例題講解米勒問題之教學(xué)設(shè)計(jì)

1、教材分析1.本例題是在學(xué)習(xí)了直角三角形中角的正切值、基本不等式、圓的相關(guān)知識例如圓周角等等進(jìn)行講解的，因此知識基礎(chǔ)比較扎實(shí)。2.本例題是著名的經(jīng)典題目，用于解決最大角問題，涉及到最大值問題，在今后的最值問題解決中有著重要的地位，為解決最大角問題提供有力的工具，省去很多繁瑣的步驟。3.本例題運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想，引導(dǎo)學(xué)生善于把問題幾何和代數(shù)之間相互代換得以解決。4.本課對學(xué)生的動手能力，觀察能力都有一定的要求，對培養(yǎng)學(xué)生靈活的思維，提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力都有重要的意義。5.本課內(nèi)容安排上難度和強(qiáng)度不高，適合學(xué)生討論，可以充分開展合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的合作精神和團(tuán)隊(duì)競爭的意識。例題講解：米勒問題

2、教學(xué)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 118班 蔡潔慧 20110008008學(xué)情分析1. 授課班級學(xué)生基礎(chǔ)較好，教學(xué)中應(yīng)給予充分思考的時間，并且以引導(dǎo)學(xué)生思考為主。2. 該班級學(xué)生在平時訓(xùn)練中已經(jīng)形成了良好的合作精神和合作氣氛，可以充分發(fā)揮合作的優(yōu)勢，兼顧效率和平衡。3.本班為自己任課的班級，平時對學(xué)生比較了解，在解決具體問題的時候可以兼顧不同能力的學(xué)生，充分調(diào)動學(xué)生的積極性。教學(xué)目標(biāo)知識與能力目標(biāo)1.了解米勒問題，并且理解米勒定理。2.學(xué)會解決米勒問題，并能夠運(yùn)用一定的空間想象能力3.培養(yǎng)學(xué)生在解決實(shí)際問題與生活實(shí)際聯(lián)系的能力。過程與方法目標(biāo)1.經(jīng)歷探索解決米勒問題的過程，進(jìn)一步探索米勒定理的證明過程。2

3、.經(jīng)歷應(yīng)用米勒定理解決問題的過程。情感與態(tài)度目標(biāo)1.學(xué)生在探索的過程中，感受動點(diǎn)移動時帶來的角度變化的動態(tài)美，體會數(shù)學(xué)的奇妙性；2.在交流的過程中，體會與別人交流的重要性。教學(xué)中的重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn) 1.利用直角三角形和基本不等式知識解決米勒問題2.利用米勒問題得出的結(jié)論解決一般米勒問題并給出證明難點(diǎn) 1.用代數(shù)方法解決后轉(zhuǎn)換為幾何的結(jié)論2.一般米勒問題結(jié)論的證明主要教學(xué)手段及相關(guān)準(zhǔn)備：教學(xué)手段 1.使用導(dǎo)學(xué)法、討論法2.運(yùn)用多媒體輔助教學(xué)3.調(diào)動學(xué)生積極性，幫助理解準(zhǔn)備工作多媒體課件片斷，輔助難點(diǎn)突破教學(xué)設(shè)計(jì)策略依據(jù)教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生的特點(diǎn)，依據(jù)教學(xué)時間和效率的要求，在此課教學(xué)方法和教學(xué)模式的設(shè)計(jì)中

4、主要體現(xiàn)設(shè)計(jì)思想策略1. 回歸學(xué)生主體，一切圍繞著學(xué)生的學(xué)習(xí)活動和當(dāng)堂的反饋程度安排教學(xué)過程。2. 原則性和靈活性相結(jié)合，既要完成教學(xué)計(jì)劃，在教學(xué)過程中又可以根據(jù)現(xiàn)實(shí)的情況，安排問題的難度，體現(xiàn)一些靈活性。3. 教學(xué)的形式上注重個體化，充分給予學(xué)生討論和發(fā)表意見的機(jī)會，注重學(xué)習(xí)的參與性，努力避免以教師活動為主體的教學(xué)過程。教學(xué)步驟及說明學(xué)生活動教師活動教學(xué)目標(biāo)教學(xué)說明1、學(xué)生跟著教師的思路進(jìn)行想象     2、根據(jù)幾何畫板的演示并跟著教師的思路思考問題  3、觀察并思考，跟著教師解決問題  4、思考并積極

5、回答問題    5、隨著教師思路進(jìn)行思考  6、學(xué)生按照教師的提示進(jìn)行思考問題       7、通過教師演示，得到特殊米勒問題與一般米勒問題的區(qū)別   8、跟隨教師的思路并積極回答問題，學(xué)習(xí)新的知識  9、做好筆記并進(jìn)行知識鞏固   1、介紹問題：1471年德國數(shù)學(xué)家米勒向諾德爾教授提出如下一個十分有趣問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長（即可見角最大）？ 2、幾

6、何畫板演示：把文字的問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形表示出來 3、把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行回答 4、根據(jù)代數(shù)方法得到答案，并把結(jié)論轉(zhuǎn)換為幾何結(jié)論，復(fù)習(xí)切割弦定理  5、得到關(guān)于米勒問題的幾何結(jié)論，并提出為什么要總結(jié)幾何結(jié)論 6、給出一般米勒問題：在已知直線l的同側(cè)有P、Q兩點(diǎn)，試在直線l上求一點(diǎn)M，使得M對P、Q兩點(diǎn)的張角，即最大？   7、用幾何畫板演示，把特殊米勒問題與一般米勒問題進(jìn)行對比，說明兩者的不同，并說明用類似的代數(shù)方法無法解決8、引導(dǎo)學(xué)生善于應(yīng)用幾何結(jié)論去解決問題，并進(jìn)行證明，注意新知識的補(bǔ)充并說明 

7、  9、總結(jié)，說明米勒問題實(shí)質(zhì)上是求最大角問題，因此得出的結(jié)論就是為了解決一般的米勒問題，即一般的求最大角問題。 培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)題目給出的信息動手作圖，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法。    培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，并引導(dǎo)學(xué)生解決問題    培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會幾何與代數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換  培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用已知知識解決一般簡單問題能力，同時對于知識的回顧，加深鞏固。 培養(yǎng)學(xué)生善于思考探索的精神   學(xué)生體驗(yàn)從特殊到一般的過程。加深對一般情況和特

8、殊情況的理解，提高學(xué)生對問題的敏感度。     培養(yǎng)學(xué)生通過比較兩者得到兩者的區(qū)別的能力    培養(yǎng)學(xué)生善于巧妙地運(yùn)用新的結(jié)論來解決新的問題，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)態(tài)度，對得到的答案給予嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會總結(jié)的能力，并養(yǎng)成舉一反三的能力，達(dá)到學(xué)以致用的目的讓學(xué)生了解題目，并讓同學(xué)想象，培養(yǎng)學(xué)生自主探索的學(xué)習(xí)能力，以及學(xué)生們交流能力。    用多媒體軟件進(jìn)行教學(xué)，給學(xué)生直觀的形象，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會運(yùn)用已知條件去探索未知量。運(yùn)用直角三角形和基本不等式的知識解決問題，本節(jié)課的重點(diǎn)之一。

9、  這是本節(jié)課的難點(diǎn)，學(xué)生難以突破   拋出問題引導(dǎo)學(xué)生思考由特殊問題過渡到一般問題，循序漸進(jìn)，關(guān)鍵在于引導(dǎo)和啟發(fā)，給予學(xué)生充分的時間，必要時候使用事先準(zhǔn)備的多媒體輔助教學(xué)，從實(shí)際結(jié)果看，學(xué)生在多媒體的啟發(fā)作用下，應(yīng)該會有一個思維上的突破。    。    在課堂最后進(jìn)行總結(jié)，并得到結(jié)論，告知學(xué)生該結(jié)論用于解決最大角問題，讓學(xué)生能夠?qū)W以致用。課后小結(jié)：由于運(yùn)用了一定的教學(xué)方法和理念，知識從不同的方向得到了滲透。基本完成了課前制定的教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)要求，為進(jìn)一步的深入理

10、解打下了基礎(chǔ)。教學(xué)分析1.米勒問題是求最大角問題的特例，通過解決米勒問題得到幾何結(jié)論，根據(jù)這個結(jié)論可以事半功倍得解決一般最大角問題，因此講解這道題對于學(xué)生解決問題十分有必要。2.米勒問題應(yīng)該安排在高二第二個學(xué)期，因?yàn)槊桌諉栴}應(yīng)用的知識比較綜合，并且要有一定的空間想象力，而且要對幾何與代數(shù)之間的轉(zhuǎn)換有一定的了解，因此放在高二第二個學(xué)期講解比較合適。3.米勒問題是一道經(jīng)典的數(shù)學(xué)題，對于培養(yǎng)學(xué)生對于研究數(shù)學(xué)和拓展課外知識很有必要，讓學(xué)生領(lǐng)略到數(shù)學(xué)的美妙神奇之處。4.在證明一般米勒問題的時候，需要補(bǔ)充圓外角的相關(guān)知識，在解決問題的同時，可以讓學(xué)生初步了解圓外角知識并學(xué)會應(yīng)用。教學(xué)設(shè)計(jì)腳本教師：同學(xué)們好

11、，今天我們要解決一道世界著名的經(jīng)典題目米勒問題。（點(diǎn)開PPT）既然是是米勒問題，那么我們就先了解一下米勒問題是什么？1471年德國數(shù)學(xué)家米勒向諾德爾教授提出如下一個十分有趣問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長（即可見角最大）？ 這是一個非常著名的100道經(jīng)典數(shù)學(xué)問題其中的一道題，大家先自己理解一下題目的意思。請同學(xué)們在草稿本上面畫一下草圖好，現(xiàn)在老師用幾何畫板演示一下（點(diǎn)開超鏈接，出現(xiàn)幾何畫板）教師：大家看一下，我們把垂直懸桿簡化成這個AB這段線段。大家在初中的時候已經(jīng)學(xué)習(xí)地理，知道地球是一個球面，但是為了研究問題的需要，我們就把地球表面看成是一個平面，所以問題就轉(zhuǎn)化為，在地球上

12、面找到一個點(diǎn)D，使得人在這個位置時，懸桿呈現(xiàn)最長，也就是可見角是最大的。教師：老師延長線段AB到平面并交于點(diǎn)C，再連接CD，以點(diǎn)C為圓心，CD為半徑作圓（幾何畫板演示）大家想象一下，點(diǎn)D在圓上移動的時候，有沒有變化？學(xué)生1：老師，是沒有變化的。教師：很好，也就是說，在這個圓上的點(diǎn)都不會影響可見角，在圓心不變的情況下，只有半徑不同的其他圓才會影響的大小對不對？學(xué)生：對。教師：也就是說，我們可以把這個空間的問題轉(zhuǎn)化為平面問題。（幾何畫板演示）那么是不是說，就一定會存在這個點(diǎn)D使得達(dá)到最大呢？學(xué)生1：應(yīng)該是存在的教師：如果存在的話，應(yīng)該在什么位置呢？學(xué)生1：老師，肯定越近可見角越大學(xué)生2：不，我覺得

13、是越遠(yuǎn)可見角越大教師：那好，有爭議的話，我們再用幾何畫板演示一下現(xiàn)在我讓點(diǎn)D一直向中間移動，同學(xué)們要留意是如何變化的？（幾何畫板演示）學(xué)生：是先變大，后來又慢慢變小教師：對了，也就是說，在這條直線上，總會存在一個點(diǎn)，使得最大，對不對？學(xué)生：對。教師：那么我們要在這條直線上找到這個點(diǎn)呢？學(xué)生：可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)D到交點(diǎn)C的距離。教師：對了，要求CD的長度，那么我們設(shè)CD的長度為x，問題就轉(zhuǎn)化為當(dāng)x為多少時，最大？為了解決這個問題，我們把AC、BC的長度當(dāng)成是已知的，AC=m,BC=n,把一些需要的角標(biāo)一下，、，這里的也就是（打開PPT）已知AC=m,BC=n,CD=x，（x>0），求當(dāng)x為多少

14、時，最大？（黑板板書）教師：那么我們就要用這些已知的條件來解決這個問題了。大家先看一下,剛剛說了懸桿是垂直于地球表面的，所以是一個什么三角形？學(xué)生：直角三角形教師：那么AC、CD與之間有什么關(guān)系？學(xué)生2：（教師板書出來）教師：很好，那么我們再看呢？學(xué)生1：同樣是一個直角三角形教師：所以也可以同樣得到怎樣的關(guān)系式？學(xué)生1：（教師板書出來）教師：那再看看、之間有什么關(guān)系？學(xué)生2：教師：也就是（板書出來）我們在上面已經(jīng)求出了、的正切值了，那么可以求出的正切值嗎？要怎樣求？學(xué)生1： （教師板書出來）教師：請繼續(xù)。學(xué)生1：把剛剛和代入上式教師：很好，那么大家動手把數(shù)據(jù)代入并進(jìn)行化簡。那么有那位同學(xué)化簡得

15、到最終的結(jié)果？學(xué)生2：（教師板書出來）教師：好的。那么我們看看，我們要求的最大值，是不是就是求的最大值？學(xué)生：是的。教師：看看上面式子，那些是已知的？學(xué)生：m,n教師：所以說，m-n就是一個定值，那么要求的最大值，只需要求式子的分母的最小值，對不對？學(xué)生：對。教師：那好，我們就把分母分離出來，（板書出來）現(xiàn)在要求的是的最小值，也就是應(yīng)該要（板書出來）同學(xué)們看出什么了嗎？學(xué)生：基本不等式教師：那要怎樣做下去呢？學(xué)生1：（教師板書出來）教師：什么時候等號成立？學(xué)生1：當(dāng)時，算得（教師板書出來）教師 ：也就是，。好，到這里已經(jīng)把結(jié)果算出來了，同學(xué)們回答一下題目提出問題的答案？學(xué)生：當(dāng)時，取得最大值，

16、也就是取得最大值。教師：同學(xué)們看一下，我們解決這個問題的時候，先把幾何的問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，再用代數(shù)的方法把問題解決了，但是如果每次都遇到這種問題，都要算這么多是不是很麻煩？我們在上面的計(jì)算過程，有沒有得到什么啟示？學(xué)生1：當(dāng)時，取得最大值。教師：很好，這也算是一個結(jié)論，有沒有一個關(guān)于幾何方面的結(jié)論呢？學(xué)生：（思考）教師：剛剛所說的，也就是，那么根據(jù)這個式子有沒有想到關(guān)于圓的一些性質(zhì)？老師在這里提示一下，大家還記得切割線定理嗎？（PPT展示）這里PA是圓O的切線，BC是圓O的一條割線，那么切割線定理是怎么描述的？學(xué)生：教師：這個等式跟上面所說的，在形式上是不是有點(diǎn)相似?。繉W(xué)生：PA對應(yīng)CD，P

17、B、PC分別對應(yīng)BC、AC，也就是CD、AB分別是某個圓的切線、割線。教師：對了，表示出來就是這樣子的圖形（PPT展示）所以我們有下面的結(jié)論：結(jié)論：當(dāng)且僅當(dāng)過ABD三點(diǎn)作外接圓且CD與該圓相切的時候， 最大。同學(xué)們可能在這個時候就要問，得出這個結(jié)論有什么用？老老實(shí)實(shí)用代數(shù)的方法去算不就行了嗎？帶著這個問題，下面我們再看一道題目（PPT展示）在已知直線l的同側(cè)有P、Q兩點(diǎn)，試在直線l上求一點(diǎn)M，使得M對P、Q兩點(diǎn)的張角， 最大？教師：那我們來看看這道題跟第一題有什么區(qū)別？（幾何畫板演示）我們連接PQ，再延長PQ到直線l交于點(diǎn)O，跟第一題畫的圖比較一下（幾何畫板演示）同學(xué)們看一下，PQ是不是相當(dāng)于

18、把懸桿AB倒置了一樣，還有哪些是相對應(yīng)的？學(xué)生2：PO對應(yīng)AC，對應(yīng)，教師：既然有那么多相似的地方，大家嘗試著解決。學(xué)生（在草稿本上解決）教師：有沒有同學(xué)算出來？學(xué)生1：用剛剛的代數(shù)方法算不出來。教師：為什么？學(xué)生1：PO不垂直于直線l，無法用到直角三角形的性質(zhì)。教師：那么除了這種方法，剛剛不是還有一個結(jié)論嗎？學(xué)生2：類似于剛剛的結(jié)論，那么有結(jié)論，當(dāng)且僅當(dāng)PMQ三點(diǎn)所作的外接圓與直線l相切于點(diǎn)M的時候， 最大。教師：很好（幾何畫板演示）那我們現(xiàn)在用幾何畫板演示可以知道此時 是最大的，但是僅僅用幾何畫板是不夠的，我們需要用數(shù)學(xué)的方法去證明?，F(xiàn)在要證明我們找到的點(diǎn)M是使得 是最大的，應(yīng)該要怎樣去證明呢？學(xué)生1：我們可以在直線l上任取一點(diǎn)，只要<