冰山運輸費用的分析

1、冰山運輸費用的分析摘要當今社會，水資源缺乏的形勢越來越嚴峻，尤其是在以盛產(chǎn)石油著稱的波斯灣地區(qū)。為了解決國民飲水的問題，有很多人采用淡化海水的辦法，但是該方法生產(chǎn)每立方米海水就要0.1英鎊，耗費了較多的人力、物力、財力。于是有專家就提出從南極用拖船運送冰山到波斯灣，該方法是否可行，需要考慮經(jīng)濟問題。根據(jù)該題所給的數(shù)據(jù)，我們要建立一個模型來估算采用拖船運送冰山每立方米海水的費用。總費用是由租金和燃料費兩部分組成。冰山的運送可以根據(jù)船型和船速的不同采用多個運輸方案，現(xiàn)在我們要找到一種最好的方案使其費用最少，并算出其費用與海水淡化的費用進行比較。通過對數(shù)據(jù)的分析，我們可以建立一個微積分模型，來求出每

2、立方米水所花的費用?？紤]到燃料的消耗由船速與冰山體積所決定，冰山在運送過程中，其體積隨著與南極距離和船速的變化而變化，因此先求出冰山體積的變化規(guī)律，再計算出燃料的消耗，由于總費用=租金+燃料消耗費用，另外每立方米水所花的費用等于總費用與冰山到達目的地后的體積的比值。最后利用MATLAB計算出其較經(jīng)濟的方案是每立方米的花費大約為0.063英鎊。關鍵詞： 微積分模型 冰山體積變化 燃料消耗 費用 1 問題重述在以盛產(chǎn)石油著稱的波斯灣地區(qū)，浩瀚的沙漠覆蓋著大地，水資源十分貧乏，不得不采用淡化海水的辦法為國民提供用水，成本大約是每立方米淡水01英鎊有些專家提出從相距9600 km之遙的南極用拖船運送冰

3、山到波斯灣，以取代淡化海水的辦法 在運送冰山的過程中，拖船的租金、運量、燃料消耗及冰山運輸過程中融化速率等方面的數(shù)據(jù)如下： （1） 三種拖船的日租金和最大運量表1 船型小 中 大日租金(英鎊) 最大運量() 2 燃料消耗(英鎊千米)主要依賴于船速和所運冰山的體積，船型的影響可以忽略表2 冰山體積() 船速() 3 冰山運輸過程中的融化速率(即米天)指在冰山與海水、大氣接觸處每天融化的深度融化速率除與船速有關外，還和運輸過程中冰山與南極的距離有關，這是由于冰山要從南極運往赤道附近的緣故表3 與南極距離()船速() 本題要解決的問題： 試選擇拖船的船型和船速，使冰山到達目的地后，可得到的每立方米水

4、所花的費用最低，并與海水淡化的費用相比較2.問題分析要使拖船從南極運送冰山到波斯灣的總費用和到達目的地后冰山的體積的比值最小，關鍵要解決兩個問題，一是所需費用，二是運輸過程中冰山體積的變化。以上需要求得的量受到船型、船速、冰山體積等因素的影響，其簡化關系圖如下： 船型租金冰山體積船速燃料消耗總費用船型初始冰山體積船速目的地冰山的體積水的體積再利用，便可解決我們的問題。但由于冰山的體積是一個動態(tài)變化的過程，其過程由表3所體現(xiàn)。因此要確定燃料消耗，必須先對表3的數(shù)據(jù)進行處理，確定冰山體積隨時間和船速的變化關系，然后再對表2的數(shù)據(jù)進行處理，結(jié)合表3數(shù)據(jù)所確定的關系求出燃料消耗與各變量之間的關系。最終

5、求出總費用以及融化后水的體積。據(jù)以上分析我們建立的這個模型目的是要選擇合適的拖船和船速，使冰山到達目的地后，可得到的每立方米水所花的費用最低，并與海水淡化的費用相比較3模型假設假設一：拖船航行過程中船速不變，航行不考慮天氣等因素的影響?？偤?600km。假設二：冰山形狀為球形，球面各點的融化速率相同。假設三：冰山到達目的地后，冰可融化成水。假設四：燃料消耗不受船型影響。4.定義與符號說明輪船航行的船速冰山在運輸過程中的融化速率運輸冰山到波斯灣的總的天數(shù)運輸?shù)牡谔斓谔毂降陌霃降谔毂降捏w積運送冰山的原始半徑運輸?shù)谋降脑俭w積拖船的租金運輸冰山的過程中的燃料消耗費用運輸冰山的過程用總費用冰山運

6、抵目的地后每立方米水所需費用冰融化成水的體積5模型建立通過對問題的分析及題中所給數(shù)據(jù)，我們首先需要知道冰山體積在運輸過程中的變化情況，然后是計算所用拖船的租金和航行中的燃料消耗，由此可以算出到達目的地后的冰山體積和運費因此，從以下幾方面解決此問題：1.通過對表3的數(shù)據(jù)進行處理，得出冰山的融化速率r與船速u及拖船與南極的距離d三者之間的關系：不妨先考慮的情況，通過表3的數(shù)據(jù)，用MATLAB可以得到下圖：圖1從圖像可以看出，此時的與呈線性關系，假設，通過表中的數(shù)據(jù)可得到方程：，方程的解，也就可以得到： (1)當時，可以控制船速不變，得到與關系圖為：圖2根據(jù)上圖可以看出與大致呈正比，從理論和實際的角

7、度上去分析與、之間的關系式中也應含有式2右端的那部分，因為此時速度得出作用還是存在，且不受到距離的影響。因此我們不妨假設： (2)把點代人可得到，故： (3)把點：代人該解析式，可發(fā)現(xiàn)這些點都滿足該方程，因此假設成立。由（2）（3）得： (4)再者，當拖船從南極出發(fā)航行第天時，與南極距離為： (5) 記第天冰山球面半徑融化速率為，將(5)代入(4)式得： (6)記第天冰山半徑為，體積為，則： (7)其中為從南極啟運時冰山的初始半徑和體積由(7)式可知冰山體積是船速、初始體積和航行天數(shù)的函數(shù)，記作，有： （8）其中由(6)式表示。2.根據(jù)表2，確定燃料消耗與船速和冰山體積的關系：控制冰山體積不變

8、，分別取、，可得到與的關系圖為：圖3可以看出當冰山體積為定值時，與呈線性關系；控制船速不變時，分別取1km/h、3km/h、5km/h，可得到與關系圖為：圖4該圖像不大好確定與的關系，不妨對數(shù)據(jù)進行處理，作出與關系的圖形大致為：圖5不難發(fā)現(xiàn)，當船速為定值時，與呈線性。綜合考慮以上因素，不妨假設： (9)把點代人(6)可求出：，所以 (10)總之，拖船航行到第t天的燃料消耗記作 (英鎊天)先求出總費用及融合后水的體積，再求每立方米水的費用： 1.運送冰山總費用S由拖船的租金和燃料消耗兩部分組成.日租金為： (11)又冰山運送到目的地時間故租金的總費用為燃料消耗的費用為：故運送冰山總費用： (12

9、)3.冰山到達目的地融合成水的體積:(13)注意到假設(3)，則得到水的體積為: (14)每立方米水所需費用:記冰山運抵目的地后每立方米水所需費用為，由(12)，(14)式顯然有： (15)模型的求解根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)及公式（6）（12）（14）（15）可以得到以下表格：1.先計算出冰山在運輸過程中融化的深度：表413510351.541.22.融化后的體積：表5 135-3.總費用：表6 135-4.每立方米費用：表7 （km/h）135- 有以上數(shù)據(jù)可知：拖船的型號以及拖船速度的不同對每立方米水的花費影響很大，若選擇最大的拖船，并使其船速在3km/h5km/h范圍內(nèi)，每立方米水所花的費用大約

10、為0.063英鎊，此時費用最少。然而采用淡化海水的方法，每立方米大約0.1英鎊，兩者相比之下，從南極拖運冰山到波斯灣更為經(jīng)濟實惠。7結(jié)果分析該模型忽略了影響航行的不利因素，冰山的體積以及冰山的融合規(guī)律都太過理想化。況且總費用沒有包括空拖船去的過程的燃料消耗以及那段時間的租金，因此冰山運輸方式每平方米水的花費存在很大的不確定性，也就是該方法預算的花費可能與實際的花費存在很大的差別。得到的結(jié)果雖然小于海水淡化的費用(每立方米01英鎊)，但是沒有遠小于每立方米01英鎊，所以方案是否可行有待實際的檢驗。8模型的評價1優(yōu)點:(1)此模型從簡單模型入手，思路清晰(2).此模型假設冰山為球體，忽略了冰山的實

11、際形狀，給計算帶來很大的方便。(3)結(jié)果都是經(jīng)過大量的計算和對比求出來的，具有一定的可靠性。2.缺點:該模型太過理想化，估算值可能存在很大的誤差。9參考文獻(1)費浦生  羿旭明的數(shù)學建模及其基礎知識詳解. 武漢大學出版社(2)華東師范大學數(shù)學系. 數(shù)學分析（下冊） 第四版高等教育出版社(3)趙靜  但琦數(shù)學建模與數(shù)學實驗M 高等教育出版社，2003(4)MATLAB 謝金星 高等教育出版社 （第三版）10附錄%當d>4000km時，融化速率r與船速u的關系圖：>> x=1 3 5;y=0.3 0

12、.45 0.6;plot(x,y)%當d<=4000km時，燃料消耗r與距離d的的關系圖：x=0 1000 4000; y=0 0.1 0.3;x1=0 1000 4000; y1=0 0.15 0.45;x2=0 1000 4000;y2=0 0.2 0.6; plot(x,y);hold onplot(x1,y1);hold onplot(x2,y2)%燃料消耗y和船速u的關系圖：x=1 3 5; y=8.4 10.5 12.6;x1=1 3 5;y1=10.8 13.5 16.2;x2=1 3 5;y2=13.2 16.5 19.8;plot(x,y);hold onplot(x1,y1,'r');hold onplot(x2,y2,'b')%當控制船速u，燃料消耗y與冰山體積V0的關系圖：x=105 106 107; y=8.4 10.5 12.6; x1=105 106 107; y1=10.8 13.5 16.2; x2=105 106 107;y2=13.2 16.5 19.8;plot(x,y,'r'); hold onplot(x1,y1,'y'); hold onp