復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論及應(yīng)用

1、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論及應(yīng)用Complex Network Theory and Its Application項(xiàng)副教授廈門大學(xué)自動(dòng)化系: xiangly Tel:第五章復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)5.1 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步5.2 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的牽制2復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)問題: 當(dāng)網(wǎng)絡(luò)通過相互之間的耦合不能達(dá)到同步時(shí)，怎么辦？引入來解決3復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)什么叫牽制特點(diǎn): 選擇少部分節(jié)點(diǎn)進(jìn)行？優(yōu)勢:器個(gè)數(shù)少，計(jì)算量小，花費(fèi)小思想: 網(wǎng)絡(luò)中小部分節(jié)點(diǎn)能夠“網(wǎng)絡(luò)的同步”網(wǎng)絡(luò)的其它節(jié)點(diǎn)逐漸實(shí)現(xiàn)整個(gè)4牽制的分類特定牽制(Specifically Pinning)根據(jù)節(jié)點(diǎn)的某些具體特性，比如節(jié)點(diǎn)的度，有選擇地選取部分節(jié)點(diǎn)進(jìn)行隨機(jī)牽制(Random Pinning

2、)在網(wǎng)絡(luò)中以某一概率隨機(jī)選擇部分節(jié)點(diǎn)進(jìn)行例如，基于節(jié)點(diǎn)度的特定牽制，是指首先選取度最大的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行，其次選取度次之的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行，即按照目標(biāo)。單調(diào)遞減的次序選取節(jié)點(diǎn)進(jìn)行，直至達(dá)到5復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)次序: 節(jié)點(diǎn)4, 5, 3, 6, 1067牽制思想的應(yīng)用 這種“牽一發(fā)而動(dòng)全局”的思想已在實(shí)際眾多復(fù)雜系統(tǒng)中得到證實(shí) 生物群落: 蟻后蜂后具有整個(gè)蟻群蜂群的絕對系統(tǒng): 群體意見的形成經(jīng)常受到某個(gè)或某些導(dǎo)者的影響: 心臟細(xì)胞跳動(dòng)的節(jié)奏是由位動(dòng)而引起細(xì)胞的帶網(wǎng)絡(luò)模型連續(xù)時(shí)間耦合網(wǎng)絡(luò)N= f (xi ) - cålij Gxj ,(1)i = 1, 2,L, N .x&ij =1Î RnT:

3、 狀態(tài)變量x ,L, xi 2inc > 0: 耦合強(qiáng)度G = diag(r , r ,L, r ) Î R´nn:內(nèi)耦合矩陣12n) Î RN ´NL = (l: Laplacian矩陣ij假設(shè)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涫菬o權(quán)無向的連通的簡單圖9復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)例子一個(gè)簡單網(wǎng)絡(luò): N=2, n=2, c=1ù ,G = é00ù考慮fúê01úxëû2 ûù - éëù - éù0則有12ú-é x&am

4、p; ùx22 û121= ?ê x& úù0ë 2 û22ú+ xë22 û1210如何設(shè)計(jì)器？xN = x ,ui = -cdG(xi - x ).f (x ) = 0.目標(biāo):器:(2)增益、牽制強(qiáng)度受控網(wǎng)絡(luò):ìNf (xi ) - cålij Gxj - cdG(xij =1=- x ),i = 1, 2,L, l,ïx&iïí(3)Nïx&if (xi ) - cålij Gxj ,=i = l

5、 +1, l + 2,L, N.ïîj =1受控節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)、牽制密度11復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性分析受控網(wǎng)絡(luò)可寫為N= f (xi ) - cålij Gxj - cdi G(xi - x ),i = 1, 2,L, N ,x&i(4)j =1i = 1, 2,L, l, i = l +1, l + 2,L, N.其中，ìd ,= í0,diî令誤差為ei = xi - x ,i = 1, 2,L, N.(5)線性化得到E& = EJT (x ) - cBEG,(6)其中， E = e , e ,LeJacobian矩陣T ,12

6、NB = L + D,D = diag(d1, d2 ,L, dN ).12令 l1£ l2 £L £ lN為矩陣B的特征根，相應(yīng)的特征向量為F = f ,f ,L,fÎ RN´N ,12NBfk = lkfk ,k = 1, 2,L, N.滿足引入變換可得E = Fh,h& = h J T (x ) - cLhG,(7)其中，L = diag(l1, l2 ,L, lN ).進(jìn)一步得到hl G)h ,= (J (x ) - ck = 1, 2,L, N .TT&(8)kkkn×N維的受控動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(4)的穩(wěn)定性問題轉(zhuǎn)化

7、為N個(gè)n維線性系統(tǒng)(8)的穩(wěn)定性問題13復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)一個(gè)引理線性定常系統(tǒng)的特征值判據(jù)系統(tǒng)x& = Ax 漸近穩(wěn)定的充要條件: 系統(tǒng)矩陣A的全部特征值位于復(fù)平面左半部，即Re(li ( A) < 0,i = 1, 2,L, n.14復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)c ³ r,穩(wěn)定性條件(9)l (B)1r > 0，保證 J (x ) - rG是Hurwitz穩(wěn)定矩陣。其中，常數(shù)X.F. Wang, G. Chen. Pinning control of scale-free dynamical networks. Physica A, 2002, 310: 521-531.15復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)無標(biāo)度網(wǎng)

8、絡(luò)和隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的牽制比較縱坐標(biāo): 間接被節(jié)點(diǎn)百分比結(jié)論: 對于無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，基于節(jié)點(diǎn)度的特定牽制策略要比隨機(jī)牽制策略更有效；對于隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)，兩種復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)策略區(qū)別不大16魯棒性和脆弱性17復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)去除節(jié)點(diǎn)對網(wǎng)絡(luò)連通性的影響如果在移走少量節(jié)點(diǎn)后網(wǎng)絡(luò)中的絕大部分節(jié)點(diǎn)仍是連通的，那么就稱該網(wǎng)絡(luò)的連通性對節(jié)點(diǎn)故障具有魯棒性18隨機(jī)故障對隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)連通性的影響結(jié)論: 隨機(jī)去除網(wǎng)絡(luò)中的大量節(jié)點(diǎn)，隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)被分成多個(gè)孤立的子網(wǎng)19復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)隨機(jī)故障對無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)連通性的影響結(jié)論: 隨機(jī)去除網(wǎng)絡(luò)中的大量節(jié)點(diǎn)，無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)仍可保持基本的連通性20復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)蓄意對無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)連通性的影響結(jié)論: 蓄意去除少量度最高的節(jié)點(diǎn)就可破壞無標(biāo)度網(wǎng)

9、絡(luò)的連通性“擒賊先擒王”21復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)魯棒性和脆弱性無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)對隨機(jī)故障具有高度的魯棒性，對蓄意具有高度的脆弱性無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中那些極少數(shù)的度很大的節(jié)點(diǎn)的穩(wěn)定與否決定了整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性可以理解為無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)在被鎮(zhèn)定和性和脆弱性(Robust yet Fragile)”時(shí)所特有的“魯棒22復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)一個(gè)或多個(gè)網(wǎng)絡(luò)，舉例驗(yàn)證穩(wěn)定性條件(9)要求:(1)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可選為第四章介紹的模型(也可設(shè)計(jì)連接規(guī)則構(gòu)造新的網(wǎng)絡(luò)模型，給出具體算法創(chuàng)新)，給出網(wǎng)絡(luò)具體的 結(jié)構(gòu)參數(shù)，如L、C、度分布等，畫出網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖(N40)；(2) 比較耦合強(qiáng)度c、牽制密度 l 和牽制強(qiáng)度 d 等參數(shù)對網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的影響；(3) 比較不同的

10、方法對網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的影響。文件:學(xué)號姓名.doc (學(xué)號和姓名之間無其它符號)圖: eps格式保存后到word文檔中(附程序)發(fā)到郵箱: xiangly2015.12.28前紙質(zhì)版上交 海韻科研2#218室(教務(wù)處存檔)23“唉，要寫作業(yè)呀？好頭疼喲！”，還是您來寫吧！復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)例子考慮單個(gè)節(jié)點(diǎn)是Lorenz 系統(tǒng)，動(dòng)力學(xué)方程為é p1 (x2 - x1 )é x&1ùùê x& ú = ê pú .xê2 úê13 úúû- p2 x32p

11、= 10, p = 8 , p = 28參數(shù)為時(shí)，它是一個(gè)混沌吸，1233具有以下3個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn):= 0, 0, 0T ,x±= ±62, ±6x02, 27T.25502045154010355300255201015151020525020151050x1510152020151050x15101520x2x3混沌系統(tǒng)的特點(diǎn)釘子缺，蹄鐵卸；蹄鐵卸，戰(zhàn)馬蹶； 戰(zhàn)馬蹶，騎士絕；騎士絕，戰(zhàn)事折；一滴曹溪水, 漲起西江十八灘。-蘇軾戰(zhàn)事折，滅。-27問題1: 如何求解平衡點(diǎn)？x& =f (x , t) = 0 的狀態(tài) x ，稱為平衡狀態(tài)。對于所有t，滿足平衡

12、狀態(tài)的各分量相對時(shí)間不再變化。若已知狀態(tài)方程，令x& = 0 所求得的解 x ，便是平衡狀態(tài)。線性定常系統(tǒng) x& = Ax ，其平衡狀態(tài)滿足Ax = 0，只要A異，系統(tǒng)只有唯一的零解，即存在一個(gè)平衡狀態(tài)。對于非線性系統(tǒng)， x& = f (x , t) = 0 的解可能有多個(gè)，狀態(tài)方程決定。28復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)例子Lorenz 系統(tǒng)x& = f (x)é p1 (x2 - x1 )é x&1ùùê x&ú =úpxê2 ú1 3 úêë&

13、#250;û- p2 x32解:x3 = 0ìÞ ïîì p1 (x2 - x1 ) = 0ï p x - x= 0= 6= 6= 27x3 = 27 2, 27T .29262,2312= 0= -6î2,x±= 0, 0, 0T ,= ±62, ±63個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn):x0問題2: 如何求解Jacobian 矩陣?x& = f (x),f (x)設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為為非線性函數(shù)，在平衡x狀態(tài)附近存在各階偏導(dǎo)數(shù)，可展開為下列級數(shù)x& =x ) + g(x).f (x)x=

14、x¶f式中，g(x) 為級數(shù)展開式中及其以上各項(xiàng)之和，¶xT為向量函數(shù)的 Jacobiané ¶f1矩陣，即¶f1¶f1ùúêxêún¶f= ê MMú .MM¶xTê¶fú¶f¶fên êë n ú n úûxn30例子Lorenz 系統(tǒng)x& = f (x)- x1 )xé x&1ù3 ) ù

15、;é p1 (x2ùúúúûf1ê fê x& úx )úê p xê2 úúêêë331úû-)x&解:é ¶f1ù¶f1¶f1úx3 ú- pép0ùêú11¶f) = ¶xTx= xë2 ûê ¶fú21&#

16、182;f¶fê3 3 3 úx3û31- p1ép1-1x10-x1ùúJ (x ) = ê p - x33p = 10, p= 8 , p = 28êêëú1233- p2 úûx2x= xx = x0 = 0, 0, 0T ,é-10當(dāng)ì-22.82770 ù10-1 0ïJ (x ) = J (x0 ) = ê 280 ú.l(J (x ) = l(J (x ) =-02.6667

17、7;êúï 11.8277êú-08îë+3 û當(dāng) x = x+T , 10-12é -10êù0-13.8546ì-62 ú .ï+l(J (x ) = l(J (x ) =0.0940 +10.1945i+J (x ) =1J (x )íêëúï0.0940 -10.úi- 8î623ûx = x-é -10êT , 10-12當(dāng)ù0-13.8

18、546ì-62 ú .ïl(J (x ) = l(J (x ) =0.0940 +10.1945iJ (x ) =-=1-J (x )íêëúï0.0940 -10.úi- 8î623ûG = diag(1,1,1).考慮受控網(wǎng)絡(luò)為éùúúúú ,úúúúûN- xi1 ) - cålij x j1+ ui1ê p1 (xi 2êj =1é

19、; x&ùêi1úNêê x&i 2 ú =- x- ci = 1, 2,L, Np3 xi1l xuij =úx&iûêN- c+ ui3xi3lijj = ìï-cd (xij- x j ),i = 1, 2,L, l; j = 1, 2, 3其它uí0,ijïî33全局耦合網(wǎng)絡(luò)1010x = x0= 0, 0, 0T9988770510t0510tN=5, l=1, c=16, d=1034x (i=1,.,5)ix (i=1

20、,.,5)i全局耦合網(wǎng)絡(luò)1010x = x0= 0, 0, 0T886644220020200.511.52t2.533.540.511.52t2.533.54N=5, l=1, c=22, d=1035x (i=1,.,5)ix (i=1,.,5)i星形耦合網(wǎng)絡(luò)1010x = x0= 0, 0, 0T8866442200202020040060080010002004006008001000ttN=10, l=1, c=23, d=10中心節(jié)點(diǎn)36x (i=1,.,10)ix (i=1,.,10)i星形耦合網(wǎng)絡(luò)1010x = x0= 0, 0, 0T88664422002020510t152

21、0510t1520N=10, l=1, c=24, d=10中心節(jié)點(diǎn)37x (i=1,.,10)ix (i=1,.,10)iBA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)x = x+= 62, 27T2, 640403535303025252020151510105500000.511.5t22.530.511.5t22.53N=50, l=1, c=10, d=100度最大節(jié)點(diǎn)38x (i=1,.,50)ix (i=1,.,50)iBA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)x = x+= 62, 27T2, 6353530302525202015151010550000.511.5t22.5300.511.5t22.5N=50, l=10, c=10

22、, d=10度最小的10個(gè)節(jié)點(diǎn)39x (i=1,.,50)ix (i=1,.,50)i例子 考慮單個(gè)節(jié)點(diǎn)是 Chen 系統(tǒng)，動(dòng)力學(xué)方程為é p1 (x2 - x1 )é x&1ùùê x& ú = ê( p - pú .+ p xxê2 úê32 úúû31 3- p2 x3,3 p=2351 = ,p2 = 3參數(shù)為p時(shí)2，8 它是一個(gè)混沌吸，具有以下3個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn):= 0, 0, 0T ,x±= ±37, ±3x07, 21T .40G = diag(1,1,1).考慮受控網(wǎng)絡(luò)為éùúúúN- xi1 ) - cålij x j1+ ui1ê p1 (xi 2êj =1é x