常用單元的剛矩陣

1、由于各點在圓周方向上無位移，因而剪應(yīng)變和均為零。將應(yīng)變寫成向量的形式，則根據(jù)上式，可推導(dǎo)出幾何方程其中幾何矩陣3.彈性方程和彈性矩陣D依照廣義虎克定律，同樣可以寫出在軸對稱中應(yīng)力和應(yīng)變之間的彈性方程，其形式為所以彈性方程為式中應(yīng)力矩陣彈性矩陣4.單元剛度矩陣與平面問題相同，仍用虛功原理來建立單元剛度矩陣，其積分式為在柱面坐標(biāo)系中，將代入，則即為軸對稱問題求單元剛度矩陣的積分式。與彈性力學(xué)平面問題的三角形單元不同，在軸對稱問題中，幾何矩陣B內(nèi)有的元素（如等）是坐標(biāo)r、z的函數(shù)，不是常量。因此，乘積不能簡單地從式的積分號中提出。如果對該乘積逐項求積分，將是一個繁重的工作。一般采用近似的方法：用三角

2、形形心的坐標(biāo)值代替幾何矩陣B內(nèi)的r和z的值。用表示在形心處計算出的矩陣B。其中只要單元尺寸不太大，經(jīng)過這樣處理引起的誤差也不大。被積函數(shù)又成為常數(shù)，可以提出到積分號外面：式中三角形的面積。由式可以看出，兩軸對稱的三角形單元，當(dāng)形狀、大小及方位完全相同而位置不同時，其剛度矩陣也不相同。距離主軸線越遠的單元，其剛度越大。這與平面問題不一樣。二、等參數(shù)的剛度矩陣對一些由曲線輪廓的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，如果采用直角邊單元進行離散，由于用直線代替了曲線，除非網(wǎng)格劃分得很細(xì)，否則不能獲得較高的精度；對另一些應(yīng)力隨坐標(biāo)急劇變化的結(jié)構(gòu)，采用簡單的常應(yīng)力單元離散時，也必須劃分成大量的微小單元，以保證足夠的精度。為此引入一種

3、高精度的單元等參數(shù)單元。它既能簡化復(fù)雜單元劃分的工作，又能在滿足同樣精度的要求時，大大減少使用的單元數(shù)。目前流行的大程序中較常用，它成功地解決了許多二維和三維的彈性力學(xué)問題。為導(dǎo)出等參數(shù)單元的剛度矩陣，首先要建立根據(jù)每個單元的形狀確定的自然坐標(biāo)系，然后將位移模式和形狀函數(shù)都寫成自然坐標(biāo)的函數(shù)。一個單元在自然坐標(biāo)系內(nèi)的點余元整體坐標(biāo)系內(nèi)的點成一一對應(yīng)的關(guān)系。通過映射，可以將整體坐標(biāo)系中的圖形轉(zhuǎn)化為自然坐標(biāo)系中的相應(yīng)徒刑。例如可以將整體坐標(biāo)系中的一個任意四邊形（實際單元）映射到自然坐標(biāo)系中成為一個正方形（基本單元）。同樣也可以將任意四面體、六面體（包括直邊和曲邊的）分別映射成正四面體和正六面體。這

4、里只介紹較簡單的一種平面問題的情況，將整體坐標(biāo)系中的一個任意四邊形映射成自然坐標(biāo)系中的一個正方體，并導(dǎo)出單元剛度矩陣。其它種單元的映射，可依次原理進行。不再敘述。1. 位移模式和形狀函數(shù)圖4-2中的任意四邊形單元上，作連接對邊中點的直線，取其交點為原點，這兩條直線分別為和軸，并令四條邊上的和值分別為，建立一個新的坐標(biāo)系，稱之為該單元的自然坐標(biāo)系。原坐標(biāo)系XOY稱為整體坐標(biāo)系。在整體坐標(biāo)系中，自然坐標(biāo)系非正交，它由任意四邊形的形狀所確定。圖4-19如果將自然坐標(biāo)系改畫成直角坐標(biāo)系，那么圖4-19（a）中的任意四邊形單元就成為圖4-19（b）所示的正方形。上述兩個四邊形的點（包括頂點）一一對應(yīng)，即

5、它們之間相互映射。因此，需要寫出整體坐標(biāo)X、Y和自然坐標(biāo)之間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換式，即 *四邊形四個頂點的坐標(biāo)值在XOY坐標(biāo)系中分別為：在坐標(biāo)系中相應(yīng)為。將有關(guān)數(shù)據(jù)代入*中的第一式，則有求解上述方程組得：坐標(biāo)變換方程*成為同理當(dāng)引入函數(shù)后，坐標(biāo)變換方程成為式中變量的正負(fù)號由相應(yīng)節(jié)點的坐標(biāo)值決定。例如當(dāng)i=4時，因此，。下面再來研究函數(shù)的特性。對節(jié)點，相應(yīng)的自然坐標(biāo)值為（-1，-1）。從式中很容易看出，除N1=1外，N2=N3=N4=0。對其余各節(jié)點也一樣?？偠灾?，對節(jié)點i(i=1,2,3,4)，除Ni=1外，其余三個N值均為零。同時，不難看出，即四個節(jié)點的Ni函數(shù)之和等于1。函數(shù)具備上章所介紹的形狀函

6、數(shù)應(yīng)滿足的條件，可作為本單元的形狀函數(shù)。采用做形狀函數(shù)，其位移模式為對比和可以看出：在這種實際單元（任意四邊形）中，坐標(biāo)變換式和位移模式不僅采用了相同的形狀函數(shù)，而且具有相同的數(shù)學(xué)模型。這種性質(zhì)的實際單元稱為等參數(shù)單元。對用節(jié)點位移值ui（或vi等）求單元內(nèi)某一點位移量u(或v等)的插值公式，只要將u(或v等)換成X(或Y等)，便成為利用節(jié)點值Xi(或Yi等)求相應(yīng)點坐標(biāo)X(或Y等)的插值公式。相反也是這樣。2.幾何矩陣B由于幾何矩陣B通過對位移求偏導(dǎo)數(shù)而得出，所以首先必須利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的規(guī)則得出下述公式式中，此式稱為雅可比矩陣。為了將幾何矩陣B寫成變量的函數(shù)，必須將式改寫成，同理，從表示單

7、元內(nèi)各點位移與其應(yīng)變關(guān)系的幾何方程可知：將式和合并，則對單元（e），任意一點的位移u，v對自然坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)可利用上式求出，寫成矩陣形式為：式中對于i=1,2,3,4 將和代入，則可得出表示在整體坐標(biāo)系中位移和應(yīng)變關(guān)系的幾何方程：式中的幾何矩陣B是自然坐標(biāo)的函數(shù)：也可利用求得的以及和求出，。3.單元剛度矩陣設(shè)單元板厚為t，根據(jù)虛功方程有：，此式中幾何矩陣B和彈性矩陣D都已求出。因為幾何矩陣B中的變量是自然坐標(biāo)，所以也要用自然坐標(biāo)表示微分面積dA。在實際單元中任取一點p，其整體坐標(biāo)位X、Y，其相應(yīng)的自然坐標(biāo)為。過p點做的等值線，同時做的等值線，圍成一小塊微分面積dA，如圖4-20（a）所示。為便于

8、分析，將四邊形pqrs放大，如圖4-20（b）所示。實際上，取得很小，因此該四邊形可視為平行四邊形。若相鄰的兩邊用向量表示，則兩者的乘積等于該平行四邊形的面積dA。圖4-20若，則為了求出的值，要先寫出a和b兩端節(jié)點p、q、s的坐標(biāo)值。點p：點q：點s：利用泰勒技術(shù)展開并略去高階項，可得對，也可寫出相應(yīng)的展開式。利用式可得：，將此式代入式得到：，簡寫為單元剛度矩陣為：，這個積分可以采用“數(shù)值方法”，用高斯求積分公式很方便的求出，在此不作介紹。例：求如圖所示四邊形的雅可比矩陣。解：求雅可比矩陣可在整體坐標(biāo)系中進行，也可以在實際單元的局部坐標(biāo)系中進行。為便于計算，本例在局部坐標(biāo)系中進行。對單元（1）：將四個節(jié)點的自然坐標(biāo)值（-1，-1）、（1，-1）、（1，1）、（-1，1）代入下式：，再將所得到的值及四個節(jié)點實際單元在局部坐標(biāo)系的坐標(biāo)值（-3，-2）、（3，-2）