上海市1大同杯數(shù)學(xué)競(jìng)賽含答案

1、2015年上海初三數(shù)學(xué)競(jìng)賽（大同中學(xué)杯）（2015年12月6日）解答本題可以使用科學(xué)計(jì)算器一填空題（每小題10分，共80分）1、已知AB為圓O的直徑，AB=1，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)C，使得BC=1，CD是圓O的切線，D是切點(diǎn)，則的面積為_(kāi)。解答：依據(jù)切割線定理可以得到：。因?yàn)榭梢缘玫揭虼擞?。因?yàn)锳B為圓O的直徑，所以時(shí)直角三角形。依據(jù)勾股定理有。而2、有編號(hào)分別為去1,2,3,4,5,6,7的7個(gè)大小相同的小球，從中任取3個(gè)小球，則取出的3個(gè)小球的編號(hào)和為奇數(shù)的概率為_(kāi)。解答：從七個(gè)小球任意取出三個(gè)小球的取法為種，因?yàn)闆](méi)有小球的數(shù)字不同，這樣這三個(gè)球的數(shù)字和有35和結(jié)果。要使用和為奇數(shù)。應(yīng)該包括兩種下

2、面情況第一種三個(gè)數(shù)均為奇數(shù)，也就是從1,3,5,7四個(gè)數(shù)中取三個(gè)，取法為第二種，一個(gè)奇數(shù)，兩個(gè)偶數(shù)，也就是從1,3,5,7的四個(gè)數(shù)中取1個(gè)，從2,4,6三個(gè)數(shù)中取兩個(gè)，取法有.這樣和為奇數(shù)一共有種。從而取出的3個(gè)小球的編號(hào)和為奇數(shù)的概率為3、實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的值為_(kāi)。解答：因?yàn)樯鲜鰞蓚€(gè)相減，得到：。因?yàn)樗杂小Ｉ鲜鱿嗉拥玫剿?。因?4. 若三個(gè)素?cái)?shù)的乘積恰好等于它們和的23 倍，則這三個(gè)素?cái)?shù)為_(kāi)解答：設(shè)這三個(gè)素?cái)?shù)為。則有。因?yàn)?3是素?cái)?shù)，從，可以得到23能夠整除三個(gè)素?cái)?shù)的積。從而可以得到其中有一個(gè)素?cái)?shù)必為23。假設(shè)這樣就有因?yàn)闉樗財(cái)?shù)，所以得到或這樣得到三個(gè)素?cái)?shù)為5,7,23或3,13,23。5.

3、 如圖，圓與圓 外切于點(diǎn)P ，從圓上點(diǎn)A 作圓的切線AB ， B 是切點(diǎn)，連接AP 并延長(zhǎng)，與圓交于點(diǎn)C 已知圓 、圓的半徑分別為2、1，則_解答：做如圖所示的輔助線?？梢缘玫綖榇嗽O(shè)，則應(yīng)用切割線定理有：所以。6、 如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，ÐMON 的兩邊分別是射線 y = x(x ³ 0)與x軸正半軸點(diǎn)A(6,5)，B(10,2)是ÐMON 內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P、Q分別是ÐMON 兩邊上的動(dòng)點(diǎn)，則四邊形ABQP 周長(zhǎng)的最小值是_解答：本題主要就是應(yīng)用對(duì)稱(chēng)。應(yīng)為四邊形ABQP ，其中一個(gè)邊AB為定值。要求四邊形ABQP 周長(zhǎng)的最小值，只要求另

4、外三邊的最小值。從對(duì)稱(chēng)可以得到,.四邊形另外三邊的最小值為依據(jù)兩點(diǎn)間距離公式有。，從而最小值為。7. 不定方程的整數(shù)解共有_組。解答：設(shè)，所以從，可以得到所以。這樣是方程的兩個(gè)根，并且根為整數(shù)。所以。因此有。同時(shí)要保證為整數(shù)。這樣就有，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，方程為方程沒(méi)有整數(shù)解。當(dāng)時(shí)，方程為方程沒(méi)有整數(shù)解。當(dāng)時(shí)，方程為方程，有整數(shù)解為2,4。所以或當(dāng)時(shí)，方程為方程，有整數(shù)解為4,4。所以 整數(shù)解共有4組8. 設(shè)是給定的正實(shí)數(shù)， 是給定的大于1 的整數(shù)，實(shí)數(shù) 滿(mǎn)足，則的最大值_。解答：因?yàn)橛羞@樣的一個(gè)結(jié)論，因?yàn)槎宰畲笾禐槎?、解答題（第9、10 題，每題15 分，第11、12 題，每題20 分，共70

5、分）9. 如圖，在ABC中，BC = a，CA = b，ÐACB = 60°，ABD是正三角形，P是其中心，求CP 的長(zhǎng)度解答：分析作D點(diǎn)關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。則為等邊三角形，這樣就有，已知ÐACB = 60°所以四點(diǎn)共圓。這個(gè)圓過(guò)P點(diǎn)。連接AP，BP。因?yàn)镻是正三角形ABD的中心，所以因?yàn)锳,C,B,P四點(diǎn)共圓，也就是四邊形ACBP為圓內(nèi)接四邊形，應(yīng)用圓內(nèi)接四邊形托勒密定理可以得到所以。10. 在1，2， ，2015 這2015 個(gè)正整數(shù)中選出個(gè)數(shù)，使得其中任意兩個(gè)不同的數(shù)的和都不是50 的倍數(shù)，求k 的最大值解答：因?yàn)樗械恼麛?shù)，被5除余數(shù)為0,1,2,

6、3,4， ,47,48,49。共50中情況。而。下面吧從1,2， ，2015這2015個(gè)數(shù)被50除，余數(shù)的情況列表如下。余數(shù)121524252648490第1行1215242526484950第2行5152657475769899100第3行101102115124125126148149150第40行19511952199819992000第41行200120022015第1行取1到25這25個(gè)數(shù)，取50這個(gè)個(gè)數(shù)，任意兩個(gè)數(shù)的和都不能被50整除。第2行取51到74這24個(gè)數(shù)，和第一組取得的數(shù)組成新的數(shù)集，則這新的數(shù)集任意兩個(gè)數(shù)的和不能被50整除。以后每行都取前24個(gè)數(shù)，取到第40行位置。最后

7、一行取15個(gè)數(shù)。這樣正整數(shù)集合最大數(shù)值個(gè)數(shù)為這樣集合為這樣式樣50這個(gè)數(shù)可以換成1到2015之間50的倍數(shù)任意一個(gè)數(shù)。因此的最大值為977.11. 已知ABC的三邊長(zhǎng)均為正整數(shù)，周長(zhǎng)為 35，G 和I 分別為ABC的重心和內(nèi)心，且ÐGIC = 90°，求邊AB的長(zhǎng)度解答：本題有一定難度，但是抓住內(nèi)心和重心的特征還是能夠找到解題的路徑的。由題意知道ÐGIC = 90°，并且CI平分,出現(xiàn)角平分+垂直的特征。這樣可以構(gòu)造出三角形。為此延長(zhǎng)GI和反向延長(zhǎng)GI.很容易得到為等腰三角形，也就是過(guò)垂心G和內(nèi)心I分別做AC和BC邊的垂線。設(shè)的內(nèi)接圓的半徑為。由面積法得到：也就是所以因?yàn)镚為三角形ABC的重心，可以得到用面積法有：化簡(jiǎn)為也就是，因?yàn)闉檎麛?shù)所以得到，則為此為方程的兩個(gè)根。有。因此當(dāng)時(shí)，方程為所以此時(shí)。因此。當(dāng)時(shí)，方程為沒(méi)有整數(shù)解。因此。12. 設(shè)是正整數(shù)， 不是 4的倍數(shù)，求證：不是完全平方數(shù) 證明：，當(dāng)為同奇數(shù)，或者同偶數(shù)時(shí)，可以得到一定是4的倍數(shù)。已知 不是 4的倍數(shù)，所以中一個(gè)為奇數(shù)，一個(gè)為偶數(shù)。假設(shè)。因?yàn)橐驗(yàn)槟軌虮?整