《直線與平面垂直的判定》典型例題

1、直線與平面垂直的判定典型例題目標(biāo)導(dǎo)航1. 知識(shí)與技能：理解并掌握直線與平面垂直的定義及垂線、垂面、垂足的含義，會(huì)用空間 圖形及數(shù)學(xué)符號(hào)分別表示直線與平面垂直；理解并掌握直線與平面垂直的判定定理，并 能運(yùn)用定義及判定定理判斷直線是否與平面垂直。2. 過程與方法：利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想證明立體幾何問題；提高學(xué)生邏輯思維能力；培養(yǎng)學(xué) 生由圖形想象出位置關(guān)系的能力。3情感態(tài)度與價(jià)值觀：利用所學(xué)知識(shí)解釋生活現(xiàn)象，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，能辯證的看待問題；學(xué)會(huì)分析事物間的關(guān)系，進(jìn)而選擇解決問題的途徑。要點(diǎn)聚焦1 .直線與平面垂直的定義： 直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，稱直線與平面互相垂直，直線叫做平面的

2、垂線，平面叫做直線的垂面。直線與平面垂直時(shí)，它們的唯一公共點(diǎn)叫 做垂足。2. 直線與平面垂直是直線與平面相交的特例。直線與平面相交但不垂直時(shí)，直線叫做平面 的斜線，直線與平面的交點(diǎn)叫做斜足。3. 直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則稱該直 線與此平面垂直。4. 直線與平面垂直的定義中的“任何一條直線”這個(gè)詞語與“所有直線”是同義語，但與“無數(shù)條直線”不同，定義的實(shí)質(zhì)就是直線與平面的所有直線都垂直。5. 直線與平面垂直的判定定理可以用符號(hào)表示：6. “ a a , b a , an b=P, l 丄 a, l 丄 b, = l 丄a”7. 直線與平面垂直的方法：

3、（1）若一條直線垂直于平面內(nèi)的任何直線，則這條直線垂直于平面；（定義）（2）若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，則這條直線垂直于平面；（判定定理）（3）兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面；（4）一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，則它必垂直于另一個(gè)平面。經(jīng)典題例例1判斷題：正確的在括號(hào)內(nèi)打“/號(hào)，不正確的打“X”號(hào)1. 一條直線和一個(gè)平面平行， 它就和這個(gè)平面內(nèi)的任何直線平行（）2. 如果一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線和這個(gè)平面垂直（）3 垂直于三角形兩邊的直線必垂直于第三邊（）4. 過點(diǎn)A垂直于直線a的所有直線都在過點(diǎn)A垂直于a的平面內(nèi)（）

4、5. 如果三條共點(diǎn)直線兩兩垂直， 那么其中一條直線垂直于另兩條直線確定的平面（）分析：本題是利用直線和平面垂直的定義及判定定理等知識(shí)來解答的問題。解答:1.直線與平面平行，則直線與平面內(nèi)的直線的位置關(guān)系不外乎有兩種平行，異面，因此應(yīng)打X2. 該命題的關(guān)鍵是這無數(shù)條直線具有怎樣的位置關(guān)系，若為平行，則該命題應(yīng)打“V” 號(hào)；若為相交，則該命題應(yīng)打“X”號(hào)，正是因?yàn)檫@兩種可能同時(shí)具備，因此，不說明 面內(nèi)這無數(shù)條線的位置關(guān)系，則該命題應(yīng)打“X”號(hào)3. 垂直于三角形兩邊的直線必垂直于三角形所在的平面，由線面垂直定義的逆用，則該直線必垂直于三角形的第三邊，該命題應(yīng)打"V”4. 前面介紹了兩個(gè)命題

5、，過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直，根據(jù)第一個(gè)命題知：過點(diǎn)A垂直于直線a的平面惟一,因此，過點(diǎn)A且與直線a垂直的直線都在過點(diǎn) A且與直線a垂直的平面內(nèi)，該命題 應(yīng)打5. 三條共點(diǎn)直線兩兩垂直，設(shè)為a, b, c且a, b, c共點(diǎn)于O,/ a丄b, a丄c, bA c= 0,且c確定一平面，設(shè)為 a ,貝U a丄a , 同理可知b垂直于由a, c確定的平面，c垂直于由a, b確定的平面 該命題應(yīng)打“V”點(diǎn)評(píng):此類問題必須做到：概念清楚、問題理解透徹、相關(guān)知道能靈活運(yùn)用。例2如圖2-35:在空間四邊形 ABCD中，已知 BC = AC, AD = BD，弓I BE丄CD , E為垂足，作 AH丄BE于H,求證：AH丄平面BCD。 分析：要證AH丄平面BCD，只須利用直線和平面垂 直的判定定理，證 AH垂直于平面 BCD中兩條相交 直線即可。證明:取 AB中點(diǎn)F,連結(jié)CF、DF ,/ AC = BC , CF 丄 AB ,又 AD = BD , DF 丄 AB , AB 丄平面 CDF ,又CD二平面 CDF , CD丄AB又CD丄BE , CD丄平面 ABE , CD丄AH又AH丄BE , AH丄平面 BCD。圖 2- 35點(diǎn)評(píng):證明線面垂直，需