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文檔簡介
1、2.4 斐氏的幽靈斐波納契在計算之書(1202)中提出如下問題:“一對兔子,出生后第三個月可以繁殖出一對小兔子。問一對兔子一年中可繁殖出多少對兔子?”如果時間不限于一年,這個問題導致如下數(shù)列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,今稱斐波納契數(shù)列。它有這樣的特點:從第三項開始,每一項都是它前面兩項的和,即其通項公式為斐波納契數(shù)列有許多性質(zhì),如 1° ; 2° ;3° 。 斐波納契 兔子問題對于斐波納契而言,兔子問題不過是一個算術問題而已,他萬萬不會想到,后人會發(fā)現(xiàn)該問題所導致的數(shù)列竟如此有用。自然界中一些植物的花、葉包含著這個數(shù)列。向日葵上
2、的方向相反的兩族等角螺線的數(shù)目是斐波納契數(shù)列中的兩個相鄰項通常逆時針方向21條,順時針方向34條,或逆時針方向34條,逆順時針方向55條,更大的向日葵的螺線數(shù)則有89和144,甚至144和233。 2134型向日葵 3455型向日葵 5589型向日葵 89144型向日葵雛菊花蕊的排列也成方向相反的兩族等角螺線形,大部份雛菊的逆時針方向螺線數(shù)和順順時針方向螺線數(shù)是21和34;松果和菠蘿的鱗片也有類似的規(guī)律:前者的兩族螺線數(shù)目分別是5和8;后者的螺線數(shù)目分別是8和13,都是斐波納契數(shù)列的相鄰兩項。很多花的瓣數(shù)恰為斐波納契數(shù)列的某一項。如: 馬蹄蓮花(1瓣) 大戟屬(2瓣) 延齡草(3瓣) 耬斗菜(
3、5瓣) 毛茛科(5瓣) 報春花(5瓣) 翠雀(5瓣) 大波斯菊(8瓣) 血根草(8瓣) 珍珠菊(13瓣) 金光菊(13瓣) 金盞花(13瓣) 大濱菊(21瓣) 菊花(34瓣)在植物學上,一種植物的葉子在莖上的排列特征叫葉序。莖上兩片相鄰葉子之間的角度稱為“趨異”(divergence),它刻畫了植物的特征。從選定的某第一片葉子開始,往上作經(jīng)過各片葉子的螺旋線,直到與選定葉子同在一條直線上的那片葉子為止。設p為螺旋線轉(zhuǎn)過的周數(shù),q為螺旋線經(jīng)過的葉片數(shù)(不包括第一片)。那么分數(shù)p/q就刻畫了葉的趨異性。令人驚奇的是,許多植物的p和q都是斐波納契數(shù)!如:植 物pqp/q谷類、蘆葦、竹121/2薹屬植
4、物(sedges)131/3果樹(如蘋果樹)252/5車前草(plantains)383/8韭蔥(leeks)5135/13 葉序 斐波納契型樹木 利用一點分數(shù)知識,就能知道,所有這樣的分數(shù)都安分守己地介于1/3和1/2之間,不敢越雷池一步。也就是說,在螺旋線走過的一周內(nèi),莖上的葉子決不會超過三片。明媚的陽光、滋潤的雨露、清新的空氣:葉子大家庭中的每一成員都能公平地、充分地享受自然的這些“福利”,我們?nèi)祟愐苍S只能望其項背而已。如果你再觀察一些樹木,從根部往上的分枝情況恰恰符合斐波納契數(shù)列的模式。讓我把目光轉(zhuǎn)向動物界。我們知道,雄蜂是由未受精的卵孵化出來的,而受了精的卵只能孵化出雌蜂蜂王或工蜂來
5、。因此,每一只雄蜂都只有母親而沒有父親,根據(jù)這一事實,我們可以繪出雄蜂的譜系:每一只雄峰的上一代、再上一代,各代雄蜂、雌蜂、以及雌雄蜂總數(shù)均構成斐波納契數(shù)列!雄蜂譜系 滿足斐波納契數(shù)列性質(zhì)、但最初兩項不是1、1的數(shù)列(亦稱盧卡斯數(shù)列)也有著奇妙的應用。天文學家發(fā)現(xiàn),日、月食每隔6、41、47、88、135、223、358年重復出現(xiàn)某種相同的模式。請注意,這些年數(shù)構成了盧卡斯數(shù)列!斐波納契數(shù)列揭示了自然界中的增長模式。意大利藝術家Mario Merz(1925)可謂三十年“情系”斐波納契數(shù)列。他把這個數(shù)列用于裝飾法國巴黎Salpetriere的圣路易斯教堂,意大利圖靈國家電影博物館大樓穹頂(19
6、84)、德國烏納國際光藝術中心、芬蘭Turku一家核電廠的煙囪(1994)。 圖靈國家電影博物館 Turku核電廠 德國烏納國際光藝術中心20世紀60年代,數(shù)學家們對斐波納契數(shù)列和有關現(xiàn)象的興趣達到了一個高峰,不但成立了斐波納契學會,而且還創(chuàng)辦了斐波納契季刊,專門發(fā)表與斐波納契數(shù)列相關的研究成果。只要你的心中有數(shù),隨處可見斐波納契數(shù)列:它在姹紫嫣紅的花叢里,它在葳蕤蔥蘢的草木間,它在一個八度音之間鋼琴琴鍵上,它在羅馬詩人韋吉爾(Vergil)的作品中,它還在19世紀風行一時的拚圖“魔術”里!如下圖,將邊長為8的正方形分割為四塊,重新拼合成邊長為5和13的矩形。由此得到64=65!你能解釋這個謬論嗎? 不妨再試試:將邊長為8+13的正方形分割為四塊,拼成邊長為13和13+21的長方形;將邊長為21+34的正方形分割為四塊,拼成邊長為34和34+55的長方形;將邊長為55+89的正方形分割為四塊,拼成邊長為8
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