人教高二數(shù)學(xué) 選修2123 經(jīng)典雙曲線教案

1、雙曲線教學(xué)目標(biāo):1、掌握雙曲線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程，幾何性質(zhì)，離心率，通徑，最值。2、熟練地運(yùn)用待定系數(shù)法求標(biāo)準(zhǔn)方程，學(xué)會求最值的方法和焦點(diǎn)三角形的解法。重點(diǎn)：雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單的幾何性質(zhì)。難點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線的漸進(jìn)線?！窘虒W(xué)內(nèi)容】1、 引入： 太陽神有一牛群，由白、黑、花、棕四種顏色的公、母牛組成。在公牛中，白牛數(shù)多于棕牛數(shù)，多出之?dāng)?shù)相當(dāng)于黑牛數(shù)的1/2+1/3；黑牛數(shù)多于棕牛，多出之?dāng)?shù)相當(dāng)于花牛數(shù)的1/4+1/5；花牛數(shù)多于棕牛數(shù)，多出之?dāng)?shù)相當(dāng)于白牛數(shù)的1/6+1/7。在母牛中，白牛數(shù)是全體黑牛數(shù)的1/3+1/4；黑牛數(shù)是全體花牛數(shù)1/4+1/5；花牛數(shù)是全體

2、棕牛數(shù)的1/5+1/6；棕牛數(shù)是全體白牛數(shù)的1/6+1/7。問這牛群是怎樣組成的？ （阿基米德分牛問題）2、 雙曲線的基本概念1. 雙曲線的定義：雙曲線的定義在平面內(nèi)，到兩個定點(diǎn)的距離之差的絕對值等于常數(shù)的動點(diǎn)的軌跡叫作雙曲線.這兩個定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作雙曲線的焦距.注意：1. 雙曲線的定義中，常數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足的約束條件：，這可以借助于三角形中邊的相關(guān)性質(zhì)“兩邊之差小于第三邊”來理解；2. 若去掉定義中的“絕對值”，則僅能表示雙曲線的一支；3. 若常數(shù)滿足約束條件：，則動點(diǎn)軌跡是以為端點(diǎn)的兩條射線（包括端點(diǎn)）；4若常數(shù)滿足約束條件：，則動點(diǎn)軌跡不存在；5若常數(shù)，則動點(diǎn)軌跡為線段的垂

3、直平分線。2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：1當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；2當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中.注意： 1只有當(dāng)雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系時,才能得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程； 2在雙曲線的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有； 3雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上，即系數(shù)為正的項(xiàng)所對應(yīng)的坐標(biāo)軸上.3.雙曲線的簡單幾何性質(zhì):（1）對稱性：雙曲線是以軸、軸為對稱軸的軸對稱圖形，且是以原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為雙曲線的中心。（2）范圍：雙曲線上所有的點(diǎn)都在兩條平行直線和的兩側(cè)，是無限延伸的。因此雙曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足。（3）頂點(diǎn)：雙曲線與它的對稱軸的交點(diǎn)稱為雙曲線

4、的頂點(diǎn)。雙曲與坐標(biāo)軸的兩個交點(diǎn)即為雙曲線的兩個頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為，頂點(diǎn)是雙曲線兩支上的點(diǎn)中距離最近的點(diǎn)。兩個頂點(diǎn)間的線段叫作雙曲線的實(shí)軸；設(shè)為軸上的兩個點(diǎn)，則線段叫做雙曲線的虛軸。實(shí)軸和虛軸的長度分別為。叫做雙曲線的實(shí)半軸長，叫做雙曲線的虛半軸長。注意：實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線。（4）離心率：雙曲線的焦距與實(shí)軸長的比叫做雙曲線的離心率，用表示，記作。因?yàn)?，所以雙曲線的離心率。由，可得，所以決定雙曲線的開口大小，越大，也越大，雙曲線開口就越開闊。所以離心率可以用來表示雙曲線開口的大小程度。等軸雙曲線，所以離心率。（5）漸近線：經(jīng)過點(diǎn)作軸的平行線，經(jīng)過點(diǎn)作軸的平行線，四條直線圍成一個矩形

5、（如圖），矩形的兩條對角線所在直線的方程是。我們把直線叫做雙曲線的漸近線。（雙曲線與它的漸近線無限接近，但永不相交）特別注意：雙曲線的焦點(diǎn)三角形，弦長公式，中點(diǎn)弦問題與橢類似?！纠}講解】例1 已知雙曲線，求雙曲線的實(shí)（虛）軸頂點(diǎn)坐標(biāo)，焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程，漸近線方程.練習(xí)：求雙曲線的實(shí)（虛）半軸長，焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程，漸近線方程.例2 已知O1：，O2：（1）若動圓與1，2均內(nèi)切，求動圓圓心點(diǎn)的軌跡；（2）若動圓與1，2均外切，求動圓圓心點(diǎn)的軌跡。練習(xí)：在方程中，若，則方程的曲線是（ ）A. 焦點(diǎn)在軸上的橢圓 B.焦點(diǎn)在軸上的雙曲線C.焦點(diǎn)在軸上的橢圓 D.焦點(diǎn)在軸上的雙曲線例3 設(shè)雙曲線經(jīng)過

6、點(diǎn)，且與雙曲線具有相同漸近線，求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程.練習(xí)：1.雙曲線與一定有相同的（ ）A.焦點(diǎn) B.準(zhǔn)線 C.漸近線 D.離心率2.與雙曲線有共同的漸近線，并且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 例4 設(shè)分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)使得，求雙曲線的離心率.練習(xí)：（1）雙曲線的離心率 （2）已知雙曲線的一條漸近線與曲線相切，則該雙曲線的離心率為 例5 已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)為,點(diǎn)A在上，若,求的值.例6 雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，且離心率為.（1）求雙曲線的方程；（2）若斜率為1的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，且，求的方程.例7已知雙曲線以及點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，求直線的方程

7、.【過手練習(xí)】1.已知方程的圖象是雙曲線，那么的取值范圍是（ ）A. B. C.或 D.2.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為是雙曲線上一點(diǎn)，滿足，直線與圓相切，則雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. D.3.過雙曲線的右焦點(diǎn)作直線交雙曲線于兩點(diǎn)，若，則這樣的直線有（ ）A.1條 B.2條 C.3條 D.4條4.過原點(diǎn)的直線，如果它與雙曲線相交，則直線的斜率的取值范圍是 .5.設(shè)為雙曲線上一動點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程是 【拓展訓(xùn)練】例8已知雙曲線的一條漸近線方程為，兩條準(zhǔn)線的距離為l. （1）求雙曲線的方程； （2）直線l過坐標(biāo)原點(diǎn)O且和雙曲線交于兩點(diǎn)M、N，點(diǎn)P為雙曲線上異于M、

8、N的一點(diǎn)，且直線PM，PN的斜率均存在，求kPM·kPN的值.【鏈接高考】已知雙曲線的一條漸近線平行于直線：，雙曲線的一個焦點(diǎn)在直線上，則雙曲線的方程為 （）【課后作業(yè)】1.等軸雙曲線與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點(diǎn)，則雙曲線的實(shí)軸長等于（ ）A. B. C.4 D.82.已知雙曲線的一條漸近線的方程為，則雙曲線的焦點(diǎn)到直線的距離為( )A B. C. D.3.若直線過點(diǎn)與雙曲線只有一個公共點(diǎn)，則這樣的直線有（ ）A.1條 B.2條 C.3條 D.4條4.方程表示雙曲線的充要條件是（）A.或 B. C. D.5.過雙曲線的左焦點(diǎn)作垂直于軸的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，以為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點(diǎn)，則雙曲線的離心率