工科物理教程練習(xí)50 剛體的定軸轉(zhuǎn)動

1、,練習(xí)5 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動的概念5.1 正誤判斷,如是錯誤的,指出錯在哪里。(1) 在傳統(tǒng)建筑中關(guān)門開窗,門窗是平動;(2) 火車在拐彎時的運(yùn)動是轉(zhuǎn)動;(3) 地球自西向東自轉(zhuǎn),其自轉(zhuǎn)角速度矢量指向地球北極;(4) 剛體繞定軸作勻速轉(zhuǎn)動時,其線速度不變;(5) 剛體繞z軸作逆時針減速定軸轉(zhuǎn)動時,其所受力矩M,角速度和角速度均指向z軸正方向;(6) 處理定軸轉(zhuǎn)動問題時,總要取一個轉(zhuǎn)動平面S,只有S面上的分力對軸產(chǎn)生的力矩才能對定軸轉(zhuǎn)動有貢獻(xiàn);(7) 力對軸的力矩M的方向與軸平行;(8) 質(zhì)量固定的一個剛體,可能有許多個轉(zhuǎn)動慣量。分析與解答（1）錯誤。建筑物中，推拉門窗是手動，凡用鉸鏈連

2、接的門窗，開關(guān)門窗時，門窗是轉(zhuǎn)動。（2）（3）正確。（4）錯誤。剛體作定軸轉(zhuǎn)動時，各質(zhì)元的線速度=是不等的。整個剛體沒有統(tǒng)一的線速度。（5）錯誤。按題意，的方向?yàn)榉较颉Ｒ驕p速轉(zhuǎn)動，故的方向指向。由M=I，的方向與的方向一致。（6）（7）（8）正確。5.2 為什么要用角量來描述剛體定軸轉(zhuǎn)動規(guī)律?某剛體繞z軸轉(zhuǎn)動,設(shè)以逆時針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?則下列情況下說明剛體的轉(zhuǎn)向以及它作加速還是減速轉(zhuǎn)動。(1) 0 , 0 , 0 ;(3) 0 , 0; (4 ) 0。分析與解答由于剛體定軸轉(zhuǎn)動時，剛體上各點(diǎn)均繞轉(zhuǎn)軸作圓周運(yùn)動，因此各點(diǎn)的角量是相同的（如角位移，角速度，角加速度），而線量則是不同的（如位移，速度，加速

3、度），所以要用角量來描述剛體的定軸轉(zhuǎn)動。（1） 0，0，0時，剛體作逆時針加速轉(zhuǎn)動；（3） 0，0時，剛體作順時針加速轉(zhuǎn)動；（4） 0時，剛體作順時針減速轉(zhuǎn)動；關(guān)于轉(zhuǎn)動慣量5.3 試討論分析:(1) 轉(zhuǎn)動慣量I的意義。(2) 列出I的表達(dá)式,說明I取決于哪些因素?(3) 轉(zhuǎn)動慣量I與質(zhì)量m的相似點(diǎn)與區(qū)別。(4) 質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動時,有轉(zhuǎn)動慣量嗎? 若有,等于多少?分析與解答（1）I是剛體轉(zhuǎn)動慣量大小的量度。（2）I=，說明不僅與剛體的總質(zhì)量有關(guān)，還取決于轉(zhuǎn)軸的位置和質(zhì)量的分布。（3）I與m均表示運(yùn)動慣性大小。但對同一剛體而言，只有一個m，但可能有許多個I，因?yàn)镮與轉(zhuǎn)軸有關(guān)，同一剛體沿不同的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)

4、動，就有不同的I。(4)有。且。5.4 從轉(zhuǎn)動慣量I 的概念來分析判斷: (1) 設(shè)想有一根異質(zhì)桿子,一半是鐵,一半是木頭(見圖),長度、截面均相同, 可分別繞a,b,c軸轉(zhuǎn)動, 試問對哪個軸的轉(zhuǎn)動慣量I 最大?(2) 兩個質(zhì)量、直徑相同的飛輪,以相同的繞中心軸轉(zhuǎn)動,一個是圓盤形A,一個圓環(huán)狀B,在相同阻力矩作用下,誰先停下來? 題5.4圖(3) 將質(zhì)量相同的一個生雞蛋和一個熟雞蛋放在桌面上并使它們旋轉(zhuǎn), 如何判定哪個是生的,哪個是熟的?分析與解答（1）由轉(zhuǎn)動慣量表達(dá)式I=可知，轉(zhuǎn)動慣量不僅與物體的密度有關(guān)，還與回轉(zhuǎn)半徑有關(guān)，因此密度大的部分其回轉(zhuǎn)半徑也大，其轉(zhuǎn)動慣量較大，所以對c軸的轉(zhuǎn)動慣量

5、最大，對a軸次之，對b軸最小.(2)圓環(huán)狀B物體的轉(zhuǎn)動慣量較大，由轉(zhuǎn)動定律M=I，在阻力矩M相同的情況下，A物體的減速角加速度較大，兩者角速度w相同，因而A物體應(yīng)先停下來。(3)生雞蛋在旋轉(zhuǎn)時，由于慣性蛋清會被甩向蛋殼集聚，使轉(zhuǎn)動慣量增大，由動矩量矩守恒，增大減小。而熟雞蛋的I不變。則在同樣的阻力矩作用下，生雞蛋先停下來。5.5 在弄清概念的基礎(chǔ)上, 要求能正確查表并填空:(1) 半徑為R、質(zhì)量為m的球體, 對過球心軸的轉(zhuǎn)動慣量I = ;(2) 質(zhì)量為m、長度為l 的均勻細(xì)棒, 對過中心、且垂直于棒的c（質(zhì)心） 軸的轉(zhuǎn)動慣量I = ;(3) 利用平行軸定理可知, 在( 2) 中對過棒的任一位置

6、且平行于c 軸的轉(zhuǎn)動慣量I = ;(4) 在(2 )中棒的兩端各連一個質(zhì)量均為m 的小球, 根據(jù)疊加原理, 系統(tǒng)對c 軸的轉(zhuǎn)動慣量I = 。分析與解答查閱工科物理教程表，得(1)m (2)(3) (式中，d為轉(zhuǎn)軸到c的距離)(4)棒對c軸的轉(zhuǎn)動慣量;兩小球?qū)軸的轉(zhuǎn)動慣量。則系統(tǒng)對c軸的轉(zhuǎn)動慣量為定軸轉(zhuǎn)動定律5.6 下列各種敘述中, 哪些是正確的?(1) 剛體受力作用必有力矩;(2) 剛體受力越大, 此力對剛體定軸的力矩也越大;(3) 如果剛體繞定軸轉(zhuǎn)動, 則一定受到力矩的作用;(4) 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動定律表述了對軸的合外力矩與角加速度間的瞬時關(guān)系;(5) 在M= I中, M, I ,必須對同

7、一轉(zhuǎn)軸而言, 否則此式不成立。分析與解答（1）（2）錯誤。因?yàn)榱豈=rF,若F，r=0時，M =0。同樣F越大，M也不一定越大。（3）錯誤。剛體繞定軸勻速轉(zhuǎn)動時，合外力矩M =0。（4）（5）正確。5.7 如圖所示, 兩條質(zhì)量和長度相同的細(xì)棒A 和B, 可分別繞通過中點(diǎn)O和左端O的水平軸轉(zhuǎn)動, 設(shè)它們在右端都受到一個鉛直力F 作用, 試比較它們繞各自轉(zhuǎn)軸的角加速度A 與B 的大小。分析與解答因?yàn)?代入轉(zhuǎn)動定律 M=I得 ； 可見。題5.7圖 題5.8圖 題5.9圖5.8 如圖所示,長為l的均質(zhì)細(xì)桿左端與墻用鉸鏈A連接,右端用一鉛直細(xì)繩B懸掛,桿處于水平靜止?fàn)顟B(tài),若繩B被突然燒斷,則桿右端的加

8、速度為多少?分析與解答 燒斷繩時，桿將在重力矩的作用下，繞A軸轉(zhuǎn)動。由轉(zhuǎn)動定律有 則右端的加速度為 。5.9 一均質(zhì)細(xì)桿AB 長為l ,質(zhì)量為m。兩端用細(xì)線吊起并保持水平(如圖)?，F(xiàn)將B 端的細(xì)線剪斷, 試求剪斷瞬間A 端細(xì)線中的張力.分析與解答B(yǎng)端細(xì)線被剪斷后，細(xì)桿將在重力矩作用下，繞A軸轉(zhuǎn)動，其角加速度為，同時其質(zhì)心的加速度為。根據(jù)轉(zhuǎn)動定律，有 又根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動定律，有 由于 聯(lián)立式，式，式求解得，此時A端細(xì)繩的張力為 5.10 一細(xì)繩繞在半徑為r 的定滑輪邊緣, 滑輪對轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動慣量為I,滑輪與軸承間的摩擦不計,今用恒力F拉繩的下端(見圖(a)或懸掛一重量P = F 的物體(見圖(b)

9、,使滑輪自靜止開始轉(zhuǎn)動。分別求滑輪在這兩種情況下的角加速度。分析與解答如圖（a）情況下，繩子的張力。按轉(zhuǎn)動定律有 故在圖（b）情況下，有 解得 題5.10 圖 題5.11 圖5.11 一個組合輪軸由兩個同軸的圓柱體固結(jié)而成,可繞光滑的水平對稱軸OO轉(zhuǎn)動。設(shè)大小圓柱體的半徑分別為R 和r , 質(zhì)量分別為M和m, 繞在兩圓柱體的上細(xì)繩分別與質(zhì)量為m1和m2 (m1 m2)的物體A、B 相連(如圖) 。試求:( 1) 兩物體的加速度;( 2) 繩子的張力;( 3) 輪軸的角加速度。分析與解答分別對物體A，B和輪軸作受力分析（見圖b），根據(jù)牛頓運(yùn)動定律和轉(zhuǎn)動定律，有對A： 對B： 對輪軸： I= 解式

10、 方程組得 ， ， 5.12 兩皮帶輪A和B, 質(zhì)量和半徑分別為mA、RA和mB、RB,并都視為均質(zhì)圓盤。輪A 用電動機(jī)拖動,并施以力矩M,輪B上有負(fù)載力矩M如圖所示。皮帶與輪間無滑動, 且不計皮帶質(zhì)量和軸的摩擦,試求:( 1) 兩輪的角加速度A 和B ; 題5.12 圖( 2) 若將同一力矩M作用在B 輪上, A 輪的負(fù)載力矩為M, 再求兩輪的角加速度A 和B 。分析與解答（1）A，B兩輪的受力情況如圖（b）所示，分別繞各自的軸轉(zhuǎn)動，由轉(zhuǎn)動定律有對A： 對B： 由于皮帶和輪間不打滑，故兩輪與輪緣各點(diǎn)的 題5.12 圖線速度和切向加速度應(yīng)相等，故有： 聯(lián)立求解式，式，式，式，并考慮到，得： （

11、2）按題意，兩輪受力情況如圖（c）所示，則轉(zhuǎn)動方程有對A： 對B： 且 聯(lián)立式，式，式，解得 力矩的時間累積效應(yīng)5.13 填空:剛體繞定軸轉(zhuǎn)動, 對該定軸的動量矩表達(dá)式為 ;作用在剛體的外力的沖量矩為 ; 動量矩定理的表達(dá)式為 。分析與解答（略）5.14 動量矩守恒的條件是什么? 下列說法中, 哪些是錯誤的? 錯在哪里?( 1) 始末兩狀態(tài)的動量矩相同, 表明動量矩守恒;( 2) 動量矩守恒時, 始末狀態(tài)的角速度必相同;( 3) 要使剛體的動量矩守恒, 其轉(zhuǎn)動慣量I 必然保持恒定;( 4) 剛體的動量矩守恒, 其動量也守恒。分析與解答動量矩守恒的條件是：合外力矩為零。（1）錯誤。動量矩守恒是動

12、量矩時時刻刻都保持不變，不僅僅是始末狀態(tài)的動量矩相同。（2）錯誤。動量矩是轉(zhuǎn)動慣量與角速度的乘積，即L=，在動量矩守恒的情況下，若轉(zhuǎn)動慣量發(fā)生變化，其角速度也隨之改變，故始末狀態(tài)的角速度w不一定相同。（3）錯誤。原因同上。（4）錯誤。因?yàn)楹贤饬貫榱銜r，其合外力不一定為零，如質(zhì)點(diǎn)作勻速圓周運(yùn)動時，其動量矩守恒，但動量卻不守恒。5.15 衛(wèi)星繞地球沿橢圓軌道運(yùn)動的過程中, 下述說法哪種是正確的?(A) 衛(wèi)星的動量矩守恒;(B) 衛(wèi)星的動量矩不守恒;(C) 衛(wèi)星的動量守恒;(D) 衛(wèi)星的機(jī)械能不守恒。分析與解答衛(wèi)星在運(yùn)動過程中，只受萬有引力作用，由于萬有引力是保守力，且恒指向、與地球的連線方向，力

13、矩為零，因此，機(jī)械能和動量矩守恒。故（A）是正確的。5.16 如圖所示, 有一半徑為R 的水平圓轉(zhuǎn)臺, 可繞通過其中心的豎直固定光滑軸轉(zhuǎn)動, 轉(zhuǎn)動慣量為I , 開始時轉(zhuǎn)臺以勻角速度0 轉(zhuǎn)動, 此時有一質(zhì)量為m 的人站在轉(zhuǎn)臺中心, 隨后人沿半徑向外跑去, 當(dāng)人到達(dá)轉(zhuǎn)臺邊緣時轉(zhuǎn)臺的角速度為多少?分析與解答 取人和轉(zhuǎn)臺為研究對象，在人從中心走向邊緣的過程中，系統(tǒng)所受合外力矩為零，則系統(tǒng)的動量矩守恒。有則 題5.16圖 題5.17圖 題5.18圖5.17 在雜技節(jié)目蹺板中, 演員甲從h高的跳臺上自由下落到蹺板的一端A, 并把蹺板另一端的演員乙彈了起來。設(shè)蹺板是勻質(zhì)的, 長度為l, 質(zhì)量為m,支撐點(diǎn)在板

14、的中部C點(diǎn), 蹺板可繞點(diǎn)C 在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動( 如圖)。演員甲、乙的質(zhì)量均為m。假定演員甲落到蹺板上,與蹺板的碰撞是完全非彈性碰撞。試求: (1 ) 碰后蹺板的角速度( 也是甲、乙的角速度) ; ( 2) 演員乙被彈起的高度h。分析與解答（1）甲由h高處自由下落，至與板碰撞前的速度為得 碰撞前后，取甲，乙和板為系統(tǒng)，滿足動量矩守恒條件，即得 （2）碰后，乙被向上彈起的初速度為則乙被彈起的高度可由求出即 5.18 在一項(xiàng)微型技術(shù)中, 用一根質(zhì)量很小、長度為l的均勻細(xì)桿作為微型機(jī)器人的輸送通道, 細(xì)桿可繞通過其中心點(diǎn)O并與紙面垂直的軸轉(zhuǎn)動(如圖) , 當(dāng)桿靜止于水平位置時, 微型機(jī)器人以速率v0

15、垂直落在距O點(diǎn)為1l/4 處, 并向細(xì)桿端點(diǎn)A 運(yùn)動。設(shè)桿與機(jī)器人的質(zhì)量均為m。試求: ( 1)機(jī)器人剛落到桿上時,細(xì)桿的角速度; ( 2)欲使細(xì)桿以此恒定的角速度轉(zhuǎn)動,求微型機(jī)器人向A 端運(yùn)動的速率隨時間變化的規(guī)律。分析與解答（1） 取機(jī)器人與桿為系統(tǒng)，機(jī)器人落到桿上前后，滿足動量矩守恒的條件。即 （2） 設(shè)機(jī)器人運(yùn)動到P點(diǎn)，OP=r，此時對桿和機(jī)器人系統(tǒng)而言，只受到地球?qū)C(jī)器人的重力矩作用，即此時系統(tǒng)對O軸的轉(zhuǎn)動慣量為根據(jù)動量矩定理，并考慮保持不變，有 即 以代入，得 力矩的空間累積效應(yīng)5.19 剛體定軸轉(zhuǎn)動時, 對該定軸而言( 1) 外力矩的功A= ;( 2) 剛體的轉(zhuǎn)動動能Ek = ;

16、( 3) 動能定理的表達(dá)式為 。分析與解答（1） （2） （3）A=5.20 如圖所示,一長為l = 0.40m, 質(zhì)量為M = 1kg 的均質(zhì)桿, 鉛直懸掛。試求: 當(dāng)質(zhì)量為m= 810-3kg 的子彈以水平速度v = 200ms-1,在距轉(zhuǎn)軸O為3l/4處射入桿內(nèi)時, 此桿的角速度和最大擺角。分析與解答 求解此題可按兩個過程分別處理：（1）由子彈射入桿到兩者一起開始擺動。此過程可視為完全非彈性碰撞過程。取子彈和桿為系統(tǒng)，滿足動量矩守恒，有 由式可求得子彈與桿開始一起擺動時的角速度（2）由系統(tǒng)開始擺動到擺至最大角。此過程中，由子彈，桿和地球構(gòu)成的系統(tǒng)滿足機(jī)械能守恒的條件，取桿直懸時的質(zhì)心位置

17、C為重力勢能零點(diǎn)，則 由式可求得最大擺角為 題5.20圖 題5.21圖 題5.22圖5.21 質(zhì)量為m,半徑為R 的圓盤,可繞一垂直通過盤心的光滑水平軸轉(zhuǎn)動, 盤上繞有輕繩, 一端懸掛質(zhì)量為m 的物體(如圖)。試問: ( 1)物體由靜止下落高度h 時,其速度v 的大小是多少? (2 )若物體自由下落h 高,其速度v為多少? 說明兩種速度有差異的原因。分析與解答（1）物體受重力和繩子張力，有 滑輪變張力矩，有 聯(lián)立 解得 （2）由自由落體規(guī)律 5.22 長為l、質(zhì)量為m的桿可繞支點(diǎn)O 自由轉(zhuǎn)動, 一質(zhì)量為m、速率為v 0的子彈射入桿內(nèi)距支點(diǎn)為a 處, 使桿的偏轉(zhuǎn)角為= 30(如圖)。試求: ( 1 ) 子彈的速率v0 ; ( 2 ) 欲子彈以此v0 穿過此桿, 此時桿的偏轉(zhuǎn)角= ?(3 ) 在求解過程中, 怎樣分析動量矩和機(jī)械能守恒的條件及如何考慮桿的重力勢能?分析與解答（1） 取子彈和桿為系統(tǒng)，子彈射入前后，滿足動量矩守恒條件，有： 在子彈