度為M點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列,我們希望計(jì)算求z變換在單位圓上N個(gè)等間隔點(diǎn)上的抽樣，即在上的抽樣。當(dāng)時(shí)，試找出只用一個(gè)N點(diǎn)DFT就能計(jì)算的N個(gè)抽樣的方法，并證明之。10已知序列： ?，F(xiàn)在對(duì)它的Z變換在單位圓上進(jìn)行N等分取樣，取樣值為，求有限長(zhǎng)序列的IDFT。11對(duì)有限長(zhǎng)序列的Z變換在單位圓上進(jìn)行5等份取樣，得到取樣值，即求的逆傅里葉變換。12設(shè)下圖所示的序列的Z變換為，對(duì)在單位圓上等間隔的4點(diǎn)上取樣得到，即試求的4點(diǎn)離散傅里葉逆變換，并畫(huà)出的圖形

10、。四、用離散傅立葉變換對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)逼近問(wèn)題簡(jiǎn)答題：1理解DFT分析信號(hào)頻譜中出現(xiàn)的現(xiàn)象以及改善這些現(xiàn)象的方法?2補(bǔ)零和增加信號(hào)長(zhǎng)度對(duì)譜分析有何影響？是否都可以提高頻譜分辨率?3試說(shuō)明連續(xù)傅里葉變換采樣點(diǎn)的幅值和離散傅里葉變換幅值存在什么關(guān)系？4解釋DFT中頻譜混迭何頻譜泄漏產(chǎn)生的原因，如何克服或減弱？5解釋頻譜混迭、頻譜泄漏產(chǎn)生的原因，如何克服或減弱？6解釋頻譜混迭、頻譜泄漏產(chǎn)生的原因，如何克服或減弱？計(jì)算題：7用某臺(tái)FFT儀做譜分析。使用該儀器時(shí)，選用的抽樣點(diǎn)數(shù)N必須是2的整數(shù)次冪。已知待分析的信號(hào)中，上限頻率kHz。要求譜分辨率Hz。試確定下列參數(shù)：1.一個(gè)記錄中的最少抽樣點(diǎn)數(shù)；2.相鄰樣點(diǎn)間的最大時(shí)間間隔；3.信號(hào)的最小記錄時(shí)間。8（1）模擬數(shù)據(jù)以10.24千赫速率取樣，且計(jì)算了1024個(gè)取樣的離散傅里葉變換。求頻譜取樣之間的頻率間隔。 （2）以上數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)經(jīng)處理以后又進(jìn)行了離散傅里葉反變換，求離散傅里葉反變換后抽樣點(diǎn)的間隔為多少？整個(gè)1024點(diǎn)的時(shí)寬為多少？9頻譜分析的模擬信