高中數(shù)學(xué)專題講義：平面向量

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)高中數(shù)學(xué)專題講義：平面向量第第 1 講講平面向量的概念及線性運(yùn)算平面向量的概念及線性運(yùn)算最新考綱最新考綱1.了解向量的實(shí)際背景；2.理解平面向量的概念,理解兩個(gè)向量相等的含義；3.理解向量的幾何表示；4.掌握向量加法、減法的運(yùn)算,并理解其幾何意義；5.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義,理解兩個(gè)向量共線的含義；6.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.知 識(shí) 梳 理1.向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量； 向量的大小叫做向量的長度(或稱模)平面向量是自由向量零向量長度為零的向量；其方向是任意的記作 0單位向量長度等于 1 個(gè)單位的向量非零向量

2、 a 的單位向量為a|a|平行向量方向相同或相反的非零向量0 與任一向量平行或共線共線向量方向相同或相反的非零向量又叫做共線向量相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等,不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量0 的相反向量為 02.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算(1)交換律：abba.(2)結(jié)合律：(ab)ca(bc)減法求a與 b的相反向量b 的和的運(yùn)算叫做 a 與 baba(b)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)的差數(shù)乘求實(shí)數(shù)與向量a 的積的運(yùn)算(1)|a|a|；(2)當(dāng)0 時(shí),a 的方向與 a的方向相同；當(dāng)0 時(shí),a的方

3、向與 a 的方向相反； 當(dāng)0 時(shí),a0(a)a；()aaa；(ab)ab3.共線向量定理向量 a(a0)與 b 共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù),使得 ba.診 斷 自 測(cè)1.判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)精彩 PPT 展示(1)零向量與任意向量平行.()(2)若 ab,bc,則 ac.()(3)向量AB與向量CD是共線向量,則 A,B,C,D 四點(diǎn)在一條直線上.()(4)當(dāng)兩個(gè)非零向量 a,b 共線時(shí),一定有 ba,反之成立.()(5)在ABC 中,D 是 BC 中點(diǎn),則AD12(ACAB).()解析(2)若 b0,則 a 與 c 不一定平行.(3)共線向量所在的直線可以重合,也可以平行,

4、則 A,B,C,D 四點(diǎn)不一定在一條直線上.答案(1)(2)(3)(4)(5)2.給出下列命題：零向量的長度為零,方向是任意的；若 a,b 都是單位向量,則 ab；向量AB與BA相等.則所有正確命題的序號(hào)是()A.B.C.D.解析根據(jù)零向量的定義可知正確；根據(jù)單位向量的定義可知,單位向量的模相等,但方向不一定相同,故兩個(gè)單位向量不一定相等,故錯(cuò)誤；向量AB與BA互為相反向量,故錯(cuò)誤.答案A3.(2017棗莊模擬)設(shè) D 為ABC 所在平面內(nèi)一點(diǎn),AD13AB43AC,若BCDC(R),則()A.2B.3C.2D.3精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)解析由AD13AB43AC,可得 3A

5、DAB4AC,即 4AD4ACADAB,則 4CDBD,即BD4DC,可得BDDC3DC,故BC3DC,則3,故選 D.答案D4.(2015全國卷)設(shè)向量 a,b 不平行,向量ab 與 a2b 平行,則實(shí)數(shù)_.解析向量 a,b 不平行,a2b0,又向量ab 與 a2b 平行,則存在唯一的實(shí)數(shù),使ab(a2b)成立,即aba2b,則得，12，解得12.答案125.(必修 4P92A12 改編)已知ABCD 的對(duì)角線 AC 和 BD 相交于 O,且OAa,OBb,則DC_,BC_(用 a,b 表示).解析如圖,DCABOBOAba,BCOCOBOAOBab.答案baab考點(diǎn)一平面向量的概念【例 1

6、】 下列命題中,不正確的是_(填序號(hào)).若|a|b|,則 ab；若 A,B,C,D 是不共線的四點(diǎn),則“ABDC”是“四邊形 ABCD 為平行四邊形”的充要條件；若 ab,bc,則 ac.解析不正確.兩個(gè)向量的長度相等,但它們的方向不一定相同.正確.ABDC,|AB|DC|且ABDC,又 A,B,C,D 是不共線的四點(diǎn),四邊形 ABCD 為平行四邊形； 反之,若四邊形 ABCD 為平行四邊形,則|AB|DC|,ABDC且AB,DC方向相同,因此ABDC.正確.ab,a,b的長度相等且方向相同,又bc,b,c 的長度相等且方向相同,a,c的長度精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)相等且方向

7、相同,故 ac.答案規(guī)律方法(1)相等向量具有傳遞性,非零向量的平行也具有傳遞性.(2)共線向量即為平行向量,它們均與起點(diǎn)無關(guān).(3)向量可以平移,平移后的向量與原向量是相等向量.解題時(shí),不要把它與函數(shù)圖象的移動(dòng)混為一談.(4)非零向量 a 與a|a|的關(guān)系：a|a|是與 a 同方向的單位向量.【訓(xùn)練 1】 下列命題中,正確的是_(填序號(hào)).有向線段就是向量,向量就是有向線段；向量 a 與向量 b 平行,則 a 與 b 的方向相同或相反；兩個(gè)向量不能比較大小,但它們的模能比較大小.解析不正確,向量可以用有向線段表示,但向量不是有向線段,有向線段也不是向量；不正確,若 a 與 b 中有一個(gè)為零向

8、量,零向量的方向是不確定的,故兩向量方向不一定相同或相反；正確,向量既有大小,又有方向,不能比較大??；向量的模均為實(shí)數(shù),可以比較大小.答案考點(diǎn)二平面向量的線性運(yùn)算【例 2】(1)(2017濰坊模擬)在ABC 中,P,Q 分別是 AB,BC 的三等分點(diǎn),且 AP13AB,BQ13BC.若ABa,ACb,則PQ()A.13a13bB.13a13bC.13a13bD.13a13b(2)(2015北京卷)在ABC 中,點(diǎn) M,N 滿足AM2MC,BNNC.若MNxAByAC,則 x_；y_.解析(1)PQPBBQ23AB13BC23AB13(ACAB)13AB13AC13a13b,故選 A.精選優(yōu)質(zhì)文

9、檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)(2)由題中條件得,MNMCCN13AC12CB13AC12(ABAC)12AB16ACxAByAC,所以 x12,y16.答案(1)A(2)1216規(guī)律方法(1)解題的關(guān)鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量,并能熟練運(yùn)用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化.(2)用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向量問題的基本技巧：觀察各向量的位置；尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；運(yùn)用法則找關(guān)系；化簡結(jié)果.【訓(xùn)練 2】 (1)如圖,正方形 ABCD 中,點(diǎn) E 是 DC 的中點(diǎn),點(diǎn) F 是 BC 的一個(gè)靠近B 點(diǎn)的三等分點(diǎn),那么EF等于()A.12AB13ADB.14AB12ADC.13AB12DAD.12A

10、B23AD(2)在ABC 中,AB2,BC3,ABC60,AD 為 BC 邊上的高,O 為 AD 的中點(diǎn),若AOABBC,則等于()A.1B.12C.13D.23解析(1)在CEF 中,有EFECCF.因?yàn)辄c(diǎn) E 為 DC 的中點(diǎn),所以EC12DC.因?yàn)辄c(diǎn) F 為 BC 的一個(gè)靠近 B 點(diǎn)的三等分點(diǎn),所以CF23CB.所以EF12DC23CB12AB23DA12AB23AD,故選 D.精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)(2)ADABBDAB13BC,2AOAB13BC,即AO12AB16BC.故121623.答案(1)D(2)D考點(diǎn)三共線向量定理及其應(yīng)用【例 3】 設(shè)兩個(gè)非零向量 a

11、與 b 不共線.(1)若ABab,BC2a8b,CD3(ab).求證：A,B,D 三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù) k,使 kab 和 akb 共線.(1)證明ABab,BC2a8b,CD3(ab).BDBCCD2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5AB.AB,BD共線,又它們有公共點(diǎn) B,A,B,D 三點(diǎn)共線.(2)解kab 與 akb 共線,存在實(shí)數(shù),使 kab(akb),即 kabakb,(k)a(k1)b.a,b 是不共線的兩個(gè)非零向量,kk10,k210,k1.規(guī)律方法(1)證明三點(diǎn)共線問題,可用向量共線解決,但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系,當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí),才能得

12、出三點(diǎn)共線.(2)向量 a,b 共線是指存在不全為零的實(shí)數(shù)1,2,使1a2b0 成立.【訓(xùn)練 3】 (1)(2017資陽模擬)已知向量ABa3b,BC5a3b,CD3a3b,則()A.A,B,C 三點(diǎn)共線B.A,B,D 三點(diǎn)共線C.A,C,D 三點(diǎn)共線D.B,C,D 三點(diǎn)共線(2)已知 A,B,C 是直線 l 上不同的三個(gè)點(diǎn),點(diǎn) O 不在直線 l 上,則使等式 x2OAxOBBC0 成立的實(shí)數(shù) x 的取值集合為()A.0B.C.1D.0,1精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)解析(1)BDBCCD2a6b2(a3b)2AB,BD、AB共線,又有公共點(diǎn) B,A,B,D 三點(diǎn)共線.故選 B.

13、(2)因?yàn)锽COCOB,所以 x2OAxOBOCOB0,即OCx2OA(x1)OB,因?yàn)?A,B,C 三點(diǎn)共線,所以x2(x1)1,即 x2x0,解得 x0 或 x1.答案(1)B(2)D思想方法1.向量的線性運(yùn)算滿足三角形法則和平行四邊形法則.向量加法的三角形法則要素是“首尾相接,指向終點(diǎn)”；向量減法的三角形法則要素是“起點(diǎn)重合,指向被減向量”；平行四邊形法則要素是“起點(diǎn)重合”.2.證明三點(diǎn)共線問題,可用向量共線來解決,但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系,當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí),才能得出三點(diǎn)共線.3.對(duì)于三點(diǎn)共線有以下結(jié)論：對(duì)于平面上的任一點(diǎn) O,OA,OB不共線,滿足OPxOAyOB

14、(x,yR),則 P,A,B 共線xy1.易錯(cuò)防范1.解決向量的概念問題要注意兩點(diǎn)：一是不僅要考慮向量的大小,更重要的是要考慮向量的方向；二是考慮零向量是否也滿足條件.要特別注意零向量的特殊性.2.在利用向量減法時(shí),易弄錯(cuò)兩向量的順序,從而求得所求向量的相反向量,導(dǎo)致錯(cuò)誤.基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：30 分鐘)一、選擇題1.已知下列各式：ABBCCA；ABMBBOOM；OAOBBOCO；ABACBDCD,其中結(jié)果為零向量的個(gè)數(shù)為()A.1B.2C.3D.4精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)解析由題知結(jié)果為零向量的是,故選 B.答案B2.設(shè) a 是非零向量,是非零實(shí)數(shù),下列結(jié)論中正確的是(

15、)A.a 與a 的方向相反B.a 與2a 的方向相同C.|a|a|D.|a|a解析對(duì)于 A,當(dāng)0 時(shí),a 與a 的方向相同,當(dāng)0 時(shí),a 與a 的方向相反,B 正確； 對(duì)于 C,|a|a|,由于|的大小不確定,故|a|與|a|的大小關(guān)系不確定；對(duì)于 D,|a 是向量,而|a|表示長度,兩者不能比較大小.答案B3.如圖,在正六邊形 ABCDEF 中,BACDEF()A.0B.BEC.ADD.CF解析由題圖知BACDEFBAAFCBCBBFCF.答案D4.設(shè) a0為單位向量,下述命題中：若 a 為平面內(nèi)的某個(gè)向量,則 a|a|a0；若 a 與 a0平行,則a|a|a0；若 a 與 a0平行且|a|

16、1,則 aa0.假命題的個(gè)數(shù)是()A.0B.1C.2D.3解析向量是既有大小又有方向的量,a 與|a|a0的模相同,但方向不一定相同,故是假命題；若a 與 a0平行,則 a 與 a0的方向有兩種情況：一是同向,二是反向,反向時(shí) a|a|a0,故也是假命題.綜上所述,假命題的個(gè)數(shù)是 3.答案D5.設(shè)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn),則OAOBOCOD等于()A.OMB.2OMC.3OMD.4OM解析OAOBOCOD(OAOC)(OBOD)2OM2OM4OM.故選 D.答案D精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)6.在ABC 中,ABc,ACb,若點(diǎn)

17、 D 滿足BD2DC,則AD等于()A.23b13cB.53c23bC.23b13cD.13b23c解析BD2DC,ADABBD2DC2(ACAD),3AD2ACAB,AD23AC13AB23b13c.答案A7.(2017溫州八校檢測(cè))設(shè)a,b不共線,AB2apb,BCab,CDa2b,若A,B,D三點(diǎn)共線,則實(shí)數(shù) p 的值為()A.2B.1C.1D.2解析BCab,CDa2b,BDBCCD2ab.又A,B,D 三點(diǎn)共線,AB,BD共線.設(shè)ABBD,2apb(2ab),22,p,1,p1.答案B8.如圖所示,已知AB 是圓O的直徑,點(diǎn)C,D是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn),ABa,ACb,則AD()A.

18、a12bB.12abC.a12bD.12ab解析連接 CD,由點(diǎn) C,D 是半圓弧的三等分點(diǎn),得 CDAB 且CD12AB12a,所以ADACCDb12a.答案D二、填空題9.如圖,點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心,在分別以正六邊形的頂點(diǎn)和中心為始精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中,與向量OA相等的向量有_個(gè).解析根據(jù)正六邊形的性質(zhì)和相等向量的定義,易知與向量OA相等的向量有CB,DO,EF,共 3 個(gè).答案310.如圖,在平行四邊形 ABCD 中,對(duì)角線 AC 與 BD 交于點(diǎn) O,ABADAO,則_.解析因?yàn)?ABCD 為平行四邊形,所以ABADAC2AO,已知AB

19、ADAO,故2.答案211.向量 e1,e2不共線,AB3(e1e2),CBe2e1,CD2e1e2,給出下列結(jié)論：A,B,C 共線；A,B,D 共線；B,C,D 共線；A,C,D 共線,其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為_.解析由ACABCB4e12e22CD,且AB與CB不共線,可得 A,C,D 共線,且 B 不在此直線上.答案12.已知ABC 和點(diǎn) M 滿足MAMBMC0,若存在實(shí)數(shù) m 使得ABACm AM成立,則 m_.解析由已知條件得MBMCMA,如圖,延長 AM 交 BC 于 D 點(diǎn),則 D 為BC 的中點(diǎn).延長 BM 交 AC 于 E 點(diǎn),延長 CM 交 AB 于 F 點(diǎn),同理可證 E,

20、F 分別為 AC,AB 的中點(diǎn),即 M 為ABC 的重心,AM23AD13(ABAC),即ABAC3AM,則 m3.答案3能力提升題組(建議用時(shí)：15 分鐘)13.(2017延安模擬)設(shè) e1與 e2是兩個(gè)不共線向量,AB3e12e2,CBke1e2,CD3e12ke2,若A,B,D 三點(diǎn)共線,則 k 的值為()A.94B.49C.38D.不存在精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)解析由題意,A,B,D 三點(diǎn)共線,故必存在一個(gè)實(shí)數(shù),使得ABBD.又AB3e12e2,CBke1e2,CD3e12ke2,所以BDCDCB3e12ke2(ke1e2)(3k)e1(2k1)e2,所以 3e12e

21、2(3k)e1(2k1)e2,所以3（3k） ，2（2k1） ，解得 k94.答案A14.已知點(diǎn) O,A,B 不在同一條直線上,點(diǎn) P 為該平面上一點(diǎn),且 2OP2OABA,則()A.點(diǎn) P 在線段 AB 上B.點(diǎn) P 在線段 AB 的反向延長線上C.點(diǎn) P 在線段 AB 的延長線上D.點(diǎn) P 不在直線 AB 上解析因?yàn)?2OP2OABA,所以 2APBA,所以點(diǎn) P 在線段 AB 的反向延長線上,故選 B.答案B15.O 是 平 面 上 一 定 點(diǎn) ,A,B,C 是 平 面 上 不 共 線 的 三 個(gè) 點(diǎn) , 動(dòng) 點(diǎn) P 滿 足 ： OP OAAB|AB|AC|AC|,0,),則 P 的軌跡

22、一定通過ABC 的()A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心解析作BAC 的平分線 AD.OPOAAB|AB|AC|AC|,APAB|AB|AC|AC|精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)AD|AD|(0,),AP|AD|AD,APAD.P 的軌跡一定通過ABC 的內(nèi)心.答案B16.若點(diǎn) O 是ABC 所在平面內(nèi)的一點(diǎn),且滿足|OBOC|OBOC2OA|,則ABC 的形狀為_.解析OBOC2OA(OBOA)(OCOA)ABAC,OBOCCBABAC,|ABAC|ABAC|.故 A,B,C 為矩形的三個(gè)頂點(diǎn),ABC 為直角三角形.答案直角三角形第第 2 講講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示平面向量基本

23、定理及坐標(biāo)表示最新考綱最新考綱1.了解平面向量的基本定理及其意義；2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算；4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.知 識(shí) 梳 理1.平面向量的基本定理如果 e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量 a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1,2,使 a1e12e2.其中,不共線的向量 e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.2.平面向量的正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.3.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè) a(x1,y1),b(x2,y2)

24、,則精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)ab(x1x2,y1y2),ab(x1x2,y1y2),a(x1,y1),|a| x21y21.(2)向量坐標(biāo)的求法若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn),則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).設(shè) A(x1,y1),B(x2,y2),則AB(x2x1,y2y1),|AB| （x2x1）2（y2y1）2.4.平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè) a(x1,y1),b(x2,y2),則 abx1y2x2y10.診 斷 自 測(cè)1.判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)精彩 PPT 展示(1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底.()(2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.()(3)設(shè) a,b 是

25、平面內(nèi)的一組基底,若實(shí)數(shù)1,1,2,2滿足1a1b2a2b,則12,12.()(4)若 a(x1,y1),b(x2,y2),則 ab 的充要條件可以表示成x1x2y1y2.()(5)在ABC 中,設(shè)ABa,BCb,則向量 a 與 b 的夾角為ABC.()解析(1)共線向量不可以作為基底.(2)同一向量在不同基底下的表示不相同.(4)若 b(0,0),則x1x2y1y2無意義.(5)向量 a 與 b 的夾角為ABC 的補(bǔ)角.答案(1)(2)(3)(4)(5)2.(2017福建三明月考)已知向量 a(2,4),b(1,1),則 2ab 等于()A.(5,7)B.(5,9)C.(3,7)D.(3,9

26、)解析2ab2(2,4)(1,1)(3,9),故選 D.答案D3.(2015全國卷)已知點(diǎn) A(0,1),B(3,2),向量AC(4,3),則向量BC()A.(7,4)B.(7,4)C.(1,4)D.(1,4)解析根據(jù)題意得AB(3,1),BCACAB(4,3)(3,1)(7,4),故選 A.答案A精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)4.(2016全國卷)已知向量 a(m,4),b(3,2),且 ab,則 m_.解析因?yàn)?ab,所以由(2)m430,解得 m6.答案65.(必修 4P101A3 改編)已知ABCD 的頂點(diǎn) A(1,2),B(3,1),C(5,6),則頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)為_.

27、解析設(shè) D(x,y),則由ABDC,得(4,1)(5x,6y),即45x，16y，解得x1，y5.答案(1,5)考點(diǎn)一平面向量基本定理及其應(yīng)用【例1】(1)(2014全國卷)設(shè)D,E,F分別為ABC的三邊BC,CA,AB的中點(diǎn),則EBFC()A.ADB.12ADC.12BCD.BC(2)(2017濟(jì)南調(diào)研)如圖,在ABC 中,AN13NC,P 是 BN 上的一點(diǎn),若APmAB211AC,則實(shí)數(shù) m 的值為_.解析(1)如圖所示,EBFC(ECBC)(FBBC)ECFB12AC12AB12(ACAB)AD.(2)設(shè)BPkBN,kR.因?yàn)锳PABBPABkBNABk(ANAB)ABk14ACAB(

28、1k)ABk4AC,且APmAB211AC,精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)所以 1km,k4211,解得 k811,m311.答案(1)A(2)311規(guī)律方法(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底,并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式,再通過向量的運(yùn)算來解決.【訓(xùn)練 1】 (1)如圖,已知ABa,ACb,BD3DC,用 a,b 表示AD,則AD_.(2)(2017南京、鹽城模擬)如圖,在平行四邊形 ABCD 中,AC,BD 相交于點(diǎn) O,E 為線段 AO 的

29、中點(diǎn).若BEBABD(,R),則_.解析(1)ADABBDAB34BCAB34(ACAB)14AB34AC14a34b.(2)由題意可得BE12BA12BO12BA14BD,由平面向量基本定理可得12,14,所以34.答案(1)14a34b(2)34考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算【例 2】 (1)已知向量 a(5,2),b(4,3),c(x,y),若 3a2bc0,則 c()A.(23,12)B.(23,12)C.(7,0)D.(7,0)(2)(2017北京西城模擬)向量 a,b,c 在正方形網(wǎng)格中,如圖所示,若 cab(,R),則()A.1B.2C.3D.4解析(1)3a2bc(23x,12y)0

30、,故 x23,y12,故選 A.(2)以向量 a,b 的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖直角坐標(biāo)系(設(shè)每個(gè)小正方形邊長為 1),A(1,精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)1),B(6,2),C(5,1),所以 a(1,1),b(6,2),c(1,3),cab,16，32，解之得2 且12,因此,2124,故選 D.答案(1)A(2)D規(guī)律方法(1)巧借方程思想求坐標(biāo)：若已知向量兩端點(diǎn)的坐標(biāo),則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo),解題過程中注意方程思想的應(yīng)用.(2)向量問題坐標(biāo)化：向量的坐標(biāo)運(yùn)算,使得向量的線性運(yùn)算都可以用坐標(biāo)來進(jìn)行,實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算的代數(shù)化,將數(shù)與形結(jié)合起來,使幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量運(yùn)算問題.【訓(xùn)練

31、 2】 (1)已知點(diǎn) A(1,5)和向量 a(2,3),若AB3a,則點(diǎn) B 的坐標(biāo)為()A.(7,4)B.(7,14)C.(5,4)D.(5,14)(2)(2015江蘇卷)已知向量 a(2,1),b(1,2).若 manb(9,8)(m,nR),則 mn 的值為_.解析(1)設(shè)點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(x,y),則AB(x1,y5).由AB3a,得x16，y59，解得x5，y14.(2)由向量 a(2,1),b(1,2),得 manb(2mn,m2n)(9,8),則2mn9，m2n8，解得m2，n5，故 mn3.答案(1)D(2)3考點(diǎn)三平面向量共線的坐標(biāo)表示【例 3】 (1)已知平面向量 a(1,

32、2),b(2,m),且 ab,則 2a3b_.(2)(必修 4P101 練習(xí) 7 改編)已知 A(2,3),B(4,3),點(diǎn) P 在線段 AB 的延長線上,且|AP|32|BP|,則點(diǎn)P 的坐標(biāo)為_.解析(1)由 a(1,2),b(2,m),且 ab,得 1m2(2)0,即 m4.精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)從而 b(2,4),那么 2a3b2(1,2)3(2,4)(4,8).(2)設(shè) P(x,y),由點(diǎn) P 在線段 AB 的延長線上,則AP32BP,得(x2,y3)32(x4,y3),即x232（x4） ，y332（y3）.解得x8，y15.所以點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(8,15).答

33、案(1)(4,8)(2)(8,15)規(guī)律方法(1)兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：若 a(x1,y1),b(x2,y2),則 ab 的充要條件是 x1y2x2y10； 若 ab(b0),則 ab.(2)向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行,也可以由平行求參數(shù).當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時(shí),也可以利用坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例來求解.【訓(xùn)練 3】 (1)(2017河南三市聯(lián)考)已知點(diǎn) A(1,3),B(4,1),則與AB同方向的單位向量是()A.35，45B.45，35C.35，45D.45，35(2)若三點(diǎn) A(1,5),B(a,2),C(2,1)共線,則實(shí)數(shù) a 的值為_.解析(1)ABOBOA(4,1

34、)(1,3)(3,4),與AB同方向的單位向量為AB|AB|35，45 .(2)AB(a1,3),AC(3,4),根據(jù)題意ABAC,4(a1)3(3)0,即 4a5,a54.答案(1)A(2)54思想方法1.對(duì)平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理實(shí)際上是向量的分解定理,并且是平面向量正交分解的理論依據(jù),也是向精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)量的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ).(2)平面向量一組基底是兩個(gè)不共線向量,平面向量基底可以有無窮多組.(3)用平面向量基本定理可將平面中任一向量分解成形如 a1e12e2的形式.2.向量共線的作用向量共線常常用來解決交點(diǎn)坐標(biāo)問題和三點(diǎn)共線問題,向量共線的

35、充要條件用坐標(biāo)可表示為x1y2x2y10.易錯(cuò)防范1.要注意點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系,向量的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)就是向量坐標(biāo),當(dāng)向量的起點(diǎn)是原點(diǎn)時(shí),其終點(diǎn)坐標(biāo)就是向量坐標(biāo).2.向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)系.兩個(gè)相等的向量,無論起點(diǎn)在什么位置,它們的坐標(biāo)都是相同的.基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：30 分鐘)一、選擇題1.(必修 4P118A 組 2(6)下列各組向量中,可以作為基底的是()A.e1(0,0),e2(1,2) B.e1(1,2),e2(5,7)C.e1(3,5),e2(6,10)D.e1(2,3),e212，34解析兩個(gè)不共線的非零向量構(gòu)成一組基底,故

36、選 B.答案B2.(2016沈陽質(zhì)監(jiān))已知在ABCD 中,AD(2,8),AB(3,4),則AC()A.(1,12)B.(1,12)C.(1,12)D.(1,12)解析因?yàn)樗倪呅?ABCD 是平行四邊形,所以ACABAD(1,12),故選 B.答案B3.已知向量 a(1,2),b(3,m),mR,則“m6”是“a(ab)”的()A.充分必要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)D.既不充分也不必要條件解析由題意得 ab(2,2m),由 a(ab),得1(2m)22,所以 m6,則“m6”是“a(ab)”的充要條件,故選 A.答案A4.如右圖,向量 e

37、1,e2,a 的起點(diǎn)與終點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上,則向量 a 可用基底 e1,e2表示為()A.e1e2B.2e1e2C.2e1e2D.2e1e2解析以 e1的起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),e1所在直線為 x 軸建立平面直角坐標(biāo)系,由題意可得 e1(1,0),e2(1,1),a(3,1),因?yàn)?axe1ye2x(1,0)y(1,1),(xy,y),則xy3，y1，解得x2，y1，故 a2e1e2.答案B5.已知向量OA(k,12),OB(4,5),OC(k,10),且 A,B,C 三點(diǎn)共線,則 k 的值是()A.23B.43C.12D.13解析ABOBOA(4k,7),ACOCOA(2k,2),因?yàn)?A,B

38、,C 三點(diǎn)共線,所以AB,AC共線,所以2(4k)7(2k),解得 k23.答案A6.(2017衡水冀州中學(xué)月考)在ABC 中,點(diǎn) D 在 BC 邊上,且CD2DB,CDrABsAC,則 rs等于()A.23B.43C.3D.0解析因?yàn)镃D2DB,所以CD23CB23(ABAC)23AB23AC,則 rs2323 0,故選 D.答案D7.在ABC 中,點(diǎn) P 在 BC 上,且BP2PC,點(diǎn) Q 是 AC 的中點(diǎn),若PA(4,3),PQ(1,5),則BC等于精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)()A.(2,7)B.(6,21)C.(2,7)D.(6,21)解析AQPQPA(3,2),Q 是

39、 AC 的中點(diǎn),AC2AQ(6,4),PCPAAC(2,7),BP2PC,BC3PC(6,21).答案B8.(2017河南八市質(zhì)檢)已知點(diǎn) M 是ABC 的邊 BC 的中點(diǎn),點(diǎn) E 在邊 AC 上,且EC2AE,則向量EM()A.12AC13ABB.12AC16ABC.16AC12ABD.16AC32AB解析如圖,EC2AE,EMECCM23AC12CB23AC12(ABAC)12AB16AC.答案C二、填空題9.(2017廣州綜測(cè))已知向量 a(x,1),b(2,y),若 ab(1,1),則 xy_.解析因?yàn)?x,1)(2,y)(1,1),所以x21，y11，解得x1，y2，所以 xy3.答

40、案310.若三點(diǎn) A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab0)共線,則1a1b的值為_.解析AB(a2,2),AC(2,b2),依題意,有(a2)(b2)40,即 ab2a2b0,所以1a1b12.精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)答案1211.已知向量 a(1,2),b(x,1),ua2b,v2ab,且 uv,則實(shí)數(shù) x 的值為_.解析因?yàn)?a(1,2),b(x,1),ua2b,v2ab,所以 u(1,2)2(x,1)(2x1,4),v2(1,2)(x,1)(2x,3).又因?yàn)?uv,所以 3(2x1)4(2x)0,即 10 x5,解得 x12.答案1212.在平行四邊形 AB

41、CD 中,ABe1,ACe2,NC14AC,BM12MC,則MN_(用 e1,e2)表示.解析如圖,MNCNCMCN2BMCN23BC14AC23(ACAB)14e223(e2e1)23e1512e2.答案23e1512e2能力提升題組(建議用時(shí)：15 分鐘)13.(2017長沙調(diào)研)如圖,在OAB 中,P 為線段 AB 上的一點(diǎn),OPxOAyOB,且BP2 PA,則()A.x23,y13B.x13,y23C.x14,y34D.x34,y14解析由題意知OPOBBP,又BP2PA,所以O(shè)POB23BAOB23(OAOB)23OA13OB,所以 x23,y13.答案A精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專

42、心-專注-專業(yè)14.已知|OA|1,|OB| 3,OA OB0,點(diǎn) C 在AOB 內(nèi),且OC與OA的夾角為 30,設(shè)OCmOAnOB(m,nR),則mn的值為()A.2B.52C.3D.4解析OAOB0,OAOB,以 OA 為 x 軸,OB 為 y 軸建立直角坐標(biāo)系,OA(1,0),OB(0, 3),OCmOAnOB(m, 3n).tan 303nm33,m3n,即mn3,故選 C.答案C15.已知點(diǎn) A(1,2),B(2,8),AC13AB,DA13BA,則CD的坐標(biāo)為_.解析設(shè)點(diǎn) C,D 的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2).由題意得AC(x11,y12),AB(3,6),DA(1x

43、2,2y2),BA(3,6).因?yàn)锳C13AB,DA13BA,所以有x111，y122和1x21，2y22.解得x10，y14和x22，y20.所以點(diǎn) C,D 的坐標(biāo)分別為(0,4),(2,0),從而CD(2,4).答案(2,4)16.(2016四川卷改編)已知正ABC 的邊長為 2 3,平面 ABC 內(nèi)的動(dòng)點(diǎn) P,M 滿足|AP|1,PM精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)MC,則|BM|2的最大值是_.解析建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示,則B( 3,0),C( 3,0),A(0,3),則點(diǎn)P的軌跡方程為 x2(y3)21.設(shè) P(x,y),M(x0,y0),則 x2x0 3,y2y0,代

44、入圓的方程得x0322y032214,所以點(diǎn) M 的軌跡方程為x322y32214,它表示以32，32 為圓心,以12為半徑的圓,所以|BM|max32 3232021272,所以|BM|2max494.答案494第第 3 講講平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用最新考綱最新考綱1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式,會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角,會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系； 5.會(huì)用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題；6.會(huì)用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)

45、際問題.知 識(shí) 梳 理1.平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念(1)向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量 a 和 b,記OAa,OBb,則AOB(0180)叫做向量 a 與 b 的夾角.(2)數(shù)量積的定義： 已知兩個(gè)非零向量 a 與 b,它們的夾角為,則數(shù)量|a|b|cos_ 叫做 a 與 b 的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作 ab,即 ab|a|b|cos_,規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為 0,即 0a0.(3)數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積 ab 等于 a 的長度|a|與 b 在 a 的方向上的投影|b|cos_的乘積.2.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)向量 a(x1,y1),b(x2,y2),為向量 a,b 的夾角.

46、(1)數(shù)量積：ab|a|b|cos x1x2y1y2.(2)模：|a| aa x21y21.精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)(3)夾角：cos ab|a|b|x1x2y1y2x21y21 x22y22.(4)兩非零向量 ab 的充要條件：ab0 x1x2y1y20.(5)|ab|a|b|(當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)等號(hào)成立)|x1x2y1y2|x21y21 x22y22.3.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)abba(交換律).(2)ab(ab)a(b)(結(jié)合律).(3)(ab)cacbc(分配律).診 斷 自 測(cè)1.判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)精彩 PPT 展示(1)兩個(gè)向量的夾角的范圍是0

47、，2 .()(2)向量在另一個(gè)向量方向上的投影為數(shù)量,而不是向量.()(3)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù),向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量.()(4)若 ab0,則 a 和 b 的夾角為銳角；若 ab0,則 a 和 b 的夾角為鈍角.()(5)abac(a0),則 bc.()解析(1)兩個(gè)向量夾角的范圍是0,.(4)若 ab0,a 和 b 的夾角可能為 0；若 ab0,a 和 b 的夾角可能為.(5)由 abac(a0)得|a|b|cosa,b|a|c|cosa,c,所以向量 b 和 c 不一定相等.答案(1)(2)(3)(4)(5)2.(2015全國卷)向量 a(1,1),b(1,2),

48、則(2ab)a 等于()A.1B.0C.1D.2解析因?yàn)?a(1,1),b(1,2),所以 2ab2(1,1)(1,2)(1,0),得(2ab)a(1,0)(1,1)1,選 C.答案C3.(2017濟(jì)南模擬)已知向量a,b,其中|a| 3,|b|2,且(ab)a,則向量a和b的夾角是_.解析因?yàn)?ab)a,所以(ab)a|a|2|a|b|cosa,b32 3cosa,b0,解得 cosa,b32,由于a,b0,.則向量 a,b 的夾角為6.答案64.(2016石家莊模擬)已知平面向量 a,b 的夾角為23,|a|2,|b|1,則|ab|_.精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)解析|ab|

49、2|a|22ab|b|242|a|b|cos2314213,|ab| 3.答案35.(必修 4P104 例 1 改編)已知|a|5,|b|4,a 與 b 的夾角120,則向量 b 在向量 a 方向上的投影為_.解析由數(shù)量積的定義知,b 在 a 方向上的投影為|b|cos 4cos 1202.答案2精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)考點(diǎn)一平面向量的數(shù)量積及在平面幾何中的應(yīng)用【例 1】 (1)(2015四川卷)設(shè)四邊形 ABCD 為平行四邊形,|AB|6,|AD|4,若點(diǎn) M,N 滿足BM3MC,DN2NC,則AMNM等于()A.20B.15C.9D.6(2)(2016天津卷)已知ABC

50、是邊長為 1 的等邊三角形,點(diǎn) D,E 分別是邊 AB,BC 的中點(diǎn),連接 DE并延長到點(diǎn) F,使得 DE2EF,則AFBC的值為()A.58B.18C.14D.118解析(1)取AB,AD為一組基底.BM3MC,AMABBMAB34BCAB34AD,NMCMCN14AD13AB,AMNM14(4AB3AD)112(4AB3AD)148(16AB29AD2)148(1662942)9,選 C.(2)法一如圖所示,根據(jù)已知得,DF34AC,所以AFADDF12AB34AC,BCACAB,則AFBC12AB34AC(ACAB)12ABAC12AB234AC234ACAB34AC212AB214AC

51、AB34121411cos 6018.故選 B.法二建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.則 B12，0,C12，0,精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)A0，32 ,所以BC(1,0).易知 DE12AC,FECACE60,則 EF14AC14,所以點(diǎn) F 的坐標(biāo)為18，38 ,則AF18，5 38,所以AFBC18，5 38(1,0)18.故選 B.答案(1)C(2)B規(guī)律方法(1)求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何意義.(2)解決涉及幾何圖形的向量數(shù)量積運(yùn)算問題時(shí),可先利用向量的加減運(yùn)算或數(shù)量積的運(yùn)算律化簡再運(yùn)算.但一定要注意向量的夾角與已知平面角

52、的關(guān)系是相等還是互補(bǔ).【訓(xùn)練 1】 (1)(2017湖北八校聯(lián)考)在 RtABC 中,A90,ABAC2,點(diǎn) D 為 AC 的中點(diǎn),點(diǎn)E 滿足BE13BC,則AEBD_.(2)已有正方形 ABCD 的邊長為 1,點(diǎn) E 是 AB 邊上的動(dòng)點(diǎn),則DECB的值為_；DEDC的最大值為_.解析(1)法一因?yàn)锳EABBEAB13BCAB13(ACAB)23AB13AC,BDBAADAB12AC.因?yàn)?ABAC,所以ABAC0,所以AEBD23AB13ACAB12AC23|AB|216|AC|2232216222.法二建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則 A(0,0),B(2,0),D(0,1),E43，2

53、3 ,所以AE43，23 ,BD(2,1),所以AEBD43，23 (2,1)43(2)2312.精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)(2)法一如圖,DECB(DAAE)CBDACBAECBDA21,DEDC(DAAE)DCDADCAEDCAEDC|AE|DC|DC|21.法二以射線 AB,AD 為 x 軸,y 軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系,則 A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),設(shè) E(t,0),t0,1,則DE(t,1),CB(0,1),所以DECB(t,1)(0,1)1.因?yàn)镈C(1,0),所以DEDC(t,1)(1,0)t1,故DEDC的最大值為 1.法三由圖知,無論 E 點(diǎn)在哪個(gè)位置,DE在CB方向上的投影都是 CB1,DECB|CB|11.當(dāng) E 運(yùn)動(dòng)到 B 點(diǎn)時(shí),DE在DC方向上的投影最大即為 DC1,精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)(DEDC)max|DC|11.答案(1)2(2)11考點(diǎn)二平面向量的夾角與垂直【例 2】 (1)(2016全國卷)已知向量 a(1