計(jì)量學(xué)-聯(lián)立方程組模型

1、計(jì)量學(xué)-聯(lián)立方程組模型 本章簡(jiǎn)單介紹聯(lián)立方程組模型計(jì)量分析，包括聯(lián)立方程組模型的基本概念、假設(shè)、識(shí)別性和參數(shù)估計(jì)等。2第一節(jié)第一節(jié) 聯(lián)立方程組模型及其假設(shè)聯(lián)立方程組模型及其假設(shè)第二節(jié)第二節(jié) 聯(lián)立方程組模型的識(shí)別性聯(lián)立方程組模型的識(shí)別性第三節(jié)第三節(jié) 聯(lián)立方程組模型的參數(shù)估計(jì)聯(lián)立方程組模型的參數(shù)估計(jì)3第一節(jié)聯(lián)立方程組模型及其假設(shè)第一節(jié)聯(lián)立方程組模型及其假設(shè)一、聯(lián)立方程組模型的基本概念n聯(lián)立方程組模型是方程組形式的計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型。 n用一個(gè)簡(jiǎn)單的微觀市場(chǎng)均衡模型說明聯(lián)立方程組模型的基本情況，以及它們所涉及的基本概念。 4n這個(gè)微觀市場(chǎng)均衡模型包括一個(gè)供給函數(shù)、一個(gè)需求函數(shù)、以及一個(gè)均衡方程，具體如下：

2、123111232SttttDttttSDttQPPQPYQQ5n稱被決定的 和 為模型的“內(nèi)生變量”。聯(lián)立方程組模型的內(nèi)生變量對(duì)應(yīng)單方程模型中的被解釋變量。n收入變量 為模型的“外生變量”，相當(dāng)于單方程模型中的解釋變量。n內(nèi)生變量 的一期滯后變量 ，稱“滯后內(nèi)生變量”。n外生變量和滯后內(nèi)生變量統(tǒng)稱為聯(lián)立方程組模型的“前定變量”。tPtQtYtP1tP6n區(qū)分聯(lián)立方程組模型的內(nèi)生變量和前定變量非常重要。因?yàn)閮深愖兞康臄?shù)目及構(gòu)成模型的情況，對(duì)聯(lián)立方程組模型是否意義，是否能夠得出唯一確定的參數(shù)估計(jì)等都有重要的影響。n通常一個(gè)聯(lián)立方程組模型的內(nèi)生變量數(shù)量與方程個(gè)數(shù)相等，而且能夠表示成每個(gè)內(nèi)生變量被其

3、他變量決定的標(biāo)準(zhǔn)形式。7n“結(jié)構(gòu)式模型”（Structural Model）： 每個(gè)方程都代表經(jīng)濟(jì)問題和系統(tǒng)的一個(gè)方面，每個(gè)參數(shù)都有意義，能反映研究問題或經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和內(nèi)在聯(lián)系的聯(lián)立方程組模型n“簡(jiǎn)約式模型”（Reduced Form Model）： 為了參數(shù)估計(jì)和分析的需要，常需要把結(jié)構(gòu)式模型變換為各內(nèi)生變量只是前定變量函數(shù)形式的“簡(jiǎn)約式模型” 。由于內(nèi)生變量數(shù)與方程的個(gè)數(shù)相等，因此這種變換一般是不難做到的。8SDtttQQQ123111232ttttttttQPPQPY22212122232232221122221122322322212111111111ttttttttttPYPPYQ9

4、引進(jìn)下述記法則模型進(jìn)一步化為這就是原市場(chǎng)均衡模型的簡(jiǎn)約式模型。2221222223232232222211212222112231322321222121111,1,1,11,1,1,1ttttttuuttttttttuPYPuPYQ212322211113121110n引進(jìn)簡(jiǎn)約式模型的根本原因：1、簡(jiǎn)約式模型的每個(gè)方程都是內(nèi)生變量與前定變量的函數(shù)關(guān)系，不存在內(nèi)生變量的交叉決定，因此求解內(nèi)生變量的數(shù)值和進(jìn)行預(yù)測(cè)都比較簡(jiǎn)單，2、沒有內(nèi)生變量作為解釋變量可避免解釋變量與誤差項(xiàng)存在相關(guān)性，并對(duì)分析結(jié)果有效性的影響。11n簡(jiǎn)約式模型的意義比較模糊，不能清晰地反映經(jīng)濟(jì)變量的內(nèi)在聯(lián)系，因此不是聯(lián)立方程組模

5、型分析的最終目標(biāo)，最后必須回到結(jié)構(gòu)式模型。n當(dāng)然這需要符合一定條件，就是后面要討論的聯(lián)立方程組模型的識(shí)別性。12二、聯(lián)立方程組模型的假設(shè)二、聯(lián)立方程組模型的假設(shè)（一）聯(lián)立方程組模型的一般表示法 一般用 分別表示有g(shù)個(gè)方程的聯(lián)立方程組模型的g個(gè)內(nèi)生變量，用 表示模型的K個(gè)前定變量 gYY,1KXX,113模型的結(jié)構(gòu)式表示為：gtKtgKtgtgggtggttKtKtgtgtttKtKtgtgttXXYYYXXYYYXXYYY1111112212121212111111212114（二）聯(lián)立方程組模型的矩陣表示法 向量、矩陣記號(hào)如下：12121212111gggg111212122212KKggg

6、K12tttgtYYYY12tttKtXXXX12tttgttttYX15（三）聯(lián)立方程組模型的基本假設(shè)如下1、模型由上述結(jié)構(gòu)式線性方程組組成，或者可用向量方程表示。其中有些系數(shù)，即 和 的部分元素可以是0， 中有些元素也可以是0；2、不等于0的 都滿足單方程線性回歸模型誤差項(xiàng)的假設(shè)，包括零均值、同方差、誤差序列不相關(guān)和正態(tài)分布。ttt21,163、不同方程的同期誤差可以相關(guān)，但協(xié)方差與時(shí)期t無(wú)關(guān)，即 不是t的函數(shù)。此外，不同方程的誤差項(xiàng)也不能有跨期相關(guān)性，即 當(dāng) 時(shí)必須成立。4、模型的外生變量是確定性變量。5、模型是可識(shí)別的。這是聯(lián)立方程組模型特有的重要假設(shè)。下一節(jié)將專門討論這個(gè)問題。,ij

7、 ts(,)0itjsCov(,)itjtijCov17第二節(jié)第二節(jié) 聯(lián)立方程組模型的識(shí)別性聯(lián)立方程組模型的識(shí)別性一、識(shí)別性問題的意義一、識(shí)別性問題的意義n由于聯(lián)立方程組模型中內(nèi)生變量的水平由多個(gè)方程的共同作用決定，因此能否根據(jù)所觀測(cè)到變量數(shù)據(jù)推測(cè)出生成它們的各個(gè)經(jīng)濟(jì)關(guān)系，或者說聯(lián)立方程組模型中的函數(shù)關(guān)系是否可以明確辨別或唯一確定，是一個(gè)很重要的問題。這就是聯(lián)立方程組模型的識(shí)別性問題識(shí)別性問題。n聯(lián)立方程組模型的識(shí)別性等價(jià)于結(jié)構(gòu)式參數(shù)與簡(jiǎn)約式參數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 18n例如一個(gè)最簡(jiǎn)單的供給需求均衡模型如下：n如果其中參數(shù)已知，那么很容易根據(jù)這個(gè)模型解出均衡價(jià)格和銷售量，實(shí)際上就是模型的簡(jiǎn)約式t

8、tttttPQPQ221121需求函數(shù)：供給函數(shù)：19ttttttttuPuQ22122212222111112222122121111120n供求模型的識(shí)別問題供求模型的識(shí)別問題 2S)(1211tttPQS)(2211tttQPD2DPtPQtQ21n根據(jù)均衡價(jià)格和銷售量數(shù)據(jù)確定供給和需求函數(shù)，實(shí)際上就是根據(jù)簡(jiǎn)約式推導(dǎo)結(jié)構(gòu)式。由于簡(jiǎn)約式中只有兩個(gè)參數(shù)，而結(jié)構(gòu)式中有四個(gè)參數(shù)，因此根據(jù)兩個(gè)方程 是無(wú)法從簡(jiǎn)約式參數(shù)推導(dǎo)、確定出結(jié)構(gòu)式參數(shù)的。n能否根據(jù)簡(jiǎn)約式參數(shù)解出結(jié)構(gòu)式參數(shù)，是識(shí)別問題的另一種標(biāo)準(zhǔn)。12111211212222,11 22n為了說明怎樣的聯(lián)立方程組模型是可識(shí)別的，我們?cè)谛枨蠛瘮?shù)中

9、引進(jìn)收入變量，得到如下模型：tttttttYQPPQ232112123解成簡(jiǎn)約式為： ttttttttttttuYYPuYYQ222212221222322211112112222122322212111111124S1D2DP2PQ2Q3P1P3Q1Q3D1D25n也可以根據(jù)簡(jiǎn)約式和結(jié)構(gòu)式之間的關(guān)系，論證供給函數(shù)可識(shí)別和需求函數(shù)不可識(shí)別。n結(jié)構(gòu)式參數(shù)和簡(jiǎn)約式參數(shù)之間有下列四個(gè)關(guān)系式2312111122222311221222222,11,11 23321222222211 26n還可以通過考察結(jié)構(gòu)式供給函數(shù)和需求函數(shù)的形式是否統(tǒng)一，是否能通過兩個(gè)方程的線性組合產(chǎn)生其他形式的供給函數(shù)和需求函數(shù)

10、，判斷它們的識(shí)別性問題。27n如果要市場(chǎng)均衡模型的兩個(gè)方程都可識(shí)別，只需在供給函數(shù)中再引進(jìn)一個(gè)變量，如 ，也就是下面的形式：1tPttttttttYQPPPQ232111321ttttttttuPYPuPYQ212322211113121128 其中結(jié)構(gòu)式和簡(jiǎn)約式系數(shù)的關(guān)系為：2223232232222211212231322321222121111,1,11,1,129n需要注意的是，并不是聯(lián)立方程組模型引進(jìn)越多的變量，方程或整個(gè)模型的識(shí)別性越強(qiáng)越好。n例如若在上面的供給函數(shù)中再加入一個(gè)認(rèn)為與這種產(chǎn)品的供給有關(guān)的氣溫變量 作解釋變量，那么模型的結(jié)構(gòu)式變?yōu)閠TtttttttttYQPTPPQ2

11、32114132130tttttttttuTPYPuTPYQ22412322211141131211222424222323223222221121224142231322321222121111,1,1,11,1,1,131通過簡(jiǎn)約式采納述可以導(dǎo)出兩個(gè)的 值。這時(shí)候我們稱 所在的需求函數(shù)為“過度可識(shí)別”的。22242224142422232223132311112232n當(dāng)存在過度可識(shí)別的方程時(shí)，實(shí)際上也意味著模型化為簡(jiǎn)約式后，簡(jiǎn)約式的參數(shù)不是完全獨(dú)立的，如本例的n相對(duì)上述過度可識(shí)別的情況，如果一個(gè)方程的結(jié)構(gòu)式參數(shù)可通過簡(jiǎn)約式參數(shù)得到唯一的值，則稱為“恰好可識(shí)別”的。/p>

12、二、判斷識(shí)別性的一般方法二、判斷識(shí)別性的一般方法n根據(jù)前述分析可知識(shí)別性有兩種等價(jià)的定義方式，1、能否通過簡(jiǎn)約式的參數(shù)確定或唯一確定結(jié)構(gòu)式方程的參數(shù)；2、各個(gè)結(jié)構(gòu)式方程是否具有唯一確定的形式。n在其他方程作為條件或約束的前提下，模型的某個(gè)或某些方程沒有唯一確定的形式，正是無(wú)法從簡(jiǎn)約式參數(shù)唯一地解出結(jié)構(gòu)式參數(shù)的根源。34n判別每個(gè)方程識(shí)別性的基本準(zhǔn)則： 聯(lián)立方程組的每一個(gè)方程是否具有唯一確定的形式。即如果所考察的聯(lián)立方程組模型的一個(gè)方程，不能用模型中其他方程的線性組合產(chǎn)生其他形式，該方程是可識(shí)別的，否則是不可識(shí)別的。35n根據(jù)上述判別法則可進(jìn)一步推出下述結(jié)論：如果在聯(lián)立方程組模型中存在一個(gè)，或可

13、以用其他方程的線性組合得到一個(gè)，所有變量都已包含在所考察方程中的方程，那么所考察的方程是不可識(shí)別的。n該結(jié)論的一個(gè)直接推論是，如果聯(lián)立方程組模型中的某個(gè)方程包含了模型中所有的變量，那么該方程是不可識(shí)別的。 36一般聯(lián)立方程組模型方程識(shí)別性的一般判別法則的推導(dǎo)n設(shè)討論的是有g(shù)個(gè)方程的聯(lián)立方程組模型中某個(gè)方程的識(shí)別性問題。設(shè)這個(gè)方程中有M個(gè)變量，此外這個(gè)方程中沒有出現(xiàn)，但在模型其他方程中出現(xiàn)的有N個(gè)變量。n把所考察方程以外的其余g-1個(gè)模型方程，表示為向量方程：tttWSZRZ2137n根據(jù)前面的結(jié)論，如果這其余g-1個(gè)方程的一個(gè)線性組合，能夠產(chǎn)生一個(gè)不包含沒有在考察方程中出現(xiàn)的變量的方程，相當(dāng)于

14、存在一個(gè)非零向量 ，左乘上述向量方程能夠使得 ，從而得到的方程中不包含 ，如：那么所考察的方程是不可識(shí)別的。反過來(lái)如果不存在上述非零向量 ，則所考察方程是可識(shí)別的。11(,)g0St2Z1ttRZW38n要滿足 ，即：的條件是S矩陣的秩rank(S)g-10S0S00, 12, 11 , 1222211121111NgggNNgSSSSSSSSS39n“秩條件秩條件”（Rank Condition） rank(S)g-1是聯(lián)立方程組模型方程識(shí)別性的關(guān)鍵條件：n當(dāng)rank(S)g-1時(shí)所考察方程是不可識(shí)別的；n當(dāng)rank(S)g-1時(shí)所考察方程是可識(shí)別的。40n識(shí)別性的識(shí)別性的“階條件階條件”(

15、Order Condition) 因?yàn)镾矩陣的列數(shù)，也就是沒有出現(xiàn)在考察方程中變量的個(gè)數(shù)，Ng-1是rank(S)g-1的先決條件，因此Ng-1是識(shí)別性的先決條件。n只有S矩陣同時(shí)滿足階條件和秩條件，所考察的方程才是可識(shí)別的。不滿足階條件時(shí)肯定不可識(shí)別，這有利于簡(jiǎn)化判斷識(shí)別性的工作。41n兩種不同的滿足可識(shí)別的階條件和秩條件的情況：1、N=g-1 沒有出現(xiàn)在考察方程中模型變量的個(gè)數(shù)正好等于其他方程的個(gè)數(shù)。這時(shí)候?qū)嶋H上就是該方程的結(jié)構(gòu)式參數(shù)，可由簡(jiǎn)約式參數(shù)唯一確定的情況，也就是恰好可識(shí)別的情況。 422、Ng-1 沒有出現(xiàn)在考察方程中的模型變量數(shù)大于其他方程的個(gè)數(shù)。這時(shí)候若用簡(jiǎn)約式參數(shù)推導(dǎo)該方程

16、的結(jié)構(gòu)式參數(shù)，會(huì)出現(xiàn)信息過多，參數(shù)有約束關(guān)系的情況，就是過度可識(shí)別的情況。43n聯(lián)立方程組模型識(shí)別問題的補(bǔ)充： 會(huì)計(jì)恒等式都是可識(shí)別的，因?yàn)樗鼈兊膮?shù)都是已知常數(shù)，不存在方程、變量關(guān)系無(wú)法確定的問題。44例例討論下列宏觀經(jīng)濟(jì)模型的識(shí)別性問題。tttttttttttttttGICYYTiYITYC31022110121045n考慮到判斷識(shí)別性的方便，可把每個(gè)方程寫成誤差項(xiàng)以外的各項(xiàng)都在等式左邊的形式：0,310221101210tttttttttttttttGICYYTiYITYC46n第一個(gè)方程的識(shí)別性 S矩陣： 1001000001211SttttGiYI47n假設(shè)經(jīng)過分析，認(rèn)為模型的第三個(gè)方程可以刪去，即可用模型ttttttttttttGICYiYITYC22110121048n第一個(gè)方程的識(shí)別性 S矩陣變?yōu)椋?00101211SttttGiYI49n第二個(gè)方程的識(shí)別性 S矩陣： 10110121SttttGTYC50三、識(shí)別性的擴(kuò)展討論三、識(shí)別性的擴(kuò)展討論（一）誤差項(xiàng)協(xié)方差矩陣的約束和識(shí)別性（一）誤差項(xiàng)協(xié)方差矩陣的約束和識(shí)別性下