普通物理學(xué)課件 第十章 機(jī)械振動(dòng)和電磁振蕩

1、第十章 機(jī)械振動(dòng)和電磁振蕩 10-1 諧振動(dòng) 10一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征及其表達(dá)式 簡(jiǎn)諧振動(dòng)：物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，離開(kāi)平衡位置的位 移(或角位移按余弦(或正弦規(guī)律隨時(shí)間變化。 1.簡(jiǎn)諧振動(dòng)實(shí)例： 彈簧振子： 連接在一起的一個(gè)忽略了質(zhì)量的彈簧和 一個(gè)不發(fā)生形變的物體系統(tǒng)。 O x x F O F O x 2.力學(xué)特征： 回復(fù)力： 4.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征: F = kx 位移 x之解可寫為 作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)所受的合外力與位移成正比 且反向。 3.動(dòng)力學(xué)特征: 據(jù)牛頓第二定律，得 速度 x = A cos( t + 0 dx v= = A sin( t + 0 dt a= d2 x = 2 A cos(t +

2、 0 dt2 a= F k = x , m m 2 d x a = 2 = 2 x dt d2 x + 2 x = 0 2 dt 令 k = 2 m 加速度 物體的加速度與位移成正比而方向相反，物 體的位移按余弦規(guī)律變化。 運(yùn)動(dòng)學(xué)特征 注：簡(jiǎn)諧振動(dòng)以上三特征具有等價(jià)性。 注： 或 簡(jiǎn)諧振動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)位移、速度、加速度與時(shí)間的關(guān)系: 二、描述諧振動(dòng)的特征量 1.振幅(A: 物體離開(kāi)平衡位置的最大位移的絕對(duì)值。 由初始條件確定 2 周期和頻率 周期：物體作一次完全振動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間。 x v 2 4 t t t a x = A cos(t + 0 = A cos (T + t + 0 2 T= 頻率：?jiǎn)?/p>

3、位時(shí)間內(nèi)物體所作完全振動(dòng)的次數(shù)。 = 1 = T 2 第十章 機(jī)械振動(dòng)和電磁振蕩 角頻率: 物體在 2 秒內(nèi)所作的完全振動(dòng)的次數(shù)。 3.相位和初相 初相位 0 ：t =0 時(shí)的相位。 相位 (t + 0 ：決定簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量。 2 = 2 T 對(duì)于彈簧振子，因有 = k m ，得 = T = 2 m , k = 1 k 2 m 相位概念可用于比較兩個(gè)諧振動(dòng)之間在振動(dòng) 步調(diào)上的差異。 設(shè)有兩個(gè)同頻率的諧振動(dòng)，表達(dá)式分別為 利用上述關(guān)系式，得諧振動(dòng)表達(dá)式： x1 = A1 cos( t + 10 x 2 = A2 cos( t + 20 二者的相位差為 2 x = A cos t + 0 T

4、 x = A cos(2 t + 0 = (t + 20 (t + 10 = 20 10 A cos 10 A cos 20 x b.當(dāng) = (2k + 1 時(shí),稱兩個(gè)振動(dòng)為反相； o t = 20 10 t = 20 10 t x o t 0 時(shí),稱第二個(gè)振動(dòng)超前第一個(gè)振動(dòng) ； 討論： a.當(dāng) = 2k 時(shí),稱兩個(gè)振動(dòng)為同相； c.當(dāng) x x o o t t d.當(dāng) 0 得 0 = 3 (2 由(1求得的簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式得 x = 0.12cos(t 3 m 若用旋轉(zhuǎn)矢量法求解 0 ，根據(jù)初始條件可畫出 振幅的初始位置，如下圖所示。從而可得 0 = 3 v= dx = 0.12sin(t 3

5、m s 1 dt dv a= = 0.12 2 cos(t 3 m s 2 dt 在t=T/4=0.5 s時(shí)，從前面所列的表達(dá)式可得 O 0 A x x = 0.12cos( 0.5 m = 0.104 m 3 v = 0.12 sin( 0.5 m s1 = 0.18m s1 3 a = 0.12 2 cos( 0.5 m s2 = 1.03m s2 3 第十章 機(jī)械振動(dòng)和電磁振蕩 (3 當(dāng)x=-0.06 m時(shí)，該時(shí)刻設(shè)為t1,得 因此從x=-0.06 m處第一次回到平衡位置的時(shí)間： 1 cos(t1 = 3 2 t1 2 4 = , 3 3 3 t = t2 t1 = 0.83s 另解：從

6、t1時(shí)刻到t2時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的相差為 因該時(shí)刻速度為負(fù)，應(yīng)舍去 4 ， 3 t1 = 1s 3 2 設(shè)物體在t2時(shí)刻第一次回到平衡位置，相位是 t1 2 = 3 3 t 2 = 1.83 s 3 2 5 = 2 3 6 t = = 0.83 s = 四、幾種常見(jiàn)的諧振動(dòng) 1. 單擺 五、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量 以水平彈簧振子為例討論簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)的能量。 x = A cos(t + 0 v = A sin(t + 0 C 根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律可得 d 2 mg sin = ml 2 dt l F 很小時(shí)（小于 5 ），可取 sin d 2 g = = 2 dt 2 l o mg 1 2 1 mv = m 2

7、 A2 sin 2 (t + 0 2 2 1 1 勢(shì)能 EP = kx 2 = kA2 cos 2 (t + 0 2 2 系統(tǒng)總的機(jī)械能： E = EK + EP E = EK + EP 動(dòng)能 EK = g 其中 = l 2 = 1 1 m 2 A2 sin 2 (t + 0 + kA2 cos 2 (t + 0 2 2 2 考慮到 = k 1 ，系統(tǒng)總能量為 E = kA2 ， m 2 E = EK + EP = 1 kA2 總能量守恒， 其能量平均值 2 1 T1 1 EK = m 2 A2 sin 2 (t + 0 d t = kA2 T 0 2 4 諧振子的動(dòng)能、勢(shì)能和總能量隨時(shí)間的變

8、化曲線: E 1 E = kA2 2 Ep Ek EP = 1 T1 2 1 2 2 0 2 kA cos (t + 0 d t = 4 kA T O t t EK = EP = E 2 1 注意:(1 注意:(1豎直放置的彈簧振子其勢(shì)能 EP = k x 2 中 2 已經(jīng)包含重力勢(shì)能。 (2振幅計(jì)算 A = 2 x0 + (v0 2 體現(xiàn)了能量守恒。 上述結(jié)果對(duì)任一諧振系統(tǒng)均成立。 x O x = A cos t 第十章 機(jī)械振動(dòng)和電磁振蕩 10-4 電磁振蕩 10一、LC 電路的振蕩 一、LC 電路中電壓和電流的周期性變化稱為電磁振蕩。 S I (b t = T 4 Q C L LC振蕩電

9、路 A +Q (c t = T 2 (1 LC 回路與彈簧振子振動(dòng)的類比 k m +Q (d t = 3T 4 L +Q A (a t = 0 C Q A Q (e t = T 設(shè)某一時(shí)刻電容器極板上電量為q,電路中電流 為i，得到: dq di q i= L = , dt C dt 將電量表達(dá)式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得到電流表達(dá)式： dq = Q0 sin(t + 0 = I 0 cos(t + 0 + dt 2 其中 I 0 = Q0 為電流振幅。 i= 從上述分析結(jié)果可知，電量和電流都作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 而且電荷和電流的振蕩頻率相同，電流的相位比電荷 的相位超前 ，如下圖所示： 2 I0 Q0 d2 q

10、 1 = q dt2 LC q = Q0 cos(t + 0 2 均由初始條件確定。 Q0是電荷振幅， 0 是振蕩初相， LC 回路自由振蕩角頻率 2 = 1 LC = 1 2 LC T = 2 LC o t 設(shè)t 時(shí)刻電容器極板上電量為q，相應(yīng)的電場(chǎng)能量為 三、力電類比 鑒于電磁振蕩和機(jī)械振動(dòng)的規(guī)律類似，應(yīng)用力電 類比可把電磁振蕩和機(jī)械振動(dòng)對(duì)應(yīng)起來(lái)，具體關(guān)系如 下表所示： 機(jī)械振動(dòng) 位移 x 速度 v 質(zhì)量 m 勁度系數(shù) k 阻力系數(shù) 驅(qū)動(dòng)力 F 彈性勢(shì)能 kx2/2 動(dòng)能 mv2/2 電磁振蕩(串聯(lián)電路 電荷 q 電流 i 電感 L 電容的倒數(shù) 電阻 R We = Q q = cos 2

11、( t + 0 2C 2C 2 2 0 此刻電流為i，則線圈中的磁場(chǎng)能量為 Wm = 1 2 L Q sin 2 (t + 0 Li = 2 2 2 2 0 2 將電場(chǎng)和磁場(chǎng)能量相加，并利用 = 1 LC，得 1/C W = We + Wm = Q 2C 2 0 上式表明，盡管電能和磁能均隨時(shí)間變化，但 總能量守恒。 電動(dòng)勢(shì) 電場(chǎng)能量 q2/2C 磁場(chǎng)能量 Li2/2 第十章 機(jī)械振動(dòng)和電磁振蕩 10-5 一維諧振動(dòng)的合成 10一、同一直線上兩個(gè)同頻率的諧振動(dòng)的合成 設(shè)一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與沿同一方向(x軸的兩個(gè)獨(dú) 立的同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，兩個(gè)振動(dòng)位移為 旋轉(zhuǎn)矢量圖示法 A = A1 + A2 A2 x

12、1 = A1 cos(t + 10 合位移： x = 其中 A= x2 = A2 cos(t + 20 O 20 x1 10 A1 x x1 + x2 = A cos(t + 0 2 A12 + A2 + 2 A1 A2 cos(20 10 x2 x tan 0 = A1 sin 10 + A2 sin 20 A1 cos 10 + A2 cos 20 A 矢量沿x 軸之投影表征了合運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。 A= 2 A12 + A2 + 2 A1 A2 cos(20 10 合振動(dòng)仍然是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其方向和頻率與原來(lái)相同。 討論： k 1.當(dāng)兩振動(dòng)同相 20 10 = 2k， = 0， 1， 2， x 同相

13、疊加，合振幅最大。 O x2 A = A1 + A2 t x1 x O 當(dāng)A1=A2 時(shí)，A=0。 x1 x2 t 3.通常情況下，合振幅介于 A1 + A2 和 A1 A2 之間。 x x1 k 2.兩振動(dòng)反相 20 10 = (2k + 1， = 0， 1， 2， O A = A1 A2 反相疊加，合振幅最小。 x2 t 注： = 20 10 對(duì)合振幅A有決定性影響 二、同一直線上兩個(gè)不同頻率的諧振動(dòng)的合成 拍 當(dāng)兩個(gè)同方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率不同時(shí)，在旋轉(zhuǎn)矢 量圖示法中兩個(gè)旋轉(zhuǎn)矢量的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度不相同，二者 的相位差與時(shí)間有關(guān)，合矢量的長(zhǎng)度和角速度都將隨 時(shí)間變化。 兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率 1和 2

14、 很接近，且 2 1 因 1 2 , 2 1 1 或 2 , 有 2 + 1 1 2 2 2 1 2 t cos( x = 2 A cos( 2 + 1 2 t + 0 x1 = A1 cos(1t + 0 , x2 = A2 cos(2t + 0 兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成得 = 2 A cos( 2 1 t cos( 1t + 0 2 合振動(dòng)的振幅隨時(shí)間作緩慢的周期性的變化，振 動(dòng)出現(xiàn)時(shí)強(qiáng)時(shí)弱的拍現(xiàn)象。 x = x1+ x2 x = 2 A cos( 2 1 2 t cos( 2 + 1 2 t + 0 拍頻:單位時(shí)間內(nèi)強(qiáng)弱變化的次數(shù)。 1 = = 2 1 = 2 1 2 第十章 機(jī)械振動(dòng)和電磁振蕩

15、 10-6 二維諧振動(dòng)的合成 10兩個(gè)同頻率的相互垂直的分運(yùn)動(dòng)位移表達(dá)式 x = A1 cos(t + 10 y = A2 cos(t + 20 消時(shí)間參數(shù)，得 x2 y 2 x y + 2 2 cos(20 10 = sin 2 (20 10 2 A1 A2 A1 A2 合運(yùn)動(dòng)一般是在 2A1 ( x 向、2A2 ( y 向范圍內(nèi)的 一個(gè)橢圓。 拍頻的形成 橢圓的性質(zhì)(方位、長(zhǎng)短軸、左右旋 在 A1 、A2 確定之后,主要決定于 = 20 10 。 2 2 討論： x 2 + y 2 2 x y cos(20 10 = sin 2 (20 10 A1 A2 A1 A2 用旋轉(zhuǎn)矢量描繪振動(dòng)合成圖 （1）20 =0 或 2 10 y A2 y A2 A1 A y= 2 x A1 O x O A1 x （2） 20 10 = y= A2 x A1 2 y A2 x = A1 cost y = A2 cos(t + 2 O （3） 20 10 = 2 A 1 x y + 2 =1 A12 A2 2 x 兩相互垂直同頻率不同相位差簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的