圓錐曲線的極坐標(biāo)方程焦半徑公式焦點(diǎn)弦公式

1、 圓錐曲線的極坐標(biāo)方程 知識點(diǎn)精析 橢圓、雙曲線、拋物線可以統(tǒng)一定義為：與一個定點(diǎn)(焦點(diǎn))的距離和一條定直線(準(zhǔn)線)的距離的比等于常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡     以橢圓的左焦點(diǎn)(雙曲線的右焦點(diǎn)、拋物線的焦點(diǎn))為極點(diǎn)，過點(diǎn)F作相應(yīng)準(zhǔn)線的垂線，垂足為K，以FK的反向延長線為極軸建立極坐標(biāo)系     橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程為： .    其中p是定點(diǎn)F到定直線的距離，p0     當(dāng)0e1時(shí)，方程表示橢圓；  &#

2、160;  當(dāng)e1時(shí)，方程表示雙曲線，若0，方程只表示雙曲線右支，若允許0，方程就表示整個雙曲線；    當(dāng)e=1時(shí)，方程表示開口向右的拋物線.引論（1）若 則0e1當(dāng)時(shí)，方程表示極點(diǎn)在右焦點(diǎn)上的橢圓當(dāng)e=1時(shí)時(shí)，方程表示開口向左的拋物線當(dāng)e1方程表示極點(diǎn)在左焦點(diǎn)上的雙曲線（2 ）若當(dāng) 0e1時(shí)，方程表示極點(diǎn)在下焦點(diǎn)的橢圓當(dāng)e=1時(shí)，方程表示開口向上的拋物線當(dāng) e1時(shí)!方程表示極點(diǎn)在上焦點(diǎn)的雙曲線（3）當(dāng) 0e1時(shí)，方程表示極點(diǎn)在上焦點(diǎn)的橢圓當(dāng)e=1時(shí)，方程表示開口向下的拋物線當(dāng) e1時(shí)!方程表示極點(diǎn)在下焦點(diǎn)的雙曲線例題選編 （1） 二次曲線基本量之間的

3、互求例1.確定方程表示曲線的離心率、焦距、長短軸長。解法一：解法二：根據(jù)極坐標(biāo)的定義，對右頂點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn)的極角為，因此只需令，右頂點(diǎn)的極徑，同理可得左頂點(diǎn)的的極徑。根據(jù)左右頂點(diǎn)極徑之和等于長軸長，便可以求出長軸。點(diǎn)睛，解法一采用待定系數(shù)法比較常規(guī)，解法二利用極坐標(biāo)的定義，簡潔而有力，充分體現(xiàn)了極坐標(biāo)處理問題的優(yōu)勢。下面的弦長問題的解決使極坐標(biāo)處理的優(yōu)勢顯的淋漓盡致。（2）圓錐曲線弦長問題若圓錐曲線的弦MN經(jīng)過焦點(diǎn)F，1、橢圓中，.2、雙曲線中，（注釋：雙曲線問題比較特殊，很多參考書上均有誤解。）若M、N在雙曲線同一支上，；若M、N在雙曲線不同支上，.3、拋物線中，例1過雙曲線的右焦點(diǎn)，引傾斜角為的

4、直線，交雙曲線與A、B兩點(diǎn)，求解：根據(jù)題意，建立以雙曲線右焦點(diǎn)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系即得所以又由 得注釋：求橢圓和拋物線過焦點(diǎn)的弦長時(shí)，無需對 v 加絕對值，但求雙曲線的弦長時(shí)，一定要加絕對值，這是避免討論做好的方法。點(diǎn)睛由于橢圓,拋物線的弦的兩個端點(diǎn)極徑均為正值, 所以弦長都是 ;對于兩個端點(diǎn)都在雙曲線右支上的弦,其端點(diǎn)極徑均為正值, 所以弦長也是 ;對于兩個端點(diǎn)分別在雙曲線左、右支上的弦,其端點(diǎn)極徑一個為正值一個為負(fù)值, 所以弦長是 - 或 為統(tǒng)一起見，求雙曲線時(shí)一律加絕對值，使用 變式練習(xí)：等軸雙曲線長軸為2，過其右有焦點(diǎn)，引傾斜角為的直線，交雙曲線于A,B兩點(diǎn)，求求解：附錄直角坐標(biāo)系中的焦半

5、徑公式 設(shè)P（x,y）是圓錐曲線上的點(diǎn)，1、若、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，則，；2、若、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線右支上時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線左支上時(shí)，；3、若F是拋物線的焦點(diǎn)，.利用弦長求面積點(diǎn)極徑一個為正值一個為負(fù)值,長是 或 高考題（08年海南卷）過橢圓的焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積簡解首先極坐標(biāo)方程中的焦點(diǎn)弦長公式求弦長，然后利用公式直接得出答案。變式(2005年全國高考理科)已知點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn).過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，過且與垂直的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，求四邊形面積的最小值和最大值.解析以點(diǎn)為極點(diǎn)，建立極坐標(biāo)系，則橢圓的極坐標(biāo)方程為

6、：設(shè)直線的傾斜角，則直線的傾斜角為，由極坐標(biāo)系中焦點(diǎn)弦長公式知： ，用他們來表示四邊形的面積 即求的最大值與最小值由三角知識易知：當(dāng)時(shí)，面積取得最小值；當(dāng)時(shí)，面積取得最大值 利用弦長公式解決常量問題例一過橢圓的左焦點(diǎn)F，作傾斜角為60的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若，求橢圓的離心率.簡解，建立極坐標(biāo)系，然后利用等量關(guān)系，可很快求出離心率。設(shè)橢圓的極坐標(biāo)方程為則，解得；變式求過橢圓的左焦點(diǎn)，且傾斜角為的弦長和左焦點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離。解：先將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式：則離心率，所以左焦點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距為2。設(shè)，代入極坐標(biāo)方程，則弦長（3） 定值問題例1. 拋物線的一條焦點(diǎn)弦被焦點(diǎn)分為a,b的兩段，證明：定值。解：

7、以焦點(diǎn)F為極點(diǎn)，以FX軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則拋物線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)將A,B兩點(diǎn)代入極坐標(biāo)方程，得則=（定值）點(diǎn)睛，引申到橢圓和雙曲線也是成立的。推論：若圓錐曲線的弦MN經(jīng)過焦點(diǎn)F，則有例二：經(jīng)過橢圓的的焦點(diǎn)作兩條相互垂直的弦AB和弦CD,求證為定值。證明：以橢圓的左焦點(diǎn)建立極坐標(biāo)系，此時(shí)橢圓的極坐標(biāo)方程為，又設(shè)則代入可得 ，則注釋。此公式對拋物線也成立，但對雙曲線不成立。注意使用的范圍。推廣1若經(jīng)過橢圓的中心做兩條相互垂直的弦，倒數(shù)和也為定值。需要以原點(diǎn)為極點(diǎn)建立極坐標(biāo)方程。推廣2若不取倒數(shù)，可以求它們和的最值。例三(2007重慶理改編)中心在原點(diǎn)的橢圓，點(diǎn)是其左焦點(diǎn)，在橢圓上任取三個不同點(diǎn)使證明：為定值，并求此定值解析：以點(diǎn)為極點(diǎn)建立極坐標(biāo)系，則橢圓的極坐標(biāo)方程為：，設(shè)點(diǎn)對應(yīng)的極角為，則點(diǎn)與對應(yīng)的極角分別為、，、與的極徑就分別是 、 與 ，因此，而在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們知道，因此為定值 點(diǎn)睛：極坐標(biāo)分別表示、與，這樣一個角度對應(yīng)一個極徑就不會象解析幾何那樣，一個傾斜角，對應(yīng)兩個點(diǎn)，同時(shí)對應(yīng)兩條焦半徑（極徑），這就是極坐標(biāo)表示圓錐曲