幾何模型一線三等角模型

1、實用標(biāo)準(zhǔn)一線三等角模型一.一線三等角概念“一線三等角”是一個常見的相似模型，指的是有三個等角的頂點在同一條直線上構(gòu)成的相似圖形，這個角可以是直角，也可以是銳角或鈍角。不同地區(qū)對此有不同的稱呼， “K 形圖”，“三垂直”，“弦圖”等，以下稱為“一線三等角”。二.一線三等角的分類全等篇 同側(cè) 銳角 直角 鈍角 異側(cè)相似篇 同側(cè) 銳角 直角 鈍角 異側(cè)三、“一線三等角”的性質(zhì)1.一般情況下，如圖 3-1，由1=2=3，易得AECBDE.2.當(dāng)?shù)冉撬鶎Φ倪呄嗟葧r，則兩個三角形全等.如圖 3-1，若 CE=ED，則AECBDE.3.中點型“一線三等角”如圖 3-2，當(dāng)1=2=3，且 D 是 BC 中點時

2、，BDECFDDFE.4.“中點型一線三等角“的變式(了解)如圖 3-3，當(dāng)1=2 且時，點 O 是ABC 的內(nèi)心.可以考慮構(gòu)造“一線三等角”.如圖 3-4“中點型一線三等角”通常與三角形的內(nèi)心或旁心相關(guān)， 這是內(nèi)心的性質(zhì)，反之未必是內(nèi)心.在圖 3-4（右圖）中，如果延長 BE 與 CF，交于點 P，則點 D 是PEF 的旁心.5.“一線三等角”的各種變式（圖 3-5，以等腰三角形為例進行說明 ）圖 3-5其實這個第 4 圖，延長 DC 反而好理解.相當(dāng)于兩側(cè)型的，不延長理解，以為是一種新型的，同側(cè)穿越型？不管怎么變，都是由三等角確定相似三角形來進行解題四、“一線三等角”的應(yīng)用1.“一線三等角

3、”應(yīng)用的三種情況.a.圖形中已經(jīng)存在“一線三等角”，直接應(yīng)用模型解題；b.圖形中存在“一線二等角”，不上“一等角”構(gòu)造模型解題；c.圖形中只有直線上一個角，不上“二等角”構(gòu)造模型解題.體會：感覺最后一種情況出現(xiàn)比較多，尤其是壓軸題中，經(jīng)常會有一個特殊角或指導(dǎo)該角的三角函數(shù)值時，我經(jīng)常構(gòu)造“一線三等角”來解題.2.在定邊對定角問題中，構(gòu)造一線三等角是基本手段，尤其是直角坐標(biāo)系中的張角問題，在 x 軸或 y 軸（也可以是平行于 x 軸或 y 軸的直線）上構(gòu)造一線三等角解決問題更是重要的手段.3.構(gòu)造一線三等角的步驟：找角、定線、構(gòu)相似坐標(biāo)系中，要講究“線”的特殊性如圖 3-6，線上有一特殊角，就考

4、慮構(gòu)造同側(cè)型一線三等角當(dāng)然只加這兩條線通常是不夠的，為了利用這個特殊角導(dǎo)線段的關(guān)系，過 C、D 兩點作直線 l 的垂線是必不可少的。兩條垂線通常情況下是為了“量化”的需要。上面就是作輔助線的一般程序，看起來線條比較多，很多老師都認為一下子不容易掌握.解題示范例 1 如圖所示，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸分別交于 A、B 兩點，點 P 是線段 AB 上一個動點（不包括 A、B 兩端點），C 是線段 OB 上一點，OPC=45，若OPC 是等腰三角形,求點 P 的坐標(biāo).例 2 如圖所示，四邊形 ABCD 中，C=90,ABD=DBC=22.5，AEBC 于 E，ADE=67.5，AB=6,則 CE= .例 3

5、 如圖，四邊形 ABCD 中,ABC=BAD=90，ACD=45，AB=3，AD=5.求 BC 的長.例 4 如圖，ABC 中,BAC=45，ADBC，BD=2，CD=3,求 AD 的長.一線三等角，補形最重要，內(nèi)構(gòu)勤思考，外構(gòu)更精妙.找出相似形，比例不能少.巧設(shè)未知數(shù)，妙解方程好還是可以縱橫斜三個方向構(gòu)造，坐標(biāo)系中一般考慮縱橫兩個方向構(gòu)造例 5 如圖，在ABC 中，BAC=135， AC= AB, ADAC 交 BC 于點 D，若 AD = ， 求ABC的面積當(dāng)然有45或 135等特殊角，據(jù)此也可以構(gòu)造不同的一線三等角一線三等角所有的構(gòu)造都是把分居定角兩側(cè)的數(shù)據(jù)集中在一起，是相似集中條件的一

6、種 .大練身手：例7：在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（1，0），B（0，3），C（3，0），D是線段AB上一點，CD交y軸于E，且SBCE 2SAOB （1）求直線AB的解析式；（2）求點D的坐標(biāo)，猜想線段CE與線段AB的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；yEDCAOBx（3）若F為射線CD上一點，且DBF45，求點F的坐標(biāo)例8：如圖，直線yx2與y軸交于點C，與拋物線yax 2交于A、B兩點（A在B的左側(cè)），BC2AC，點P是拋物線上一點（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）若點P在直線AB的下方，求點P到直線AB的距離的最大值；（3）若點P在直線AB的上方，且BPC45，求所有滿足條件的點P的坐標(biāo)

7、BxyCAO練1：.如圖，拋物線的頂點為C（1，1），且經(jīng)過點A、點B和坐標(biāo)原點O，點B的橫坐標(biāo)為3（1）求拋物線的解析式；（2）若點D為拋物線上的一點，且BOD的面積等于BOC的面積，請直接寫出點D的坐標(biāo)；（3）若點E的坐標(biāo)為（0，2），點P是線段BC上的一個動點，是否存在點P，使得OPE45？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由BACOxyE課后作業(yè)：如圖，點A(0,-1),B(3,0),P為直線y= -x+5上一點，若APB=45，求點P的坐標(biāo)在四邊形ABCD中，ABC=BAD=90，ACD=45，AB=3,AD=4,求AC的長.如圖，正方形ABCD中，點E,F,G分別在AB,B

8、C,CD上，EFG為等邊三角形，求證：BE+GC=BC如圖，ABCDBA,且AC=BC,求證:CD=2AB.如圖，在四邊形ABCD中，ABC90，AB3，BC4，CD10，DA，求BD的長如圖，點A 是反比例（X0）圖形上一點，點B是X軸正半軸上一點，點C的坐標(biāo)為（0，2），點ABC是等邊三角形時，求點A的坐標(biāo).如圖，拋物線yax 2bx4與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，直線l：y xm經(jīng)過點A，與拋物線交于另一點D（5， ），點P是直線l上方的拋物線上的動點，連接PC、PD（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)PCD為直角三角形時，求點P的坐標(biāo)；（3）設(shè)PCD的面積為S，

9、請你探究：使S的值為整數(shù)的點P共有幾個，說明理由yxOABCDl1.如圖1,已知直線y=kx與拋物線 交于點A（3，6）.（1）求直線y=kx的解析式和線段OA的長度；（2）點P為拋物線第一象限內(nèi)的動點,過點P作直線PM, 交x軸于點M（點M、O不重合）,交直線OA于點Q,再過點Q作直線PM的垂線,交y軸于點N.試探究：線段QM與線段QN的長度之比是否為定值？如果是,求出這個定值,如果不是,說明理由；（3）如圖2,若點B為拋物線上對稱軸右側(cè)的點,點E在線段OA上（與點O、A不重合）,點D（m，0）是x軸正半軸上的動點,且滿足BAE=BED=AOD.繼續(xù)探究：m在什么范圍時,符合條件的E點的個數(shù)分別是1個、2個？OxyABED圖