數(shù)列知識(shí)回顧總結(jié)

1、數(shù)列知識(shí)回顧總結(jié)湖南祁東育賢中學(xué) 唐國(guó)富 周友良 421600一、基礎(chǔ)知識(shí)回顧所謂數(shù)列就是按一定次序排列的一列數(shù).數(shù)列的一般形式是a1, a2, ,an, 通常簡(jiǎn)記為an.如果數(shù)列an的第n項(xiàng)an與n之間的函數(shù)關(guān)系可用一個(gè)公式來表示，這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.從函數(shù)的角度看，數(shù)列可以看做是一個(gè)函數(shù)，定義域是自然數(shù)集或自然數(shù)集的一個(gè)有限子集，函數(shù)表達(dá)式就是數(shù)列的通項(xiàng)公式.對(duì)于數(shù)列an，把Sn=a1+a2+an叫做數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則有I等差數(shù)列與等比數(shù)列1等差數(shù)列（1）定義：（2）通項(xiàng)公式：an=a1+(n1)d .（3）前n項(xiàng)和公式：（4）等差中項(xiàng)：（5）任意兩項(xiàng)：an=am+(nm

2、)d.（6）性質(zhì)：公差為非零的等差數(shù)列的充要條件是通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù)；公差為非零的等差數(shù)列的充要條件是前n項(xiàng)和公式為n的不含常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)；設(shè)an是等差數(shù)列，如果m、n、p、qN*，且m+n=p+q，那么am+an=ap+aq;設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則Sm, S2mSm, S3mS2m, , SpmS(p1)m(m>1,p3，m、pN*)仍成等差數(shù)列；設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則是等差數(shù)列；設(shè)an是等差數(shù)列，則an+b(,b是常數(shù))是等差數(shù)列；設(shè)an與bn是等差數(shù)列，則1an+2bn（1，2是常數(shù)）也是等差數(shù)列；設(shè)an與bn是等差數(shù)列，且bnN*，則abn也是等差數(shù)

3、列（即等差數(shù)列中等距離分離出的子數(shù)列仍為等差數(shù)列）；設(shè)an是等差數(shù)列，則（c>0, c1）是等比數(shù)列.2等比數(shù)列（1）定義：（2）通項(xiàng)公式：an=a1qn1.（3）前n項(xiàng)和公式：（4）等比中項(xiàng)：（5）任意兩項(xiàng)：an=amqnm.（6）無窮遞縮等比數(shù)列各項(xiàng)和公式： S=（7）性質(zhì)： 設(shè)an是等比數(shù)列，如果m、n、p、qN*，且m+n=p+q，那么am·an=ap·aq；設(shè)Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則Sm, S2mSm, S3mS2m, ，SpmS(p1)m(m>1, p3，m、nN*)仍為等比數(shù)列；設(shè)an是等比數(shù)列，則an（是常數(shù)）、（mZ*）仍成等比數(shù)列；設(shè)

4、an與bn是等比數(shù)列，則an·bn也是等比數(shù)列；設(shè)an是等比數(shù)列，bn是等差數(shù)列，bnZ*，則abn是等比數(shù)列（即等比數(shù)列中等距離分離出的子數(shù)列仍為等比數(shù)列）；設(shè)an是正項(xiàng)等比數(shù)列，則logcan(c>0, c1)是等差數(shù)列.二、能力提高題分析例1 設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=2an1(n=1, 2,)，數(shù)列bn滿足b1=3, bk+1=bk+ak(k=1,2，)，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)之和.（1996年全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試題1）【思路分析】欲求數(shù)列bn前n項(xiàng)和，需先求bn. 由ak=bk+1bk, 知求ak即可，利用ak=SkSk1(k=2, 3, 4,)可求出ak.【略解】由Sn=2

5、an1和a1=S1=2a11,得a1=1, 又an=SnSn1=2an2an1,即an=2an1,因此an是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，則有an=2n1.由ak=bk+1bk，取k=1,2,n1得a1=b2b1, a2=b3b2, a3=b4b3, , an1=bnbn1,將上面n1個(gè)等式相加，得bnb1=a1+a2+an. 即bn=b1+a1+a2+an=3+(1+2+22+2n1)=2n1+2,所以數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn=（2+1）+（2+2）+（2+22）+（2+2n1）=2n+2n1.【評(píng)述】求數(shù)列的前n 項(xiàng)和，一般情況必須先研究通項(xiàng)，才可確定求和的方法.例2 求證：若三角形的三內(nèi)

6、角成等差數(shù)列，對(duì)應(yīng)的三邊成等比數(shù)列，則此三角形必是正三角形.【思路分析】由ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，知B=60°，三個(gè)角可設(shè)為60°d, 60°, 60°+d，其中d為常數(shù)；又由對(duì)應(yīng)的三邊a、b、c成等比數(shù)列，知b2=ac，或?qū)⑷呌洖閍、aq、aq2，其中q為正常數(shù)，由此知要證此三角形為正三角形只須證明d=0或q=1或a=b=c.【證】設(shè)ABC的三個(gè)內(nèi)角為A、B、C及其對(duì)邊a、b、c，依題意b2=ac, B=60°.【方法1】由余弦定理，得整理得(ac)2=0因此a=c.故ABC為正三角形.【方法2】設(shè)a、b、c三邊依次為a、aq

7、、aq2，由余弦定理有cosB=,整理得q42q2+1=0,解得q=1, q=1（舍去）所以a=b=c,故此ABC為正三角形.【方法3】因?yàn)閎2=ac, 由正弦定理：(2RsinB)2=2RsinA·2RsinC（其中R是ABC外接圓半徑）即sin2B=sinA·sinC，把B=60°代入得sinA·sinC=，整理得cos(AC)cos(A+C)=，即cos(AC)=1,所以A=C，且B=60°，故此ABC為正三角形.【方法4】將60°d, 60°, 60°+d代入sin2B=sinAsinC, 得sin(60&

8、#176;d)·sin(60°+d)= ，即cos(2d)cos120°= .得cos2d=1, d=0°,所以A=B=C，故ABC為正三角形.【評(píng)述】方法1、2著眼于邊，方法3、4著眼于角.例3 n2(n4)個(gè)正數(shù)排成n行n列a11 a12 a13 a14 a1na21 a22 a23 a24 a2na31 a32 a33 a34 a3na41 a42 a43 a44 a4n an1 an2 an3 an4 ann其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成等比數(shù)列，并且所有公比相等，已知a24=1,a42=，a43=,求a11+a22+a33+ann.（1

9、990年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）【思路分析】求和需要研究a11和akk，又每列成等比數(shù)列且公比相等，只需要研究a1k和q,又每行成等差數(shù)列，需要求得an和第一行的公差d，因而本題利用已知建立an、d和q之間關(guān)系，使問題獲解.【解】設(shè)第一行數(shù)列公差為d，各列數(shù)列公比為q.因?yàn)?a43=a42+a44,所以a44=2a43a42=2×=.又因?yàn)閍44=a24·q2=q2,所以q=,于是有 解此方程組，得d=,a11=.對(duì)于任意的1kn,有【評(píng)述】數(shù)列求和應(yīng)先研究通項(xiàng)，通項(xiàng)cn=anbn，其中an成等差為九列，bn為等比數(shù)列，數(shù)列cn的求和用錯(cuò)項(xiàng)相減去.例4 將正奇數(shù)集合1，3，5，從小到大按第n組有(2n1)奇數(shù)進(jìn)行分組：1, 3,5,7 , 9, 11, 13, 15, 17, （第1組）（第2組）（第3組）問1991位于第幾組中？（1991年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）【思路分析】思路需要寫出第n組的第1個(gè)數(shù)和最后一個(gè)數(shù)，1991介于其中，而第n組中最后一個(gè)數(shù)是第（1+3+2n1）=n2個(gè)奇數(shù)為2n21.【解】因?yàn)?+3+5+(2n1)=n2所以前n組共含有奇數(shù)n2個(gè)，第n組最后一個(gè)數(shù)即第n2個(gè)奇數(shù)為2n21,第n組第一個(gè)數(shù)即第n1組最后一個(gè)數(shù)后面的奇