數(shù)學(xué)分析試題及答案

1、敘述題：(每小題5分，共15分)1開集和閉集2函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)求導(dǎo)定理3Riemann可積的充分必要條件計(jì)算題：(每小題7分，共35分)91、1xv1-xdx2、求x2+(yb)2=b2(0<aWb)繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的幾何體的體積1n23、求帚級(jí)數(shù)£(1+_)nxn的收斂半徑和收斂域n4n22xy1225f(x,y,z)=x+xy+yz,l為從點(diǎn)P0(2,-1,2)到點(diǎn)(-1,1,2)的萬向，求fi(P0)三討論與驗(yàn)證題：(每小題10分，共30分)(x2y2)sin-r-1-1、已知f(x,y)x2y20點(diǎn)不連續(xù)，但它在該點(diǎn)可微，人,s二n212、討論級(jí)數(shù)工lnn1的斂散性。n1

2、n-1:0,驗(yàn)證函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在原x=0,y=0nn1xx3、討論函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)()ndnn1xW1,1的一致收斂性。四證明題：(每小題10分，共20分)01若ff(x)dx收斂，且f(x)在a,a+8)上一致連續(xù)函數(shù)，則有Umf(x)=02設(shè)二元函數(shù)f(x,y)在開集DuR2內(nèi)對(duì)于變量x是連續(xù)的，對(duì)于變量y滿足Lipsch1tz條件：f(x,y)-f(x,y)WLy-y其中(x,y),(x,y尸D,L為常數(shù)證明f(x,y)在D內(nèi)連續(xù)。一、1、若集合S中的每個(gè)點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn)，則稱集合S為開集；若集合S中包含了它的所有的聚點(diǎn)，則稱集合S為閉集。qQ設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)工un(x)滿足(1)un(x)(n=1,

3、2,)在a,b連續(xù)可導(dǎo)n1a)Q0ZUn(x)在a,b點(diǎn)態(tài)收斂于n4S(x)b)cOZun(x)在a,b一致收斂于n4二(x)QO則S(x)=£un(x)在a,b可導(dǎo)，且nz4ddUn(x)=Un(x)dxn1n-1dx3、有界函數(shù)f(x)在a,b上可積的充分必要條件是，對(duì)于任意分法，當(dāng)九=max(Ax,)t0時(shí)Darboux大和與Darboux小和的極限相等14i：n二、1、令t-31-x93N33468(2分)x31xdx=30(1-t3)t3dt(5分)2、V1)ba2-x2,y2=bJa2-x2,(2分)所求的體積為:22x y = 0JT3、解:由于lim(n /二(1(1

4、 - 1)n(111二收斂半徑為-(4分)，當(dāng)x時(shí),1 (11)n(1)n(-1)ne 11t 1#0(nT 0°),所以收斂域?yàn)?，)(3分) e e22x y4、limx 0 ,22y 0 1 x y -1分)= limx 0y 0(x2 y2)( 1 x2y2 1)(1x2y2 -1)(. 1 x2y21)-ljm( 1 x2 y2 1尸2 (7y 0a2222a(y1y2)dx=2nab(5分)5、解:設(shè)極坐標(biāo)方程為fx(2,1,2)=2,fy(2,1,2)=0.fz(2,1,2)=T(4分)fi(2,-1,2)=-6=(3分)13三、1、解、fxc,.111、2x(sin-

5、7-rcos-；)222222，xyxyxy0x2y2=0(4分)由于1rcos1當(dāng)趨于（0,0）無極限。所以不連續(xù)，同理可的fy也不連續(xù),xy(2分)2、解:2,n1Inlimn1二1n立2n2-1（5分）22一一收斂，所以原級(jí)數(shù)收斂（5分）nn-13、解：部分和Sn（X）=x(3分)，Vs>0,取N=Pln>n1Sn(x)-x1八<-<£,所以級(jí)數(shù)一致收斂（7分）n四、證明題（每小題10分，共20分）1、證明：用反證法若結(jié)論不成立，則3&0>0,VX.a,Bx0>X,使得f(x0之%,（3分）又因?yàn)樵?x)在a,°°

6、）上一致連續(xù)函數(shù)，.'"泡(0,1),Vx,xaa,f(x)f(x)<只要x-x<60VA0之a(chǎn),令X=Ag+1,取上述使f(x0)的點(diǎn)敘述題：（每小題5分，共15分）x0>X,不妨設(shè)f（x。）。任意滿足xx0<60的x.；0；0什缶f(x)>f(x0)->>0取A和A22分別等于x'.00一二和2X02，一一E0K.ff(x)dx>一國有，由Cauchy收斂te理,八22、證明：V(x0,y0)D,由Lipschitz40ff（x）dx不收斂，矛盾（a4分)條件f(x,y)f(x°,yo)<|f(x,y

7、)f(x,y0)+|f(x,y°)f(x0,yo)f(x,yO)f(x0,y0)(1),(6分)又由二元函數(shù)f(x,y)在開集D=R2內(nèi)對(duì)于變量x是連續(xù)的，（1）式的極限為0,f（x,y）在（x0,y0）連續(xù)，因此f（x,y）在D內(nèi)連續(xù)（4分）（二十二）數(shù)學(xué)分析期末考試題1Darboux和2無窮限反常積分的Cauchy收斂原理3Euclid空間計(jì)算題：(每小題7分，共35分)1、limn.n!2、求由下列兩條曲線圍成的平面圖形的面積22_y=2x2y=x23、In=f*euxndxf是非負(fù)整數(shù))n0_24、設(shè)u=f(x2+y2+z2,xyz),f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求£衛(wèi)r

8、z.xx5、求f(x)=e的哥級(jí)數(shù)展開式三討論與驗(yàn)證題：(每小題10分，共20分)1、討論二元函數(shù)連續(xù)、偏可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系。對(duì)肯定的結(jié)論任選一進(jìn)行證明；對(duì)否定的結(jié)論，給出反例oO2、討論級(jí)數(shù)'、n 1cosnx一cosnx(0Mx)的絕對(duì)和條件收斂性。np四證明題：(每小題10分，共30分)x0tf(t)dt1 f(x)在0 ,+OO)上連續(xù)且恒有f(x)>0,證明g(x)="x在0,+oo)上0f(t)dt單調(diào)增加cOlim nxn = 0設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)工xn收斂，xn單調(diào)減少，證明y,3f(x,y)=2上，證明:lim.f(x,y)不存在xyx0y-0參考答案P一、

9、1、有界函數(shù)f(x)定義在a,b上，給一種分法，a=x0<x1<xn=b和記Mi=supf(x),xi,xiTmi=inf0(x),xii,x,則_nnPS(P)=ZMQxi,S(P)=£mQxi分別稱為相應(yīng)于分法的Darboux大和和i1i1Darboux 小和。n2、v s > 0三N > a使得 vm > n > N ,成立f (x)dx < zJm3、Rn向量空間上定義內(nèi)積運(yùn)算 任,y =x1y1+xnyn構(gòu)成Euclid空間,n.n! 1 nn i 11二、1、由于 lim ln= lim 一(工 ln i) n ln n) = l

10、im £ ln =ln xdx = 1 (7n n n '5 i4n 吟n n 0分)2、解：兩曲線的交點(diǎn)為(2, 2), (0, 0), (2分)所求的面積為:2 x2。(2x -萬)dx4/ 1_ 八、=(5 分)33、解：1n =.eqxndx一1二二= xne/|+n( e dx=nI n(e"xndx+j e/xndx(6 分)In =n!(1 分)2uu4、： 一 =2 f1x + yzf2 (3 分)_i'L. r-.xzx= 2x(2zf11 +xyf12) + yf2 + yz(2zf21 +xyf22) (4分）5、解:由于余項(xiàng)rn（x）

11、x:二 e(n 1)!n*T 0(nT i) , ( 3 分)所以2nxx+x十一+一十(4分)2!n!所以函數(shù)單調(diào)增加（2分）三、1、解、可微必可偏導(dǎo)和連續(xù)，證明可看課本133頁（4分），可偏導(dǎo)不一定連續(xù)和可微例子可看課本135頁（6分）2、解：當(dāng)p>1時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，（4分）當(dāng)0<p<1,由Dirichlet定理知級(jí)數(shù)收斂,cosnx2/-cosnx1cos2nx二二京三丁，所以n2n2n8ZnT|cosnx|np發(fā)散，即級(jí)數(shù)條件收斂（4分），當(dāng)pW0時(shí),級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0,所以級(jí)數(shù)不收斂(2分)四、證明題（每小題10分，共30分）1證明：g(x)=xf(x)0f(t

12、)dt-f(x)0tf(t)dtxf(x)0(xf(t)-tf(t)dtx2(0f(t)dt)x2(0f(t)dt)>0(8分)2證明：vm,n>m,有(nm)<xm卅+xn<xm由此得nxn<Xm,（4分）由n級(jí)數(shù)收斂，故名>0可取thm0使得x<z,又lim=1,故訃0使得n>n0時(shí),nn-m0有一n<2,(4分)于是當(dāng)n>n0時(shí)，有0<nxn<2S,得證(2分)n-m2xx3、證明：limf(x,y)=lim=1limf(x,y)=lim2jox)0x+xx0x>0xxy=xy-x2limf(x,y)不存在(1

13、0分)yQ（二十三）數(shù)學(xué)分析期末考試題敘述題：（每小題5分，共15分）1微積分基本公式2無窮項(xiàng)反常積分3緊幾合計(jì)算題：（每小題7分，共35分）.2._.dxdt2dx1、-dt%dx0,1t411x2、求由下列兩條曲線圍成的平面圖形的面積y+x=22y=x3、求£n（n+2）xn的收斂半徑和收斂域n14、設(shè)u=xeyz+e=+y,求偏導(dǎo)數(shù)和全微分5、limx)0y01xy-1xy討論與驗(yàn)證題：（每小題10分，共30分）22xy1討論f(x,y)=22一y2的二重極限和二次極限xy(x-y)、i1dx討論edx的斂散性0xplnx3、討論函數(shù)項(xiàng)fn(x)=xn-xn(0<x<

14、;1)的一致收斂性。四證明題：(每小題10分，共20分)xxu1 設(shè)f(x)連續(xù)，證明ff(u)(xu)du='Xf(x)dxdu2 證明u=y中(x2_y2)滿足丫里+x£u='u江；:yy設(shè)f(x)在a,b連續(xù),F(x)是f(x)在a,b上的一個(gè)原函數(shù)，則成立bf(x)dx=F(b)-F(a)oa2、設(shè)函數(shù)f(x)在a,收)有定義，且在任意有限區(qū)間a,A上可積。若極限Alim.af(x)dx存在，則稱反常積分收斂，否則稱反常積分發(fā)散3、如果S的任意一個(gè)開覆蓋中總存在一個(gè)有限子覆蓋,即存在UcJ中的有限個(gè)開集I/，'滿足0%=,則稱S為緊集二、1、dx2dx

15、0_dt_1,t422工=gx11x4dx02x(7分)2、解：兩曲線的交點(diǎn)為(-2,4),(1,1),(2分)12、,9八所求的面積為:口(2-x-x)dx=a(5分)limV'n(n+2)=1,收斂半徑為1(4分)，由于x=±1時(shí)，級(jí)數(shù)不收斂,n:，所以級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?-1,1)(3分)Uyz：UyzUyz-z八4：=e=xze+1=xye+e(4分).:x：:y;zdu=eyzdx+(xzeyz+1)dy+(xyeyz+e")dz(3分)5、解:1xy一1lim二limx0xyx。y0y0(.1xy-1)(1xy1)xy(,1xy1)(7分).,一、ew,x2

16、y20k#1、1、解、由于沿y=kx趨于(0,0)時(shí)，lim7,所以(x,kx)T0,0)x2y2+(x-y)21k=1重極限不存在（5分）2222limlim2J'2=0,limlim22xy=0,(5分)x)0y0x2y2(x-y)2y0x0x2y2(x-y)21p1.1dx2：0<p<1,由于x-00(xt旬)故fe-收斂(4分)；pA1,由xplnx0xplnx1 -p.十-21,于 x - 二(x一.xp In x，,-1dx 人,+b)(4分)故e收斂, 0xplnx發(fā)散（2分）。3、limfn(x)=0=f(x)(3分),n?lim supfn(x) - f (x) n_,=lim supxn - x