排列組合學(xué)案

1、高二數(shù)學(xué)集體備課學(xué)案與教學(xué)設(shè)計(jì)章節(jié)標(biāo)題選修2-3 排列組合專題計(jì)劃學(xué)時(shí)1學(xué)案作者楊得生學(xué)案審核張愛敏高考目標(biāo)掌握排列、組合問題的解題策略三維目標(biāo)一、知識(shí)與技能 1.進(jìn)一步理解和應(yīng)用分步計(jì)數(shù)原理和分類計(jì)數(shù)原理。 2.掌握解決排列組合問題的常用策略;能運(yùn)用解題策略解決簡(jiǎn)單的綜合應(yīng)用題。提高學(xué)生解決問題分析問題的能力  3.學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)思想和方法解決排列組合問題.二、過程與方法 通過問題的探究，體會(huì)知識(shí)的類比遷移。以已知探求未知，從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法三、情感態(tài)度與價(jià)值觀 通過師生互動(dòng)，生生互動(dòng)的數(shù)學(xué)活動(dòng)，形成學(xué)生的體驗(yàn)認(rèn)識(shí)，并體驗(yàn)成功的喜悅。提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，形

2、成鍥而不舍的鉆研精神和合作交流的科學(xué)態(tài)度。教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)及解決措施重點(diǎn)：排列、組合綜合題的解法 難點(diǎn)：正確的分類、分步教學(xué)要點(diǎn)經(jīng)典例題一、郵信問題：把4封信投入3個(gè)郵箱有多少種方法。解析：這類問題首先分清哪個(gè)有限制條件，以有限制條件的為主體研究。（即指數(shù)形式，有條件的為指數(shù)在上邊無條件的在下邊）如本題中的信有條件，即一封信只能投入一個(gè)信箱，所以，3種，3種，3種，3種。共種。練習(xí)：若A=a,b,c,B=1、2、3、4、5 ，則從集合A到集合B一共可以有多少個(gè)不同的映射；從集合B到集合A一共可以有多少個(gè)不同的映射？125、243二排序問題：1. 優(yōu)限(先)法：特殊元素優(yōu)先或特殊位置優(yōu)先。例：4

3、名男生和4名女生排成一排，女生不排首末兩端，則不同的排法數(shù)為：先排男生 或 先排女生 2. 捆綁法：用于在一起相鄰，整體性的問題。例：6人站成一排，其中甲，乙、丙3人站在一起的所有排列的種數(shù)為：3. 插空法：用于元素不相鄰的問題，先排無條件的，再插空。（1）不同元素與不同元素間的間的不相鄰。例：7人站成一排，其中甲，乙、丙3人不在一起的所有排列的種數(shù)為：（有序）先排其余4人，產(chǎn)生5個(gè)空，再排3人：（2）不同元素與相同元素間的不相鄰。例：3個(gè)人坐在8個(gè)座位上，若每個(gè)人的兩邊都要有空位，則不同的坐法有多少種？解析：可以看作先將5個(gè)座位放好，三個(gè)人帶著各自的座位坐在中間的4個(gè)空隙中的三個(gè)位置上有24

4、種 （座位無序不排）（半有序） （3）相同元素與相同元素間的不相鄰。例:一排路燈有10盞，為了節(jié)約用電，滅掉3盞，要求不能滅兩邊的且滅燈不相連，有多少種方法？（無序）4留位法：用于個(gè)別順序固定的，先在所有位置上排無條件的，有條件還進(jìn)入即可。例：五名學(xué)生站成一排,其中甲必須站在乙的左邊(可以不相鄰)的站法種數(shù)為或解:方法1.留位法：在5個(gè)位置上先排3人，其余兩人站入即可。方法2：因兩人可交換順序,則有2種排法,順序固定時(shí),則排法少了一半.故選。變式：若把英語單詞“l(fā)ook ”的字母順序?qū)戝e(cuò)了，則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤共有_11_種。解析：同本例即oo無序不排，在四個(gè)位置上排l,k即可，或去序都111練習(xí)

5、：四名男生和三名女生排成一排，（1）甲乙二人必須站在兩端的排法有多少種？=240（2）甲乙二人不能站在兩端的排法有多少種？=2400（3）甲不站在排頭，乙不站在排尾的排法有多少種？方法1：直接。甲排尾， 甲不排尾， 共有：+=3720方法2：間接。-2+=3720（4）女生不相鄰的排法有多少種？（插空法） 男生先排共產(chǎn)生5個(gè)空位，插入3個(gè)女生。共有：=1440種（5）甲乙兩人中間間隔兩人的排法有多少種？先從5人（除甲乙）中，選二人排到甲乙中間有種排法，再排甲乙，此4人視為一體與另3 人排列有種。所以共有=960種（6）甲排在乙的右邊有多少種不同的排法？（留位法） 或 =2520種三、排數(shù)字：例

6、：用0、1、2、3、4、5 這六個(gè)數(shù)字：（1）能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)。 末位，首位，中間。故共在：（2）能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)。 0在末位。 0不在末位：先排末位，再首位，中間。即 共有：+156（3）能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)字，且個(gè)位小于十位數(shù)字。 沒0 ：先排后兩位且不排列，再排前兩位 故=60 有0：在末位時(shí)，=120。不在末位時(shí)，0只能在第二位，=30共有+150（4）能組成多少個(gè)無重復(fù)且大于345012的數(shù)字。（排大?。簭母呶坏降臀恢鹞慌牛?69練習(xí)：用數(shù)字1,2,3,4,5可以組成_個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字且比13000大的正整數(shù). 114 解:分兩類: 第一類,萬

7、位比1大,有4種不同的選法,其余任意排列,有個(gè),第二類，萬位為1,則千位有3,4,5三種選法,其余任意排列,有個(gè);共有18+96=114個(gè).四、 隔（檔）板法：處理無序分組問題要點(diǎn)：元素相同。有兩類，空與不空把n個(gè)小球放入不同編號(hào)的m個(gè)盒子中,（1）每個(gè)盒子至少放一個(gè)有多少種放法。（2）盒子容量不限有多少種放法。解析：（1）每個(gè)盒子至少放一個(gè)直接用檔板法：把n個(gè)小球排成一排，中間產(chǎn)生n1個(gè)空，插入m-1個(gè)檔板，(分成m份)放入盒中即可。故種例1：10個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1、2、3的三個(gè)盒子中，每盒中至少有1個(gè)，有多少種放法。解：把10個(gè)小球排成一排，中間產(chǎn)生9個(gè)空，插入兩個(gè)檔板，(分成3份)

8、 即可，故有36（2）盒子容量不限，即盒子可以有空的，直接插空不會(huì)有空的，若討論很麻煩，故此題的處理方法是：將n個(gè)球和m1個(gè)檔板（分成 m份用m1個(gè)檔板）全放在一起。共需要n+m1個(gè)位置，在這些位置上任意放n個(gè)球（或m1個(gè)檔板）有種（或）。這樣可以保證隔板在一起，即可空盒。例2：10個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1、2、3的三個(gè)盒子中，有多少種放法。（可空） 解：10個(gè)球和2個(gè)板共用12個(gè)位置，看板變式1：把10個(gè)蘋果分給3個(gè)人，每人至少兩個(gè)蘋果有多少種分法。解析：10轉(zhuǎn)化成例1：先每人分1個(gè)，把余下的7個(gè)蘋果再分給3人，隔板法，產(chǎn)生6個(gè)空插入2個(gè)板，15種。20轉(zhuǎn)化成例2：先每人分兩個(gè)再用例2方法變

9、式2：把10個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1、2、3的三個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒子放球的個(gè)數(shù)不小于基編號(hào)，有多少種放法。解析：10轉(zhuǎn)化成例1：先放球，1號(hào)不放，2號(hào)放1個(gè)，3號(hào)放2個(gè)，變成例1，即變成每盒至少1個(gè). 15。20轉(zhuǎn)化成例2：1號(hào)盒放1個(gè)，2號(hào)盒放2個(gè)，3號(hào)盒入3個(gè)，利用例2的方法，再變式3：A=a1， a2，a60 ，B=b1 ，b2 b25，每個(gè)象都有原象，且f(a1)f(a2)f(a60),這樣的映射有多少個(gè)？解：此題相當(dāng)于把60個(gè)小球放入25個(gè)盒子中（不空）則有種。五能人問題：方法：此類問題以哪類人分類都可，但主要是分類的標(biāo)準(zhǔn)一定要明確，可以按其中一類人的參與情況分類，也可以以能人參加

10、其中一項(xiàng)為標(biāo)準(zhǔn)分類；也可按能人的參與情況分類，能人不參加；能人一人參加；能人兩人參加，一般哪個(gè)情況少以哪個(gè)分類。例. 車間有11名工人,其中5名是鉗工,4名是車工,另外2名老師傅即能當(dāng)車工,又能當(dāng)鉗工,現(xiàn)在要在這11名工人里選派4名鉗工、4名車工修理一臺(tái)機(jī)床,問有多少種選派方法?解析: 按鉗工的參與情況分類。5名鉗工有4名被選上的方法有種; 5名鉗工有3名被選上的方法有種; 5名鉗工有2名被選上的方法有種.共有75+100+10=185種.練習(xí)：有11名劃船運(yùn)動(dòng)員,其中有5人會(huì)左漿,4人會(huì)右漿,還有甲、乙兩人即會(huì)左漿,又會(huì)右 漿,現(xiàn)要派出4名左漿手,4名右漿手,組成劃船隊(duì),有多少種選派方案?解

11、:5名左漿手有4名被選上的方法有種; 5名左漿手有3名被選上的方法有種; 5名左漿手有2名被選上的方法有種. 共有75+100+10=185種.六、分組問題、分配問題：它們的主體區(qū)別：分組問題沒有序，分配問題有序1、平均分組/配問題：對(duì)于km個(gè)不同的元素分成k 組，每組m個(gè)，則不同的分配種數(shù)是（有序）平均分組的種數(shù)是（無序）2、混合分配問題：是指在分配中既含有平均分配的情況，又含有不平均分配的成分，注意平均分成k組的部分要除以，只后再排列。如：10個(gè)人分成三組，人數(shù)分別為2、4、4，參加3種不同勞動(dòng)，分法種數(shù)為例：有6本不同的書按下列分配方式分配，問共有多少種不同的分配方法。（1）分成1本，2

12、本，3本三組。（2）分給甲，乙，丙三人，其中一個(gè)人1本，一個(gè)人2本，一個(gè)人3本。（3）分成每組都是2本的三個(gè)組。（4）分給甲，乙，丙三人，每人2本。解析：（1）分三步，先選一本有種選法，再從余下的5本書中選兩本種選法，最后余下的三本全選有種選法。故共有：60種（分堆）（2）由于甲，乙，丙是不同的三個(gè)人，在（1）的基礎(chǔ)上再分配。所以共有 360種（3）先，但這里面出現(xiàn)了重復(fù)，（其實(shí)這就已經(jīng)分配了，有序）要想分組無序就要除以，所以有15種 （可用4個(gè)元素舉例好說一些）（4）在（3）的基礎(chǔ)上再分配即可，共有90或直接90練習(xí)1：3名醫(yī)生和6名護(hù)士，被分配到3所學(xué)校為學(xué)生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)

13、士，不同的分配方法共有_種。=540練習(xí)2：4名醫(yī)生和6名護(hù)士組成一個(gè)醫(yī)療小組，若把他們分配到4所學(xué)校去為學(xué)生體檢，每所學(xué)校需要一名醫(yī)生和至少一名護(hù)士的不同選派方法有多少種（答：37440）；解析：先排4名醫(yī)生排列數(shù)為。再排護(hù)士，由題知有兩種情況：分配人數(shù)為3、1、1、1。其中3人，其余三個(gè)1人可平均分組也可不分直接排 所以=480（分組） 分配人數(shù)為2、2、1、1的，2、2行平均分組其余兩個(gè)1人可直接排（或），故有=1080（或.=1080）。 所以護(hù)士分配方法有+=1560所以共有排列方法：（+）=37440七、環(huán)狀排列問題：從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的環(huán)狀排列的種數(shù)有種；特殊的n個(gè)不同

14、元素的環(huán)狀全排列的種數(shù)為（n-1）!(由于環(huán)狀有重復(fù)一樣的)例：由a、b、c、d四個(gè)元素組成的環(huán)狀排列有多少個(gè)？分析：由a、b、c、d組成的全排列有24個(gè)。其中4個(gè)全排列abcd bcda cdab dabc在環(huán)狀排列中只算作1個(gè)排列，故由4個(gè)不同元素組成的環(huán)狀排列有：3！6種八涂色問題：1、區(qū)域涂色問題：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，對(duì)各個(gè)區(qū)域分步涂色，這是處理染色問題的基本方法。例1.用5種不同的顏色給圖中標(biāo)、的各部分涂色，每部分只涂一種顏色，相鄰部分涂不同顏色，則不同的涂色方法有多少種？分析：先給號(hào)區(qū)域涂色有5種方法，再給號(hào)涂色有4種方 法，接著給號(hào)涂色方法有3種，由于號(hào)與、不相鄰，因此號(hào)有4種涂法

15、，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同的涂色方法有1432 練習(xí)： 用4種不同的顏色去涂矩形的四個(gè)區(qū)域（如圖），要求相鄰兩個(gè)區(qū)域顏色不同，個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，則一共有多少種涂法。 解析：注意討論2與4的同色與不同色兩種情況。84種 （1）2與4同色時(shí)，1有4種，2有3種，3有3種4與2同 色 不排，所以，4*3*336 （2）2與4不同色時(shí)，1有4種，2有3種，3 有2種，4有2種。4*3*2*248 故共有：36+4884種 2、點(diǎn)的涂色問題：方法有：（1）可根據(jù)共用了多少種顏色分類討論，（2）根據(jù)相對(duì)頂點(diǎn)是否同色分類討論，（3）將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化成區(qū)域涂色問題。例、將一個(gè)四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色

16、，并使同一條棱的兩端點(diǎn)異色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法的總數(shù)是多少？ 解法一：設(shè)想染色按SABCD的順序進(jìn)行，對(duì)S、A、B染色，有 種染色方法。（討論c） 由于C點(diǎn)的顏色可能與A同色或不同色，影響到D點(diǎn)顏色的選取方法數(shù)，故分類討論： C與A同色時(shí)（此時(shí)C對(duì)顏色的選取方法唯一），D應(yīng)與A（C）、S不同色，有3種選擇；故：5×4×3×3=180 C與A不同色時(shí)，C有2種選擇的顏色，D也有2種顏色可供選擇，故：5×4×3×2×2=240。所以共有180+240=420種方法。解法二：（麻煩，用第一種方法好）滿足題設(shè)條件的染色至少要用三種顏