常微分方程試卷及答案

1、2010-2011 學(xué)年第 二 學(xué)期常微分方程考試 AB卷答案 理學(xué) 院 年級 信息與計(jì)算科學(xué) 專業(yè)填空題（每題4分，共20分）1. 形如 （連續(xù)）的方程是 一階線性微分 方程，它的通解為 .2. 形如的方程是 3 階_齊次_(“齊次”還是”非齊次”)_常_系數(shù)的微分方程,它的特征方程為.3. 形如的方程為 歐拉 方程, 可通過變換把它轉(zhuǎn)化成常系數(shù)方程.4. 滿足初始條件：=0, =1的特解55.微分方程的解存在且唯一的條件是: 在R上連續(xù)且滿足利普希茨條件 一、 下列微分方程的解（每題5分，共30分）1=解：令x+y=u,則=-1 .3 -1= u-arctgu=x+c y-arctg(x+

2、y)=c. .52解：兩邊同乘以得： .3故方程的通解為： .53解：令，則，兩邊對x求導(dǎo)，得 ， .3解之得 ，所以， .4且y=x+1也是方程的解，但不是奇解. .54. 解：特征方程有三重根， .3故通解為 .55. 解：特征方程有根0,齊線性方程的通解為x= .3又因?yàn)?是特征根，故可以取特解行如代入原方程解得A=，B= .4故通解為x= .56. 解: 原方程可化為 1分離變量可得 .3 兩邊積分可得 .4 將初值代入上式求得方程的解: .5二、 求下列方程（組）的通解（每題10分，共30分）1求一曲線，使其任一點(diǎn)的切線在軸上的截距等于該切線的斜率.解： 設(shè)為所求曲線上的任一點(diǎn)，則在

3、點(diǎn)的切線在軸上的截距為： .3由題意得 即 也即 兩邊同除以，得 .5即 .7即 .10為方程的解。2. 滿足初值條件解:方程組的特征值, .2對應(yīng)特征值的特征向量應(yīng)滿足 對任意常數(shù), , 取, 得 .4對應(yīng)特征值的特征向量應(yīng)滿足 對任意常數(shù), , 取, 得 .6所以基解矩陣為: .8= .103.求方程 通過點(diǎn) 的第二次近似解.解: 令，于是 .5 .10五、應(yīng)用題（10分）33. 摩托艇以5米/秒的速度在靜水運(yùn)動，全速時(shí)停止了發(fā)動機(jī)，過了20秒鐘后，艇的速度減至米/秒。確定發(fā)動機(jī)停止2分鐘后艇的速度。假定水的阻力與艇的運(yùn)動速度成正比例。解：，又，由此 即 .5其中，解之得 又時(shí)，；時(shí)，。故

4、得 ，從而方程可化為 .7當(dāng)時(shí)，有 米/秒 .8即為所求的確定發(fā)動機(jī)停止2分鐘后艇的速度。 .10六、證明題 （10分）1、試證: 非齊次線性微分方程組的疊加原理:即: 設(shè)分別是方程組的解，則是方程組的解.證明： （1） （2）分別將代入（1）和（2）則 .5則令 即證 .102010-2011 學(xué)年第 二 學(xué)期常微分方程考試 B卷答案 理學(xué) 院 年級 信息與計(jì)算科學(xué) 專業(yè)一、 填空題（每題4分，共20分）1. 是恰當(dāng)方程的充要條件是；其通解可用曲線積分表示為 .3. 形如的方程是 2 階 非齊次 (“齊次”還是”非齊次”)_常系數(shù)的微分方程,它的特征方程的特征根為 .4. 若 是同一線性方程

5、 的基解方陣，則它們間有關(guān)系 .55.微分方程的解存在且唯一的條件是: 在R上連續(xù)且滿足利普希茨條件 二、下列微分方程的解（每題5分，共30分）1. 解： 令 .1則： 即 得到 故 即 .4 另外也是方程的解。 . .52. =解： y= () .3=-e()+c=c e- ()是原方程的解。 .53。 設(shè) .3 .4 ， 解為 .54. 解：特征方程有復(fù)數(shù)根, .3故通解為 .55.解: 原方程可化為 故 .56. 解：特征方程有根-2,-4 .1故齊線性方程的通解為x= .3-2是特征方程的根，故代入原方程解得A= .4故通解為x= .5三、求下列方程（組）的通解（每題10分，共30分）

6、1.解：特征方程有2重根-a.2當(dāng)a=-1時(shí)，齊線性方程的通解為s=,1是特征方程的2重根，故代入原方程解得A=通解為s=,.6當(dāng)a-1時(shí)，齊線性方程的通解為s=,1不是特征方程的根，故代入原方程解得A=故通解為s=+.102. 求其基解矩陣.解: det（EA）=0得， .3對應(yīng)于的特征向量為u， （ 0 ）對應(yīng)于的特征向量為v， （ ） .5u，v是對應(yīng)于，的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量(t)=是一個(gè)基解矩陣 .103. 求方程 通過點(diǎn) 的第二次近似解.解: 令，于是 .5 .10五、應(yīng)用題（10分）1求一曲線，過點(diǎn)(1,1), 其任一點(diǎn)的切線在軸上的截距等于.解： 設(shè)為所求曲線上的任一點(diǎn)，則在點(diǎn)的切線在軸上的截距為： .3由題意得 兩邊同除以，得 .5即 .7即 .8將代入上式得。.10六、證明題 （10分）1、 試證：如果是=Ax滿足初始條件的解，那么expA(t-t)證明：由于(t)-1(t0) (t) .5又因?yàn)?t)= expAt