定積分的概念和性質(zhì)公式

1、1. 曲邊梯形的面積 設(shè)在區(qū)間 上 ，則由直線 、 、 及曲線 所圍成的圖形稱為曲邊梯形，下面求這個(gè)曲邊梯形的面積     分割求近似：在區(qū)間 中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)將 分成 n 個(gè)小區(qū)間，小區(qū)間的長(zhǎng)度 在每個(gè)小區(qū)間 上任取一點(diǎn) 作乘積 ， 求和取極限：則面積 取極限其中 ，即小區(qū)間長(zhǎng)度最大者趨于零。2. 變速直線運(yùn)動(dòng)的路程 設(shè)某物體作變速直線運(yùn)動(dòng)，速度 是 上 的連續(xù)函數(shù)，且 ，求在這段時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程。分割求近似：在 內(nèi)插入若干分點(diǎn) 將其分成n 個(gè)小區(qū)間 ，小區(qū)間長(zhǎng)度 ， 。任取 ，做 求和取極限

2、：則路程 取極限定義 設(shè)函數(shù) 在 上有界，在 中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)將 分成 n 個(gè)小區(qū)間 ，其長(zhǎng)度為 ，在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn) ，作乘積 ，并求和 ，記  ，如果不論對(duì) 怎樣分法，也不論小區(qū)間 上的點(diǎn) 怎樣取法，只要當(dāng) 時(shí)，和 總趨于確定的極限，則稱這個(gè)極限為函數(shù) 在區(qū)間 上的定積分，記作 ，即， （*）其中 叫被積函數(shù)， 叫被積表達(dá)式， 叫積分變量， 叫積分下限， 叫積分上限， 叫積分區(qū)間。 叫積分和式。說明：1. 如果（*）式右邊極限存在，稱 在區(qū)間 可積，下面兩類函數(shù)在區(qū)間 可積，（1） 在區(qū)間 上連續(xù)，則 在 可積。（2） 在區(qū)間 上有界且只有有

3、限個(gè)間斷點(diǎn)，則 在 上可積。2. 由定義可知，定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量無關(guān)，所以3. 規(guī)定    時(shí) , 在 上 時(shí), 表示曲線 、兩條直線 、 與 軸所圍成的曲邊梯形的面積；在 上 時(shí), 表示曲線 、兩條直線 、 與 軸所圍成的曲邊梯形的面積（此時(shí)，曲邊梯形在 軸的下方）；     例1 利用定積分的幾何意義寫出下列積分值（1） （三角形面積） （2） （半圓面積）         設(shè) 可

4、積性質(zhì)1 性質(zhì)2 性質(zhì)3 （定積分對(duì)區(qū)間的可加性） 對(duì)任何三個(gè)不同的數(shù) ，有        性質(zhì)4 性質(zhì)5 如果在區(qū)間 上， ，則 推論 性質(zhì)6 （定積分的估值） 設(shè) M 及 m 分別是函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值及最小值，則        性質(zhì)7 （定積分中值定理）如果函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù)，則在 上至少有一點(diǎn) ，使   成立 例2 比較下面兩個(gè)積分的大小    

5、;  與 解 設(shè) ，在（0，1）內(nèi)， 單調(diào)增當(dāng) 時(shí)，有 ，即 由性質(zhì)5， 例3 估計(jì)積分 的值解 只需求出 在區(qū)間 上的最大值、最小值即可。設(shè) ，令 ，得 ，所以，在區(qū)間 上 由性質(zhì)6， 設(shè) 在區(qū)間 上連續(xù)， ，則定積分 一定存在，當(dāng) 在 上變動(dòng)時(shí)，它構(gòu)成了一個(gè) 的函數(shù)，稱為 的變上限積分函數(shù)，記作 即 定理 如果函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù)，則積分上限的函數(shù) 在 上具有導(dǎo)數(shù)，且導(dǎo)數(shù)是 ，即說明：1. 由原函數(shù)的定義知, 是連續(xù)函數(shù) 的一個(gè)原函數(shù)，因此，此公式揭示了定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系。2. 當(dāng)積分上限的函數(shù)是復(fù)合函數(shù)時(shí)，有更一般的有 例1 （1） ， 則：

6、 =     （2） ，則：           （4） ，則：     （5）設(shè) ，求: 此題中 為函數(shù)的自變量， 為定積分的積分變量，因而是兩個(gè)函數(shù)乘積的形式由求導(dǎo)法則=     = +    （6） =0（因定積分的結(jié)果為一常數(shù)，故導(dǎo)數(shù)為零）   （7）設(shè) 是方程 所確定的函數(shù)，求 解 利用隱函數(shù)求導(dǎo)法則和變限積

7、分求導(dǎo)法則有             則 = 例2 設(shè) ，求 。例3 設(shè) 為連續(xù)函數(shù)，（1）若 ，則 _ ,      _ 。           （2） 例4 求 解 這是 型不定式，用羅必塔法則                 定理 （牛頓萊公式）如果函數(shù) 是連續(xù)函數(shù) 在區(qū)間 上的一個(gè)原函數(shù)，則此公式表明：一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間 上的定積分等于它的任一個(gè)原函數(shù)在該區(qū)間上的增量，此公式也稱為微積分基本公式。例5 解 原式 例6 解 原式 例7 求 解 利用定